江苏省泰州市2020-2021学年高二第一学期期末考试数学(理科)试题

1、【市级联考】江苏省泰州市2020-2021学年高二第一学期期末考试数学(理科)试题学校:姓名：班级：考号：一、填空题TOC o 1-5 h z命题：“若a=0,则ab=0”的逆否命题是.已知复数z=2-i(1是虚数单位)，则#=.3已知椭圆+=1,则椭圆的焦点坐标是25164.“(x+2)(x1)0”是“3vx0.b0)的离心率为顶，则一的值为a*lra直线1过点(0,1),且与曲线y=f(x)相切于点(a,3),若=则实数a的值是.在实数中：要证明实数，b相等，可以利用a0,且f(2)=|,则不等式(x+l)f(x2+1)1的解集为.观察下列等式：討出,|冷+右=+赤=+右,按此规律,11.

2、若定义在R上的函数f(x)=|x3-3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数m的取值范掏是12已知椭圆。話唸过点P(。的直线】与椭圆C交于A,B两点,若A是线段PB的中点，则点A的坐标为22113.已知椭圆C：卡+詈=i(ab0)的右焦点为F(2,0),f关于直线y=，x的对称点Q在椭圆C上，则b二.若函数y=+7x-2x2在(1,+S)上的最大值为8,则实数a的值为X二、解答题已知p：复数(a-l)+(a-4)i所对应的点在复平面的第四彖限内(其中aeR),q：VxeR,x2+2V3x+a0(其中aER).如果“P或q”为真，求实数a的取值范風如果“p且q”为真，求实数a的取值范|制.已

3、知抛物线C1；y2=2px一点M(3,m)(m0)到其焦点的距离为6,双曲线C?:寻話=l(b0)的左焦点为A,双曲线的一条渐近线与直线AM垂直.求抛物线G的方程；求双曲线C?的方程.(1)己知f(x)=J5T,xw0,+8),如X,x2e0,+oo),且XHX2,求证：(2)用数学归纳法证明：当nwN*时，32n+1+2n+2能被7整除.如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为X轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中OE=1(单位：百米)，NOEF=45，风景1(3)区的部分边界为曲线c,曲线c的方程为y=-x0)的右准线方程为ab-x=4，右顶点为A(2,0)

4、.求椭圆c的方程：若M,N是椭圆C上不同于A的两点，点P是线段MN的中点.如图1，若aOPA为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方，求直线MN的方程：如图2所示，点Q是线段NA的中点，若AM丄AN且/OPQ的角平分线与x轴垂直，求直线AM的斜率.20.己知函数f(x)=xliix,g(x)=ex,h(x)=kx+ex-*(kwR),其中e为自然对数的底数.求函数y=f(x)的单调区间：求证：g(x)f(x)+l；若f(x)+g(x)h(x)恒成立,求实数k的取值范围.参考答案若abH0,则a工0【解析】【分析】根据原命题和其逆否命题的形式，即可得到结杲.【详解】否定前提：。=0=。工0否定结论

5、：ab=O=ab0前提和结论都需要否定，然后调换位置本题正确结果：若ab工0,则qHO【点睛】本题考查命题的基本定义，属于基础题.5【解析】试题分析：=J2,+1=/5.考点：复数模的定义（-3,0）,（3,0）【解析】【分析】通过标准方程确定亍和/，根据db,c的关系，得到焦点仕c,0）.【详解】由题意得：ci=25，/?=16由a2=b2+c2得：c=J25_16=3焦点坐标为（3,0）本题正确结果：（一3,0）,（3,0）【点睛】本题考察了椭圆标准方程的定义和简单几何性质，属于基础题.4.充分不必要【解析】【分析】通过求解不等式得到-2xl,判断其与-3vxvl的关系即可得到结果.【详解

6、】由（x+2）（x-l）0可得：-2xl当一2兀1时，必有-3x01当一3x01时，则-2x0vl未必成立（如兀=一2.5）本题正确结果：充分不必要【点睛】本题考查充要条件的基础知识，属于基础题.【解析】【分析】对/（%）求导，通过广（切/W,即c=y/lOaa又c2=a2+b2,所以b=y/c2-a2=3a厶3a本题正确结果：3【点睛】本题考察了双曲线离心率以及a.b.c之间的关系，属于基础题.2【分析】利用切线斜率既等于导函数的值，又可以表示为两点连线斜率公式的形式，得到关于。的方程，解方程得到结果.【详解】广）=1即切线斜率k=l3-1?直线过（0,1）,（。,3）,贝=-a-Qa2=1

