专题26 最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）（解析版）

1、专题26 最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1设二次函数在上有最大值，最大值为（a），当（a）取最小值时，A0B1CD【解答】解：在上有最大值（a），且当时，的最大值为，即且（a），当时，即时，（a）有最小值2，故选：2（2021春绍兴期末）已知函数，设的最大值为，若的最小值为1时，则的值可以是AB0CD1【解答】解：因为，而函数，因为，且，则，由题意可得：存在，对于任意的，使得的最小值为1，由于在数轴上的点，和点之间的距离恰好为2，因此要使的最小值为1，则必有，且，解得，故选：3（2021济南模拟）已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则

2、实数的取值范围是AB，C，D，【解答】解：存在，使得成立，对任意的实数，；可看作横坐标相同时，函数与函数图象上点的纵向距离，则问题等价于求函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值；如图，记，连接，则图中直线的斜率为，直线的方程为，设直线与直线平行，且与函数相切于点，又，令，解得，切点，则切线的方程为，当直线与直线，平行且与两直线距离相等时，即恰好处于两直线正中间的位置时，函数与函数图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值，此时，此时，故选：法二：记函数的最大值为，由题意可知，对任意，恒成立，所以，依题意，分别令，0，2，可得，（2），所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以故选：4设函

3、数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：设的最大值为（b），令，当，时，函数单调递减，由，解得由，时，（b）；时，（b）当时，（b）由，（b），（b）由时，（b），（b）综上可得：（b），故选：5（2021柯桥区校级开学）已知函数，对于任意的实数，总存在，使得成立，则当取最大值时，A7B4CD【解答】解：，设，则，令，解得：或，令，解得；，故在，递增，在递减，（3），设，画出函数的图像，如图示：对于任意的实数，总存在，使得成立，等价于求绝对值的最小值，结合图像，时，取最大值，此时，故选：6（2021杭州期末）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得

4、，则实数的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：对任意的正实数，总存在，使得，令，函数在，单调递减，（1），（4）时，则时，则时，则时，则综上可得：实数的取值范围为，故选：二填空题（共20小题）7（2021浙江月考）设函数，当，时，记的最大值为，则的最小值为【解答】解：由去绝对值可得在，的最大值为，（2），中之一，由题意可得，（2），上面四个式子相加可得，即有，可得的最小值为故答案为：8（2021台州期末）已知函数，当，时，设的最大值为，则的最小值为【解答】解：函数，当，时，设的最大值为，可得，可得，即，即有，则的最小值为，故答案为：9（2021春舟山期末）已知函数在区间，上的最大值为，当取到

5、最小值时，则【解答】解：由条件有（1），（4），（2）；由得，所以，当且仅当或时等号成立；解得或无解，此时故答案为：10（2021杭州模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为2，当取到最小值时，【解答】解：，上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，与函数，图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，故故答案为：2，11（2021浙江模拟）已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值为5【解答】解：令，则，则，由去绝对值可得在，的最大值为，（2）中之一，由题意可得，（2），故，故答案为：5

6、12（2021杭州模拟）已知函数当，的最大值为，则的最小值为7【解答】解：依题意，则，当且仅当且时取等号取，则，当时，单调递增，当时，单调递减，（1）；取，则，显然函数在，上递减，在，上递增，（2），；综上所述，的最小值为7故答案为：713（2021桐乡市校级模拟）设函数，当，时，记最大值为，则的最小值为【解答】解：方法一：，设，由单调性可知，当，时，当且仅当或时取等号方法二：，令，令，则，当，时， 单调递增；所以（1），（e），即，；令，则，当，时， 单调递减，所以（1），（e），即，所以，所以，且，由得，所以，由得，所以，综上所述，故答案为：14已知函数，记的最大值为，若对于任意的正实数，

7、的最小值为，则取最小值时，【解答】解：由题意得：（1），且，又、为正实数，由基本不等式得：（当且仅当时等号成立），由得：，此时，得，从而解得：，此时，得，故答案为：15（2021春浙江期中）已知，设函数的最大值为，则的最小值为【解答】解：令，当时，记，函数，的对称轴为，当，函数的对称轴为，故答案为：16（2021浙江模拟）已知，设函数，上的最大值为，则的最小值为【解答】解：，故，故，故，故答案为：17（2021春西湖区校级期中）已知函数，记为的最大值，则的最小值为 【解答】解：，定义域是，可知在，上单调递减，在，上单调递增，又，所以，所以当时，（a），又因为，（a），所以，（a）（a），即，（

8、a），所以，当且仅当，时取等号，故答案为：18（2021诸暨市二模）已知函数在区间，内的最大值为，为常数）且存在实数，使得取最小值2，则2【解答】解：函数是二次函数，函数在区间，内的最大值为在端点处或处取得若在处取得，则，若在处取得，则，若在处取得，则若，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合要求，若则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立由此推断，即有，则，可得故答案为：219（2021浦东新区校级月考）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是【解答】解：设的最大值为（a），令，当，时，函数单调递减，可得，由，可得当时，（a）；当时，可得（a）；当时，可得（a）；综上可得

9、，当时，（a），所以故答案为：，20（2021浙江月考）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是【解答】解：原问题等价于，构造函数，且（1）（3），则，解得，则函数可理解为函数与函数在横坐标相等时，两纵坐标的竖直距离，作示意图如下，由图显然，当函数位于直线与直线正中间时，函数取得最大值中的最小值，易知，直线的方程为，又，令，解得或（舍去），则直线的方程为，故答案为：21（2021春诸暨市校级期中）设函数，若对任意的实数，总存在，使得，则实数的取值范围为【解答】解：由题意，函数可理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，作函数如下图所示，由图可知，当位于直线与直线正中

10、间时，函数取得最大值中的最小值，显然，直线的方程为，又，令，解得，则直线的方程为（1），故答案为：22（2021包河区校级期末）设函数，对于任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是【解答】解：对于任意的实数，总存在，使得成立，设的最大值为，可得，（2），（4），即有，可得，可得，即有，可得，由，可得，可得，故答案为：23（2021呼和浩特期中）设函数，若对任意实数，总存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是【解答】解：设的最大值为（b），令，则在，上，当时，即时，单调递增，此时，当时，（b），当时，（b），从而当时，时，（b）取最小值，（b），当时，在，上单调递增，在，上单调递减，

11、在，时，当时，（b），在，时，当时，（b），对任意实数，总存在实数，使得不等式成立等价于恒成立，故答案为：，24（2021一卷模拟）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为2【解答】解：考虑问题的反面：存在实数和，对任意的，使得成立，即，设，则，易知函数在上递增，在上递减，且（3），（1），而可理解为函数与直线在横坐标相同时，纵坐标的竖直距离，由图可知，存在实数和，对任意的，使得成立的的取值范围为，故对任意的实数和，总存在，使得的的取值范围为，则实数的最大值为2故答案为：225（2021下城区校级月考）设函数，当，时，且的最大值为2，则2【解答】解：由已知得在，上是增函数，则（