常见的分类讨论问题解题策略

1、常见的分类争论问题解题策略（仅供老师参考）很多数学问题由于受某些因素的限制,例如概念的不同, 位置的不同, 范畴的不同,性质的不同等, 不能按统一的方法、 统一的标准或同一的公式来进行处 理,这就需要我们对所争论的对象进行分类,然后进行争论分类争论的思想法是一种化整为零、各个击破、 整合结论的解题策略 在分析和解决数学问题中,运用分类争论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的规律关系揭示得一清二楚,刻画得特别精确 在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用有关分类争论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分,形式多样、综合性强,对于培育同学思维的缜密性、

2、条理性、深刻性有着特别重要的作用 引起分类争论的因素：（1）涉及的数学概念是分类定义的；（2）涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法就是分类给出的；（3）涉及题中所给的限制条件或争论对象的性质而引起的；（4）涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；（5）涉及的几何图形的外形、位置的变化而引起的；（6）一些较复杂或特别规的数学问题,需要采纳分类争论的解题策略解决的在解题中,我们要明确分类的缘由是什么？对象是什么？把握好分类的原就,这被称之为规律划分同时,我们有要把握好分类争论的时机,重视分类讨论的合理性和完整性 分类争论的基本原就：（1）按引起争论的缘由分类；（2）不重复、不遗漏；即

3、每一类均是定义域的真子集,任何两类的交集为空集,全部各类的并集 为定义域；（3）每一类中自变量的取值对结论的影响是相同的；（4）分类应是最少的1 分类争论的基本步骤：（1）确定争论对象和争论的全域范畴；（2）依据科学的分类原就进行分类；（3）逐类进行争论；（4）归纳总结争论的结果每当我们努力解决一个特别复杂的问题时,假如能显现一个特别惊人的转折：它把这各个复杂的问题分解为如干的部分,通过简洁的方法就能轻而易举的解决了,这就是我们平常所讲的真正的一种数学美它呈现了“ 建筑” 结构上的“ 美丽” ,又让你体验了人类在追求的完善的目标,即数学的“ 简洁美”,清楚易 懂和不失数学的严格性 由于人类学习

4、数学的目的就是为了能尽可能地用简洁而 基本的词汇去说明世界下面就依据不同的分类原就,举例说明：一按元素存在的不确定性进行分类争论例1 ： 已 知 非 空 集 合Mx y2xylogat0,a0,且a1,Nx yx2y23,当 MNt时,求 t 得取值范畴M解 ： 设 圆 心0 , 0 到 直 线2xyl o g at的 距 离 为 d , 就3,即dlog atNd33当a1时, log at3,故t3 a 或0a3；当 03或0t3 a a1时,ta点评：此题依据对数中底数的定义及性质进行分类,解决了不等式解的问题0 ,例 2 ： 已 知 函 数fxaco s 2 x2a 3si nc o

5、sa的 定 义 域 为a b 的值2,值域为5,1 ,求常数2 当0解：化简函数表达式得fx2 cos 2xx3322 ab,x2,32x3,21 2cos 21,3a0时,bf x3 ab ,3 ab1aa5；b5bb112当a0时, 3abf b ,3 ab5b点评：此题依据函数单调性的定义进行分类,解决了函数的值域问题二按概念、定理、公式进行分类争论：例 3：已知直线 l 经过点P 3,1,且被圆x2y225截得的弦长为 8,求直线 l 的方程解 ： 当 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 即 l 垂 直 于 x 轴 时 , 如 图 所 示 ,AE2r2OE225916,AE4,AB8,

6、此时C B y D x F 直线 l 的方程为x3；当 l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y1k x3,E O 原点到直线的距离OE3,即3OE153 k1,解得A 1k2k4,就此时直线 l 的方程为 4x3y0；3综上,直线 l 的方程为x3或 4x3y150点评：此题依据斜率的存在性进行分类,也可不分类直接设直线的法向量,但 运算相对要繁琐一些3 例 4：如图,过点B0,b 作椭圆x22 y1,ab0的弦 BM ；x a2b2（1）记BM2fy ,写出 fy 的表达式；y Mx y（2）求弦长 BM 的最大值O 解：（1）设Mx y 为椭圆上任意一点,Bb ,0就BM2x2yb2,

