数学建模资源数模09-04模糊数学概论

1、模糊数学概论理学院数学建模竞赛指导教师组王嘉寅模糊数学概论模糊数学能做什么？模糊数学能怎样做？模糊数学能做什么？确定性不确定性1.随机性：事物本身的含义明确，但是事物发生的条件不明且不可预知2.模糊性：事物本身的含义模糊确定性问题举例：服药问题医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔600 mg zidovudine+2.25 mg zalcitabine；8小时后服600 mg zidovudine+400 mg didanosine；8小时后服600 mg zidovudine+400 mg didanosine+400 mg nevirapine确定性问题举例：服药问题

2、已知某患者服药后，药品在体内逐渐被吸收并发生生化反应，体内药品的浓度因此随之逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比。若服药间隔相等若单次服药量有效成分量为A求分析体内药品的浓度的变化？确定性问题举例：服药问题假设：单次服药A后，体内药品的浓度瞬间增加a。设T为服药间隔，x(t)为t时刻体内药品的浓度dx(t)/dt=-kx(t), tnTx(0)=a, n=1,2,确定性问题举例：服药问题在区间0, T)上解为：x(t)=ae-kt, tnT, (n+1)T), n=0,1,2,在区间T, 2T)上解为：x(t)= (a+e-kT)e-k(t-T)在区间2T, 3T)上解为：x

3、(t)= (a+ae-kT +ae-2kT)e-k(t-2T)确定性问题举例：服药问题在区间nT, (n+1)T)上解为：x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT + ae-nkT )e-k(t-nT)=a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT)=a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT)综上所述，药品的浓度在患者体内呈上升趋势，并最终收敛于确定的浓度值。确定性问题举例：服药问题随机性问题举例：服药问题已知某患者服药后，药品在体内逐渐被吸收并发生生化反应，体内药品的浓度因此随之逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓

4、度成正比。若服药间隔随机若单次服药量为A求分析体内药品的浓度的变化？模糊性问题举例：服药问题医生给病人开处方时没有明确注明：服药的剂量和服药的时间间隔白芷、川芎、甘草、茯苓、当归、肉桂、白芍、半夏各9g，干姜、厚朴各12g，陈皮、枳壳、麻黄各18g，苍术72g，桔梗36g：除枳壳、肉桂外，细锉，慢火炒至色变，摊冷，入枳壳、肉桂拌匀。水煎至半，热服。如何求解药物的浓度变化？模糊数学的主要任务模糊事物的精确化模糊数学的开端1965年美国计算机与控制论专家L.A.Zadeh教授在信息与控制杂志上发表了开创性的论文模糊集合，从此以后模糊集理论引起学界的高度重视，并广泛应用与生产生活的各个领域。模糊集合

5、模糊集合（Fuzzy Set）与隶属函数（Membership function）定义1：对于某个确定的模糊问题，研究对象的集合定义为论域U模糊集合定义2：设A是论域U上的一个集合，对于任意uU，令则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的特征度。模糊集合定义3：设A是论域U上的一个集合，如果A的特征函数取值介于0,1，则定义A是论域U上的一个模糊集合。定义4：模糊集合A的特征函数称为模糊集合A的隶属函数，记为A 。隶属函数A (u)在u=u0处的取值A (u0)称为u0对A的隶属度。从经典集合论到模糊集合论特征函数的取值范围0,10,1。

6、定义5：设A是论域U上把任意uU映射为0,1上某个值的函数，即A :U0,1或者uA(u)则称A为定义在U上的一个隶属函数，由A(u)(uU)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，A(u)称为对A的隶属度。模糊集举例高个子与矮个子成绩好与成绩差年纪老与年纪轻建立隶属函数的基本方法模糊统计法对比排序法专家评判法正规模糊集（Normal Fuzzy Set）定义6：设A为论域U上的某个模糊集，则suppA=x|x X, A(x)0kerA=x|x X, A(x)=1则称suppA为A的支集（support），称kerA为A的核（kernel），suppAkerA称为A的边界（boundary）。定义

