直接证明与间接证明222反证法课件

1、直接证明与间接证明222反证法课件直接证明与间接证明222反证法课件复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3.在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立,则C必

2、定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.思考？（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法，同一法也是一种间接证法. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。理论 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方反证法的证明过程：否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个步骤：反设归谬存真反设假设命题的结论不成立；存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论 成立。归谬从假设出

3、发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立反证法的证明过程：否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个 已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以a是偶数。 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题 已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。例2： 不可能成等差数列注：否定型命题(命题的结论

4、是“不可能”，“不能表示为”，“不是”，“不存在” ，“不等于”，“不具有某种性质”等) 常用反证法解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？例2： 不可能成等差数列注：否定型命题(命题练习：练习： 例4 求证： 是无理数。 例4 求证： 是无理数。例3 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 x2 )是方程的两个根.例3 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：

5、例4：已知x0,y0，x+y2，求证： 中至少有一个小于2。 分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 例4：已知x0,y0，x+y2， 分析：所谓至少常见否定用语是不是 有没有等不等 成立不成立都是不都是，即至少有一个不是都有不都有，即至少有一个没有都不是 部分或全部是，即至少有一个是唯一至少有两个至少有一个有（是）全部没有（不是）至少有一个不全部都常见否定用语是不是 有没有归纳总结三个步骤：反设归谬存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。归纳总结三个步骤：反设归谬存真归缪矛盾： 一般地，假（1）直接证明有困难正难则反!哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题（2）否定性命题（4）至多，至少型命题归纳总结（1）直接证明有困难正难则反!哪些命题适宜用反证法加以