7、又 由x2y21得a2b2x2a2b2y2,BM2a2b 2y 2yb21a2y 22 bya2b 2b22 b2 b1a2ya23 bb 2a 2a4b 2,yb b；b 2（2）ab0,1a20,BM2有最大值,2 b又yb b ,当a2b32 bb时,即a2 b ,就最大值在二次函数的顶点取到,3 4即当 ya 2 bb 2 时,BM 2max a 2 ab 2；3当 2 b2 b 时,即 a 2 b ,就最大值在二次函数的端点取到,即当 y b时,a b2 2BM max 4 b ；2综上,BM max a 2 ab 2 , a 2 b2 , a 2 b点评：此题利用变量 y 的有界性

8、, 对二次函数的对称轴进行分类,从而解决了该函数的最值问题4 例 5：已知等比数列a n的公比为 q,前 n项和为S n0,n1,2,；（1）求公比 q的取值范畴；（2）设 b n a n 2 3a n 1,b n 的前 n项和为 T ,试比较 S 与 T 的大小2解：（1）S n 0,可得 a 1 S 1 0,且 q 0,当 q 1 时,S n na 1 0,成立；当 q 1 时,S n a 11 q n0,即1 q n0, n 1,2,1 q 1 q解得 q 1,0 0,1 1,；综上, q的取值范畴是 q 1,0 0,；（2）由 b n a n 2 3a n 1,得 b n a n q

9、2 3 q ,T n q 2 3 q S ,n2 2 2就 T n S n q 2 3q 1 S n q 1q 2 S ,又 S n 0,2 2当 q 1, 12, 时,T n S ；2当 q 1或 q 2 时,T n S ；2当 q 1 ,0 0, 2 时,T n S n2点评：此题依据等比数列中公比 q 进行分类,划分的标准为 q 1 与 q 1,公比q 1 经常是等比数列求和中简洁忽视的一个部分,必需要加以足够的重视2 2 2 2例 6 ： 已 知 S n r 1 r 2 12 r 3 13 r n 1n, 记r r r r5 TnSn2 n ,WnTn1,其中r0,求 lim nW 的

10、值n222n,2 n,Tn解：Snr2r4r6r2n1111r2r4r6r2n当r1时,Sn0,就Tn2 , n Wnnn1,lim nWn1,1当r1时,Snr21r2n1112n1r2n1r2r2r2n1r211r2nrr2就T n1r2n1r2n221,Wn12r2nnr2n22r4n2,r2nrrr2r2nr4n如 0r1时,lim nWn1；r2如r1时,lim nWn2 r ；10r1r2综上,lim nWn1r1r2r1点评：此题先依据等比数列的不同取值来进行求和,再进一步依据公比的范畴 来求极限例 7：已知偶函数fx 的定义域为 R ,如 fx 在 0,上是增函数,且f10,求

11、解关于 x 的不等式flog ax0,a0,a12解：fx 是偶函数,flog axflog axflog ax,就有flogaxf1,26 又 fx 在 0,上是增函数,logax1,即log ax1或logax1,222如a1,就 xa 或0 x1；a如 0a1,就 0 xa 或x1 a点评：此题涉及到对数函数的单调性,应按底数进行分类三按参变量的取值范畴进行分类争论：例 8：解关于 x 的不等式 x a2 0, a Rx a解：当 a a ,即 0 2a 1 时,解集为 x a 2 x a ；当 a a ,即 2a 0 或 a 1 时,解集为；当 a a ,即 2a 0 或 a 1 时,

12、解集为 x a x a 2点评：此题依据涉及参数 a 及 a 的大小,求解不等式,解题的关键是分类标准 2的划分例 9：设集合Mxxa22a12,Nx x23ax3a10,且 MN ,求实数 a 的取值范畴x2 a1,2a22 a1,解：对于集合M:2 xa2a12对于集合N:x1x3 a10,0；当 3 a11时,即a2时,N3 a1,13此时要满意 MN ,就2 a13 a1a2 a 22 a117 当 3 a11时,即a2时,N1,3a1,1,2；N 3此时要满意 MN ,就2 a21113 a1a2 a2 a当 3 a11时,即a2,此时M1 5 ,3 9,N1,不满意 M3综上,a0

13、1,2a1,xR ,x 为偶函数；点评：此题依据参数a 的大小来确定不等式的解集例 10：设 a 为任意实数,函数fxx2x（1）争论 fx 的奇偶性；（2）求 fx 的最小值fx ,就 f解：（1）当a0时,fxx2x1当a0时 ,f aa21,fa2 a2a1, 显 然fafa且faf a ,就 fx 既非奇函数又非偶函数；a3,1,（2）当 xa 时,fxx2xa1x1224如a1,就 fx 在,a 上,单调递减,就fminf aa22如a1,就fminf1a3；224,当 xa 时,fxx2xa1x12a324如a1,就fminf1a3,2248 如a1,就 fx 在a,a上,单调递增