7、=d=2a本题正确结果：2【点睛】本题考察了导数的几何意义，关键在于构造出关于切线斜率的等量关系，属于基础题.AcB且【解析】【分析】集合之间的是“包含”和“包含于”的关系.集合相等，说明二者互为子集.【详解】A=B说明4集合和B集合元素完全相同，既互为子集的关系本题正确结果：且3匸4【点睛】本题考查合情推理中的类比推理，属于基础题.（一8,-1）2（1,+8）本题正确结果:本题正确结果:n+l+(n+l)(2n+l)【分析】由/(x)+h(x)0得到h(x)在尺上单调递增：将不等式中的1改写为2/(2),利用#(x)单调性得到关于x的不等式，解不等式得到结呆.【详解】f(x)+V，W0=0在

8、R上单调递增又/(2)=|,得2/(2)=1原不等式可化为：(x2+l)/(xz+l)2/(2)x2+l2nxe(-oo,-l)u(l,+co)本题正确结果：(-00,-1)u(l,-Ko)【点睛】本题考查函数单调性解不等式的问题，关键在于利用已知条件构造出h(x)这一新函数,从而通过h(x)的单调性得到自变量之间的人小关系.101n+1(n+l)(2n+l)【分析】通过1=1,234观察式子构成规律，总结规律，得到结论.【详解】J亠f2_+丄=丄+32X1+1261+12X31+1(1+1)X(2X1+1)三=亠，Z+丄=丄+丄=丄+52X2+13152+13X52+1(2+l)X(2x2+

9、l)J亠齢斗丄=丄+72X3+14283+14X73+1(3+l)X(2x3+l)2_21.1_1.1_1.1.十十十92X4+15454+15X94+1(4+l)X(2x4+l)2271+112271+11(71+l)(2n+1)【点睛】本题考查归纳推理，关键是找到所给条件的一般性规律，从而得到结论.(0,4)【分析】通过f-3扌+加的图像进行翻折得到门刃的图像，找到符合题意的x轴的位置，得到关于加的不等式，求得结果.【详解】设g(x)=十一3x2+m,则g(x)=3x2一6x令g(x)=0,解得：兀=0,=2则g(x)大致图像如图所示:/(x)图像可通过将g(x)图像位于A-轴下方部分翻折

10、到x上方极小值v0极人值时，可得到/(.Q有三个单调递增区间g(x)极小值：g(2)=8-12+?=?-4g(x)极大值:g(O)=m/./?7-400/n4（0,2jJ）,B（0,-2jJ）,很显然不满足题意，舍去当直线/斜率存在时，设/：），=总+6,代入椭圆方程得：（3+4/）+48也+96=0令A（心）小（兀2令A（心）小（兀2，儿），则XL+X2=43+4T963+4疋4为P3中点兀=2人可得:3為=48R可得:3為=48R3+4/16k3+4/2彳=962彳=963+4F483+4妒256k2(256k2(3+4/48Q解得：k2=-4二4（2,3）或4（2,3）故答案为（2,3）

11、或（-2,3）【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系问题，需要注意的是在假设直线斜截式方程时，要考虑斜率是否存在的情况，以保证求解的完整性.2【分析】通过点关于直线的对称点求解方法，求解出点0的坐标，代入椭圆方程，结合求得b的值.【详解】8-2,b，+4Sbb28-2,b，+4Sbb2+4口上=_1则:x-22则:y+0_bx+2又a2=b2+c2，将0代入椭圆方程，可求得：b=2本题正确结果：2【点睛】本题解题的关键在于掌握点关于直线的对称点的求解方法，求解时建立的方程选择卞列等量关系中的两个即可：对称点连线与对称轴垂直；两对称点的中点在对称轴上；两点到对称轴的距离相等.8027【分析】将原题转

12、化为-+7x-2x28在(1,2)上恒成立，通过分离变量求解出卷，通过验x2780证可知当a=时，最人值为827【详解】由题意得：-+lx-2x28在(h+oo)上恒成立整理得：a2x3一7x2+Sx设g(x)=2x3一7x2+8.v,则(x)=6x2-14x+8令g)=0,解得：X=l,x2=(4/4可得g(x)在ILyI上单调递减，在I-,+0I上单调递增803270，则21=12-4a3如果“p或q”为真，贝恰和q至少一个为真；求出p和q均为假的a的范围，取补集a1正确结果：(1,+8)如果“p且川”为真，则p真q假即卩la3Ia0)到其焦点的距离为6由抛物线的定义可得3+号=6,即有p

