等比数列及其前n项和080619doc

1、等比数列及其前n 项和 080619一、考题选析：例 1、（ 06 天津）已知数列xn ,yn满足 x1x21, y1y22 ，并且xn 1xn, yn 1yn（为非零参数， n2,3,4,）。xnxn 1ynyn1（1）若 x1 , x3 , x5 成等比数列，求参数的值；（ 2）当0 时，证明 xn 1xn nN * ；yn 1yn（3）当1时，证明 x1y1x2y2xnynn N *。x2y2x3y3xn 1yn 11解：（ I）由已知 x1x21，且 x3x2x3, x4x3x43 , x5x4x56 ,x2x1x3x2x4x3若 x1 、 x3 、 x5 成等比数列，则x32x1x5

2、 ，即26 。而0， 解得1。（ II ）由已知0, x1x21及 y1y2 2 ，可得 xn0, yn0.由不等式的性质，有yn 1yn2 yn 1.n 1 y2n 1ynynyn 2y11另一方面， xn1xn2 xn1.n 1x2n 1xnxn 1xn2x1因此， yn1n 1xn 1 (nN * ). 故 xn 1xn ( nN * )ynxnyn 1yn（III ）当1时，由（ II ）可知 ynxn1(nN * )又由（ II ） xn1xn (n N * ), 则yn 1xn1ynxnyn1ynxn 1xn从而 yn 1xn 1xn 1n 1 (n N * ). 因此ynxnxn

3、x1y1x2y2xnyn1 1( 1 )n 11( 1 )n11x2y2x3y3xn 1yn 11例 2、（ 05 全国 18）已知a是各项均为正数的等差数列，lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数n列又 bn11,2,3, （）证明bn 为等比数列；（）如果无穷等比数列bn， na2n各项的和 S1an的首项 a1 和公差 d 。，求数列3 n2例 3、（ 04 吉林）数列an的前 n 项和记为 Sn ，已知 a11, an 1Sn （ n 1，2，n3，）证明： ( )数列 Sn 是等比数列； ( ) Sn 14an n二、考题精练：（一）选择题：1、（ 07 重庆）若 a

4、是 12b 与1 2b的等比中项，则2ab的最大值为（）2 ba、 25、2、5、2154522、（ 07 陕西）各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn 为，若 Sn2 ， S3n14 ，则 S4 n 等于（）A、80B 、30C、 26D 、163、（ 06 湖北）若互不相等的实数a, b, c 成等差数列， c, a, b 成等比数列， 且 a 3bc10 ，则 a ( )A、 4B、 2C、 2D、 44、（ 06 湖南）若数列 an 满足 : a11m, n 都有 am naman ,则,且对任意正整数3lim (a1a2an )（）nA 、 1B、 2C、 3D、 223

5、25、（ 06 辽宁）在等比数列an 中 , a12 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 an 1也是等比数列 ,则 Sn等于（）A 、2n 12B、 3nC、 2nD、3n16、（05江苏）在各项都为正数的等比数列an 中，首项 a13 ，前三项和为21，则a3 a4a5（）A、33B、72C、 84D、189（二）填空题：7、（ 07 重庆）设 an为公比 q1 的等比数列， 若 a2004和 a2005 是方程 4x28x 30 的两根，则 a2006a2007_；8、（06 重庆）在数列an中 ， 若 a1 1, an 12an3(n1) ,则该数列的通项an _。（三）解答题：9、（

6、06 山东22 ） 已知 a12 ，点 (an ,an 1 ) 在 函数 f (x)x22x 的图象 上，其 中n 1,2,3,。（1）证明数列 lg(1an ) 是等比数列；（2）设 Tn(1a1 )(1 a2 )(1 an ) ，求 Tn 及数列 an 的通项；（3）记 bn11，求数列 bn 的前 n 项 Sn ，并证明 Sn21。anan3Tn 12解：（）由已知an 1an22an ，an 11(an1)2a12an11，两边取对数得lg(1an 1 )2lg(1an ) ，即 lg(1 an 1 )2 lg(1 an )lg(1 an )是公比为2 的等比数列 .（）由（）知lg(1an )2n 1 lg(1 a1) 2n 1 lg3 lg3 2n 11an32n 1（ * ）Tn(1a1 )(1 a2 ) (1+a n )32032132 2 32n-131 2 22 +2n-1= 32n -1由（ * ）式得 an 32n 11（）an 1a02an 11an 1an11又 bnan 2an2anan( an2 )1(1an1 )2an21122anan1bn2( 11)a