14、,就1f minffaa2a211；a1时,2综上,当a1 2时,fmin3；当1a时,min；当4222fmina3 4点评：此题依据所含有肯定值符号,作为分类的依据,去掉肯定值符号的主要 策略是,先找零点,然后将定义域划分成几个子区间,再在各个子区间上去掉 肯定值进行求解例 11：实系数方程x22kxk24a0的两根为x1,x ,求f ax 1x2的解析式解 ：k,aR,x 1,x2同 为 实 根 , 或 互 为 共 轭 虚 根 ,14 k24k24 a16 a ,k24 a ,当a0时,两根为实根,就x 1x 2ax 1x2x 1x 22 k ,如0ak2,就x 1x20,就f4如ak2

15、,就x1x20,就4fax 1xxxxx124x x4 2a ；12当a0时,两根为共轭虚根,2x x 12x x22k24a ；就fax 1x22x 12x 122k0ak24综上,f a4aak242k24 aa09 点评：此题依据判别式对实系数一元二次方程根的情形进行争论例12 ： 已 知 函 数fxx 2x , 实 数 a 为 何 值 时 , 集 合x 10Mxx fsinxa1,x0,2为一元集、二元集、三元集、四元集解：fsinx2 sinxsinxa1,y 3即sinx12a3,x0,2,2241依据图像可知,当a39时,即a3时,O 24644-1只有一解,即此时为一元集；-2

16、当a30或1 4a39时,即a3或 1a3-3时,有两解,即此时为二元集；4444-4当a31,即a1时,有三解,即此时为三元集；44当0a31,即3 4a1时,有四解,即此时为四元集44点评：此题在分类的同时仍要利用数形结合的思想,将问题由难变易,由大变小,条理清楚四按图形的位置或外形不确定进行分类：例 13：与不共面的四点等距离的平面有_个解：当四个点中, 有一个点在所求平面的一侧,另三个点在所求平面的另一侧,这样的平面有 4 个；当四个点中,有两个点在所求平面的一侧,另两个点在所求平面的另一侧,这样的平面有3 个；综上,满意条件的平面共有7 个点评：此题依据四点的不同位置进行分类,很好的

17、解决了图形的不确定性例 14：已知常数a0,如下列图,在矩形 ABCD 中,AB4,BC4a ,O10 D F y C E G P O B x A 为 AB 中点,E F G 分别在BC CD DA 上移动,且BE BCCFDG, P 为 GECDDA与 OF 的交点,问是否存在两个定点,使P 到这两点距离之和为定值？如存在,求出这两点的坐标及此定值；如不存在,请说明理由解：由题意知,A 2,0 , B 2,0 , C 2,4 a , D 2,4 a ,设 BE CF DGk , 0 k 1,BC CD DA就 E 2,4 ak , F 2 4 ,4 a , G 2,4 a 4 ak ,直 线

18、 OF 的 方 程 为 2 a x 2 k 1 y , 直 线 GE 的 方 程 为a 2 j k 1 x y 2,a 0由这两个方程,消去 k 得点 P x y 的坐标满意方程 2 a x 2 2y 22 ay 0,即 x1 2 ya 2 a 21；2当 a 2 1时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合条件的两点；2当 a 2 1时,点 P 的轨迹为椭圆的一部分, 点 P 到该椭圆焦点的距离之和为定长,2如 a 2 1时,点 P 到该椭圆的焦点 1a 2, a , 1a 2, a 的距离之和为定值2 2 22 ,如a21时,点 P 到该椭圆的焦点0,a1a2, 0,a1a2的距离之和为22

19、2定值 2a 点评：此题依据参数2 a 的取值进行分类,2 a 值的不同直接影响点P 轨迹的外形11 例 15：已知直线 y kx 与直线 y kx , k 0 分别与椭圆 Ax 2By 21,a b R , A B 相交于 C E 和 D F 两点；y （1）用 A B k 表示四边形 CDEF 的面积 S ；D C （2）当 k 在区间 0,1 上变化时,求面积 S 得最大值 t ；O x E F （3）当 ABt 21 时,求A 的取值范畴B解：（1）由椭圆和直线的对称性可知, 四边形 CDEF 为矩形,如设 C m n ,就 S 4 mn ,2 1yAx 2 kxBy 21 xy 2 Ak Bk2 22 SA 4 kBk 2；A Bk（2）SA 4Bk 2 4AB AB 2,当且仅当 Ak Bk,即 k B时,等号成