13、=6即有抛物线的方程为y2=12xvV*=l(b0)的左焦点为A设A（j9+b,0）,由可得M（3,6）.6则直线AM斜率：kAM=f=T3+j9+lr又双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，可得-+解得b=4则双曲线的方程为-=1916【点睛】本题主要考察抛物线的定义和双曲线的简单几何性质，属于基础题.处理时要注意与AM垂直的渐近线斜率为负.17.（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）通过分析法，将所证不等式变为证明：（J云-J云）0成立，通过已知条件得到此式成立，从而证得结论；（2）按照数学归纳法的步骤，先验证”=1时成立，再假设n=k时成立，利用假设证得n=k+Y时成立，从而证得结果.【

14、详解】（1）要证*f（xj+f（xjvf（鱼尹fx】+x_2=J2f(x)=f(x2)=5/x7,即证X+Xj2Jxe,即Xl+x-zJxX?0,即为(曲-o,由于X,x2e0,+o9）,且XHX_上式显然成立,(以上均可逆,故-f(X1)+f(x2)f节乂；22/(2)当n=l时,3知+2*=3+2=35，能被7整除;假设n=k时，32k+1+2k-能被7整除，那么当11=k+1时,32k+3+2k+3=932k+1+22k+2=732k+1+232k+1+22k+2=7.3f2.(3f2)，由于3如+2能被7整除，7-32k+1能被7整除，可得32k+3+2k+3能被7整除，即当n=k+1

15、时，3宀+23能被7整除;综上可得当nwN时，32n+1+2Q-能被7整除【点睛】本题考查不等式的证明方法.分析法和归纳法是证明不等式的常用方法.要注意的是在利用数学归纳法证明问题时，n=k时的假设在证明n=k+l成立时，必须得到应用.18.(1)S(t)=4r-4t+l18.(1)S(t)=4r-4t+l(2)【分析】(1)根据曲线切线方程的求法，得到切线A/N的方程；与EF方程联立，得到点N的坐标，利用S(t)=-ME-yN得到函数关系式：(2)通过导数求得S的单调性，可知极小值点即为最小值点，从而求得最小面枳.【详解】TOC o 1-5 h z11(1)由已知可知Pt,-，故直线MN的斜

16、率为一飞,t/t直线MN的方程为y=4(x-t)+-,Vt令y=0可得x=2tM(2t,0).又E(LO),NOEF=45J直线EF的方程为y=-x+l,联立方程组联立方程组当-t2时，S*(t)0,S(t)单调递减，当2t0,S单调递增.23当t=2时，S(t)取得最小值S(2)=-.3当t=2时，aEMN面积最小，最小面积为一2【点睛】本题考察了导数的几何意义和利用导数求解函数的单调性.求解的关键是能够通过切线，得到S(f)的表达式.属于基础题.4310【分析】(1)利用准线方程，顶点坐标，得到的值，从而得到椭圆方程；(2)利用等腰直角三角形，求得P点坐标；再利用点差法，求得直线MN的斜率

17、，得到直线方程；根据点3差法得到的结论kMN-kop=-,通过假设直线AM方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得两点坐标，构造关于R的方程，求得R的取值.【详解】a2b2(l)v椭圆C：+M=l(ab0)的右准线方程为x=4,右顶点为A(2,0)a2b2=4a=2t.c=ltb2=a2-c2=3*r椭圆c的方程为三+21=143(2)OPA为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方.OP的方程为：y=x,AP的方程为：y=x+2.y=xy=-x+2y=xy=-x+2可得P(U).设M(x”yJ,N(x设M(x”yJ,N(x2,v2).RiJx1+x2=2,+v2=244=手碍两式相减可得2)*厲-知

18、厲+%)=g=43xA-x223可得：氐打咯=一玄，又p(l,l),可得心亦=一才.3直线MN的方程为yl=-才(xl),即3x+4y7=0.设AM的斜率为4点P是线段MN的中点，点Q是线段NA的中点,3x+x2dy】+y三NOPQ的角平分线与x轴垂直，kp+kPQ=0,kop=k._33由可得kN1N-kop=-kj=44k设AM的方程为y=k(x-2).由ykx2可得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.3；r+4)厂=12722Xm16k2-123+4k28k2-6“8k2-6“_-12k3+4kYM_3+4k2以一+换k,可得XN=|-k3k+412k3k+43整理可得:105亠0,解彳痕花迥10直线AM的斜率为士穿【点睛】本题主要考察直线与椭圆位置关系的综合问题.解题的关键是合理的利用点差法，通过设而不求的方式，求解出直线斜率，或者建立斜率的关系式.点差法应用的主要题型为涉及中点弦和弦中点的问题.(1AJ1、(r20.(1)增区间为,+刃，减区间为0,-:(2)见解析；(3)LTe丿0), HY