2023届福建省龙岩市上杭县高三上学期暑期考试数学试题（解析版）

1、上杭县20222023学年高三月考数学试题上杭20222023学年高三月考数学试题PAGE 上杭县20222023学年高三月考数学试题（第卷，选择题部分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A=x|，B=x|-1x1，则AB=（ ）A. -1，0B. 0，1C. -1，2D. 1，22. 函数的值域是（ ）A B. C. D. 3. 已知命题：，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 5. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B.

2、 （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）6. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 7. “绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）A. 1个月B. 3个月C. 半年D. 1年8. 苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Mac

3、laurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ）A. 若，则B 若，则C. ，“恒成立”是“”的充分不必要条件D. 若，则的最小值为11. 对于函数和，则下列结论中正确为（ ）A. 设的定义域为，的

4、定义域为，则B. 函数的图像在处的切线斜率为0C. 函数的单调减区间是，D. 函数的图像关于点对称12. 已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为A. 1B. eC. 2eD. 3e（第卷，非选择题部分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数偶函数，则_14. 已知函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是_15. 定义在上的函数满足以下两个性质：，满足的一个函数是_16. 定义在上函数满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，直棱柱的底面中，棱，如图，以为原

5、点，分别以，为轴建立空间直角坐标系（1）求平面的法向量；（2）求直线与平面夹角的正弦值.18. 已知（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围19. 今年年初，我市某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战.（1）求选派的4人中至少有2名医生的概率；（2）设选派的4人中医生人数为X，求X的概率分布和数学期望.20. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值21. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行

6、独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.（1）写出的分布列；证明：；（2）某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由.22. 已知函数，（1）求函数最值；（2）令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由上杭一中20222023学年高三月考数学试题（第卷，选择题部分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A=x|，B=x|-1x1，则AB=（ ）A. -1，0B. 0，1C. -1，2D. 1，2

7、【答案】C【解析】【分析】解出集合A，进而根据交集定义解得答案即可.【详解】由题意，则.故选：C.2. 函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可令，然后将函数转化为，最后利用反比例函数性质得出当时函数的值域，即可得出结果.【详解】令，则，因为函数在上单调递减，所以当时函数的值域为，则函数值域为，故选：B.【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题.3. 已知命题：，若是真命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，则可求出命题为假

8、命题的范围，即可选出答案.【详解】若命题为真命题则，即.又是真命题，即命题为假命题，即.故选：D.4. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，去掉绝对值，变函数为分段函数，结合导数研究其单调性，可得答案.【详解】由函数，当时，易知单调递增，且，可得下表：极小值则，当时，令，令，解得，可得下表：极小值则，即，则单调递增.故选：A.5. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=

9、1+0=10,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间6. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数，当时，单调递增，所以，.故选：A7. “绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米已知污染源以每天个单位污染

10、河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）A. 1个月B. 3个月C. 半年D. 1年【答案】C【解析】【分析】由题可知：，化简得出结论.【详解】由题可知：（天）要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.故选：C.8. 苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式

11、：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由麦克劳林公式得，进而可得答案.【详解】解：根据麦克劳林公式得：，所以由于.故的近似值为.故选：B.【点睛】本题考查数学知识迁移与应用能力，解题的关键是将所求近似代替，是中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】A选项，的定义域为，为偶函数

12、.当时，为增函数，符合题意.B选项，的定义域为，当时，为减函数，不符合题意.C选项，的定义域为，为奇函数，不符合题意.D选项， 的定义域为，为偶函数.当时，根据复合函数单调性同增异减可知：为增函数，符合题意.故选：AD10. 下列说法中正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. ，“恒成立”是“”的充分不必要条件D. 若，则的最小值为【答案】AD【解析】【分析】对于A,B，利用不等式的性质可以判断；对于C，利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可判断；对于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以判断.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，所以，即.

13、故B 不正确；对于C，恒成立等价于，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，即.所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.对于D,因为，=，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，故D正确.故选：AD11. 对于函数和，则下列结论中正确为（ ）A. 设的定义域为，的定义域为，则B. 函数的图像在处的切线斜率为0C. 函数的单调减区间是，D. 函数的图像关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】利用导数来研究函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质来研究定义域与对称性问题.【详解】因为，所以，即，解得，因为，所以，解得.所以.故A正确；因为，所以，

14、所以，所以的图像在处的切线斜率为-1，故B错误；因为，定义域为：，所以，由有：，所以函数的单调递减区间是，故C正确；当时，.所以函数的图像关于点对称，故D正确.故选：ACD.12. 已知函数（e为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m的取值可以为A. 1B. eC. 2eD. 3e【答案】CD【解析】【分析】首先判断为偶函数，考虑时，的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求的范围.【详解】解：因为，可得，即为偶函数，由题意可得时，有两个零点，当时，即时，由，可得，由相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得：或（舍去），即

15、有切线的斜率为，故，故选：CD.【点睛】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想及计算能力，难度较大.（第卷，非选择题部分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若函数为偶函数，则_【答案】1【解析】【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，考点：函数的奇偶性【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取14. 已知函数若存在，使得成立，则实数的取值

16、范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，利用基本不等式求出，然后解不等式可求出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，因为存在，使得成立，所以，即，所以，即（舍去），或，得，所以的取值范围为，故答案为：15. 定义在上的函数满足以下两个性质：，满足的一个函数是_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据性质可知，为奇函数且函数图像关于对称，即可得到结果.【详解】因为，即满足性质又因为，且所以，即满足性质故答案为:16. 定义在上函数满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解【详解】因为当，时，所

17、以，因为，当，时，即时，所以，即，当，即，时，当，即，时，所以，依此类推，作出函数的图象，如图所示：由图象知：，,当时，当时,因为对任意，都有，则，解得：，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，直棱柱的底面中，棱，如图，以为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系（1）求平面的法向量；（2）求直线与平面夹角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为，即可求解平面的一个法向量；（2）取出向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值. 详解：（1）由题意可知故设为平面的

18、法向量，则， 令，则 （2）设直线与平面夹角为， 点睛：本题考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.18. 已知（1）当时，讨论的单调区间；（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围【答案】（1）单调增区间是，单调递减区间为. （2）【解析】【分析】（1）对求导，利用导函数

19、的正负讨论单调区间；（2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可.【小问1详解】当时，定义域.令，即解得：；令，即解得：； 当时，函数的单调增区间是，递减区间为.【小问2详解】，在上单调递增，即恒成立， 时，即a的取值范围为19. 今年年初，我市某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战.（1）求选派的4人中至少有2名医生的概率；（2）设选派的4人中医生人数为X，求X的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】分析】（1）分别对“4人中有2名医生2名护士”、“4人中有3名医生1名护士”记事件，然后根据互斥事件以及组合知识，

20、进行求解可得结果.（2）列出的所有可能结果，并计算相应概率，然后列出分布列，最后根据数学期望公式，可得结果.【详解】（1）记选派的4人中至少有2名医生为事件A，记4人中有2名医生2名护士为事件，记4人中有3名医生1名护士为事件，且与互斥.则当事件A发生时，有或发生，所以有.又；所以.故选派的4人中至少有2名医生的概率为.（2）由题意选派的医生人数可以是0，1，2，3.所以；.所以，随机变量的概率分布表为0123故随机变量的数学期望为=.故的数学期望为.【点睛】本题考查互斥事件的概率以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查分析能力以及运算能力，属中档题.20. 如图，边长为2的正方形所在的平

21、面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值【详解】解：（1）由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题21. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验