7、7：若kerA非空，则A为正规模糊集。模糊集的表示方法若论域离散且有限，则模糊集A可表示为：向量表示法：A=A(u1),A(u2),A(un)Zadeh表示法：A=A(u1)/u1+A(u2)/u2+A(un)/un模糊集的表示方法若论域连续，则模糊集A可表示为：Zadeh表示法：模糊集合的运算定义8：设论域U上有模糊集A,B，若对于任意的uU，都有A(x)B(x)，则称B包含A或者A被包含于B；若对于任意的uU，都有A(x)=B(x)，则称A与B相等；若A包含于B但AB，则称B真包含A或者A被真包含与B。模糊集合的运算定义9：设论域U上有模糊集A,B和二元关系集合R，其中R的前域为B后域为A

8、，若R是自反的、反对称的、传递的，则称R是论域U上模糊集A,B偏序关系。定理1：模糊集合的包含关系是偏序关系定理1的证明。模糊集合的运算Zadeh算子定义10：运算与算子定义11：运算与算子定义12：运算与-算子模糊集合的运算设U=u1,u2,u3，A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3，B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3模糊集合的运算AB=(0.30.6)/u

9、1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 =0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3模糊集合的运算模糊集合的运算语气算子的作用建立隶属函数的扩展方法设U=1,2,10大的集合=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10小的集合=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5求不大也不小的集合？不大也不小=不大不小建立隶

10、属函数的扩展方法大的集合=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10小的集合=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5不大也不小=不大不小= 大小不大也不小=0.2/2+0.4/3+0.6/4+0.6/5+0.4/6+0.2/7建立隶属函数的扩展方法大的集合=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10小的集合=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5很大=大2(u)=0.22/4+0.42/5+0.62/6+0.82/7+12/8+12/9+12/10很大=0.04/4+0.16/5+0.36/6+0.64

11、/7+1/8+1/9+1/10建立隶属函数的扩展方法大的集合=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10小的集合=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5有点大=大0.5(u) = 0.20.5/4+0.40.5/5+0.60.5/6+0.80.5/7+10.5/8+10.5/9+10.5/10=0.45/4+0.63/5+0.77/6+0.89/7+1/8+1/9+1/10模糊集合的运算设论域U上有模糊集A,B,C幂等律AA=A, AA=A交换律AB=BA, AB=BA结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)模糊集合的运算设论域U上有模糊

12、集A,B,C分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)吸收律 A(AB)=A, A(AB)=A复原律(A)=A模糊集合的运算设论域U上有模糊集A,B,C0-1律 AU=U, AU=A A=A, A=对偶律 (AB)=AB (AB)=AB模糊集合的运算定义13：设论域U上有模糊集A,B,CAB= ABAB=(AB)(AB) 则称AB为A与B的差（different），称AB为A与B的对称差（symmetric different）。模糊集合的水平截集水平截集是把模糊集合转化成普通集合的一个重要概念定义14：设AF(U), 0,1，则称普通集合A=u|uU, A(u)为A的

13、一个水平截集，称为阈值或置信水平。模糊集合的水平截集模糊集合的模糊程度：模糊度定义15：设AF(U)，d是定义在F(U)上的一个实函数，如果它满足以下条件(1)对任意AF(U)，有d(A)0,1(2)当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0(3)若A的隶属函数A(u)0.5，则d(A)=1(4)若A,BF(U),且对任意uU,满足模糊集合的模糊程度：模糊度B(u)A(u)0.5或者B(u)A(u)0.5则有d(B)d(A)(5)对任意AF(U) ，有d(A)=d(A)则称d为定义在F(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。模糊度的性质普通集合的模糊度是0表示所刻画的概念不模糊隶属度越接近0.5表示所刻画的概念越模糊，当A(u)0.5时最模糊模糊集A与其补集A有相同的模糊度模糊度的计算公式海明(Haming)模糊度欧几里德(Euclid)模糊度模糊度的计算公式明可夫斯基(Minkowski)模糊度香农(Shannon)模糊度模糊集合的贴近度定义16：设A,BF(U), 则称N(A,B)=1-1/n(|bi-ai |)=0.875为模糊集合A和B的贴近度。贴近度应用举例：文字识别在计算机内存放0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字的模板，每个样本数字放在一个44的小方格内。规定：每个含有比划的小方格用1表示，不含比划的小方格用0表示。因此样本“