2022届江苏省南京市鼓楼区高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数，则=（ ）A1BCD2在函数：；中，最小正周期为的所有函数为（ ）ABCD3已知四棱锥

2、的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ）A9B7CD4将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( )ABCD5如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=，则下列结论中错误的是（ ）AACBEBEF平面ABCDC三棱锥A-BEF的体积为定值D异面直线AE,BF所成的角为定值6已知数列的前n项和为，且对于任意，满足，则（ ）ABCD7一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可

3、赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A甲件，乙件B甲件，乙件C甲件，乙件D甲件，乙件8记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )ABCD9已知满足，,则在上的投影为（）ABCD210如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A2019年12月份，全国居民消费价格环比

4、持平B2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格11三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD12函数fxABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若NRF=60，则|FR|等于_.14已知全集为R，集合，则_.15有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获

5、奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_16已知实数，满足约束条件则的最大值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等比数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.18（12分）求函数的最大值19（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.（1）若，求的单调区间；（2）若，的一条对称轴是，求在的值域

6、.20（12分）已知数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和21（12分）设函数.（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；（2）若，求证：当时，22（10分）的内角，的对边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）若，求的周长.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据复数的除法运算，代入化简即可求解.【详解】复数，则故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.2A【解析】逐一考查所给的函数： ，该函数为偶函数，周期 ；将函数 图象x

7、轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；函数的最小正周期为 ；函数的最小正周期为 ；综上可得最小正周期为的所有函数为.本题选择A选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误一般地，经过恒等变形成“yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)”的形式，再利用周期公式即可3C【解析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设，则.因为平面，平面，所以.又，所以平面，则.易知，.在中，即，化简得.在中，.所以.因为，当且仅当，时等号成立，所

8、以.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.4B【解析】首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.【详解】的最小正周期为，那么()，于是，于是当时，最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.5D【解析】A通过线面的垂直关系可证真假；B根据线面平行可证真假；C根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D根据列举特殊情况可证真假.【详解】A因为，所以平面，又因为平面，所以，故正确

9、；B因为，所以，且平面，平面，所以平面，故正确；C因为为定值，到平面的距离为，所以为定值，故正确；D当，取为，如下图所示：因为，所以异面直线所成角为，且，当，取为，如下图所示：因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.6D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可【详解】当时，所以数列从第2项起为等差数列，所以，故

10、选：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题7D【解析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，画出可行域如图所示，显然当经过时，最大.故选：D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.8C【解析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：的圆及

11、内部的平面区域，面积为，集合，表示的平面区域即为图中的，根据几何概率的计算公式可得，故选：C【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型解决本题的关键是要准确求出两区域的面积9A【解析】根据向量投影的定义，即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.10D【解析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，则有，所以D正确.故选：D

12、【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.11B【解析】设，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，由题意得：，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.12A【解析】由f12=e-140排除选项D;【详解】由f12=e-140，可排除选项D，f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合

13、性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。132【解析】由题意知：，.由NRF=60，可得为等边三角形，MFPQ，可得F为HR的中点，即求.【详解】不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，.M，N分别为PQ，PF的中点，PQ垂直l于点Q，PQ/OR，NRF=60，为等边三角形，MFPQ，易知四边形和四边形都是平行四边形，F为HR的中点，故答案为：2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14

14、【解析】先化简集合A,再求AB得解.【详解】由题得A=0,1,所以AB=-1,0,1.故答案为-1,0,1【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用.161【解析】作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，转化目标函数为当目标函数经过点时，直线的截距最大此时取得最大值1故答案为：1【点睛】本题考查了线

15、性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.（2）既是“数列”又是“数列”，可得，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.【详解】（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：等比数列是“数列”. （2）证明：既是“数列”又是“数列”，可得，（） （），（） 可得：对于任意都成立，即 成等比数列，即成等比数列， 成等比数列， 成等比数列，设，（）数列是“数列”时，由（）可得： 时，由（）可得： ，

16、可得，同理可证成等比数列， 数列是等比数列【点睛】本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.18【解析】试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为， 所以 等号当且仅当，即时成立所以的最大值为 考点：柯西不等式求最值19（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论【详解】由题意得（1）向左平移个单位得到，增区间：解不等式，解得，减区

17、间：解不等式，解得.综上可得，的单调增区间为，减区间为；（2）由题易知，因为的一条对称轴是，所以，解得，.又因为，所以，即.因为，所以，则，所以在的值域是.【点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题20（1）；（2）【解析】（1）由化为，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到是首项为，公差为的等差数列求解.（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【详解】（1）可以化为，又时，数列从开始成等差数列，代入得是首项为，公差为的等差数列，.（2）由（1）得，两式相减得，.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21（1）（2）见解析【解析】(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.【详解】（1），时，在上单调递减，令，时，；时，在上为减函数，在上为增函数，的取值范围为（2）若，时，令，显然在上为增函数又，有唯一零点且，时，；时，在上为增函数，在上为减函数又，当时，【点睛】此题考查函数定区