高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例第4节相关性、最小二乘估计与统计案例教师专用文北师

1、第四节相关性、最小二乘估计与统计案例考纲传真1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验(只要求2X2列联表)的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.抓基础自主学习|材双-i.知识梳理.相关性(1)线性相关若两个变量X和V的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动,则称变量间是线性相关的.(2)非线性相关若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动波IJ称此相关为非线性相关的.(3)不相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则

2、称变量间是不相关的.最小二乘估计(1)最小二乘法如果有77个点(M,必).(X2,必)，(X.,以)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度：弘一(a+6*i):+%(a+b*2)F(a+bx),。使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.(2)线性回归方程方程y=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(为，%)，(*2,%),，(七，G的线性回归方程，其中a6是待定参数.回归分析（1）定义:对具有相叁系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.（2）样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据（M,%）,（应，n）,a,y）中，（错

3、误!，错误!）称为样本点的中心.（3）相关系数r厂=错误！；当r0时，称两个变量正相关.当0时，称两个变量负相关.当r=0时，称两个变量线性不相关.独立性检验若一个2X2列联表为：8g总计4aba+b4Cdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d则它们的独立性检验公式为：/=错误!.（1）当/W2.706时，可以认为变量48是没有关联的;当/2.706时，有90%的把握判定变量人8有关联；（3）当z23.841时,有95%的把握判定变量48有关联;(4)当/6.635时,有99%的把握判定变量48有关联.学情自测.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打错误的打“X”)“名师出高徒“可以解释

4、为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()(2)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x()之间的关系，得回归方程错误!=一2。352x+147,767,则气温为2时，一定可卖出143杯热饮.()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.()(4)若事件人8关系越密切，则由观测数据计算得到的/的值越小.()答案(1)V(2)X(3)X(4)X(2017南昌一模)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数错误!=3,错误!=3。5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y=0.4x+2.3B.y=2x2.4C.y=2x+9.5D.y=-0o3x

5、+4。4A因为变量4和y正相关，排除选项C,Do又样本中心(3,3.5)在回归直线上，排除B,选项A满足.(2015全国卷II)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()2004年2005年2006年2007牛牛2009牛2010牛2011年2012年2013年图9。4.1A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著2007年我国治理二氧化硫排放显现成效2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于

6、B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D。4.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算/七0。99,根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A.有99舟的人认为该电视栏目优秀B.有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C.有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D只有z26o635才能有99席的把握认为“该

7、电视栏目是否优秀与改革有关系、而即使/6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关，故只有D正确.50设第3名学生的体重为名则错误！(48+57+54+64+61+43+59)=0.849X错误！(165+165+157+170+175+165+155+170)-85o712。解得K50.明考向题型突破|相关关系的判断卜例口(1)(2015湖北高考)已知变量x和y满足关系产=-0。1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()x与y正相关，x与z负相关x与y正相关,x与z正相关0.x与y负相关,*与z负相关D.X与v负相关，*

8、与z正相关(2)x和y的散点图如图9o4O2所示，则下列说法中所有正确命题的序号为00025002000I5001000图9。4。2y是负相关关系；在该相关关系中，若用y=GeQ*拟合时的相关系数的平方为错误!，用v=+a拟合时的相关系数的平方为喈误!，则一错误!错误!；x,y之间不能建立线性回归方程.(1) C (2)(1)因为卜=-0。1*+1的斜率小于0,故x与v负相关.因为(1) C (2)z正相关，可设z=6y+a,60,则z=6y+a=0。16x+b+a,故4与z负相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此是负相关关系，故正确；由散点图知用尸Geox拟合比用v=b

9、x+a拟合效果要好，则厂错误!错误!，故正确；x,y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.规律方法1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法.若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的.2.判断两个变量正相关还是负相关,有三种方法：(1)利用散点图.(2)利用相关系数的符号.当厂0时，正相关；/V0时，负相关.(3)在已知两变量线性相关时，也可以利用回归方程y=a+bxo当b0时，两变量是正相关，当b3o841.所以，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关12分规律方法1.在2X2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足初一/七0.

10、|狗一儿|越小，说明两个变量之间关系越弱；|初一儿|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2X2列联表；(2)根据公式/=错误!计算/的值；（3）比较/与临界值的大小关系,作统计推断.变式训练3（2017济南联考）某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；月收入（单位：百元）15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521

11、（D若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少（结果保留2位小数）；（2）由以上统计数据填下面2X2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者赞成定价者总计附：*2=错误!.P(/2桁)0o050o01Xo3.8416o635解（1）“赞成定价者”的月平均收入为M=错误！50.560“认为价格偏高者”的月平均收入为*2=错误！=38075,“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是川一收=50。56

12、-38o75=11.81（百元）.5分（2）根据条件可得2X2列联表如下:月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计认为价格偏高者32932赞成定价者71118总计104050/=错误!26。27思想与方法.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：G）确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；（2）根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；（3）求出线性回归方程.根据/的值可以判断两个分类变量有关的可信程度.易错与防范.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，

13、否则，求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.独立性检验中统计量/的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑，引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeu