2021-2022学年江苏省南京梅山高三下学期联考数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数（）的部分图象如图所示.则（ ）ABCD2如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD3已知集合，则（ ）ABCD4已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD5定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x），当x3，2时，f（x）x2，则（ ）ABf（sin3）f（cos3）CDf（2020）f（2019）6已知函数为奇函数，则（

3、）AB1C2D37设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8设全集集合，则（ ）ABCD9已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是()ABCD10圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）ABCD11函数f(x)的图象大致为()ABCD12复数的虚部为（ ）ABC2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图,已知，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_14数列满足，则，_.若存在nN*使得成立，则实数的最小值为_15如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为_16已知复数，其中为虚数单位，若

4、复数为纯虚数，则实数的值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数 .（1）若在 处导数相等，证明： ；（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.18（12分）已知六面体如图所示，平面，是棱上的点，且满足.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.19（12分）已知函数，且（1）若，求的最小值，并求此时的值；（2）若，求证:20（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人

5、口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在2544岁之间.收集到的相关数据如下：来A城市发展的理由人数合计自然环境1.森林城市，空气清新2003002.降水充足，气候怡人100人文环境3.城市服务到位1507004.创业氛围好3005.开放且包容250合计10001000（1）根据以上数据，预测400万2544岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气

6、清新”的概率；（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？自然环境人文环境合计男女合计附：，.P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设

7、该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？参考公式： 22（10分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.【详解】依题意，即,解得；因为所以，当时，.故选:C.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.2A【解析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，

8、在中，计算半径即可.【详解】由，可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面积为故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.3C【解析】由题意和交集的运算直接求出.【详解】 集合，.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.4D【解析】设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设，由双曲线的定义可知

9、：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此双曲线的渐近线方程为：.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.5B【解析】根据函数的周期性以及x3，2的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由f（x+2）f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，先作出f（x）在x3，2时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，选项A，所以，选项A错误；选项B，因为，所以，所以f（sin3）f（cos3），即f（sin3）f（cos3），选

10、项B正确；选项C，所以，即，选项C错误；选项D，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.6B【解析】根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.【详解】依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.7C【解析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.【详解】如图所示，同时.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.8A【解析】先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，又，所以.故选：A.【点睛

11、】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.9A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,即.10A【解析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.11D【解析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(x)f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)0.排除A，故选D.【点睛】本题主要

12、考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.12D【解析】根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.【详解】建立直角坐标系如图所示：则点,设点,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,其中, 因为,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算

13、求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.14 【解析】利用“退一作差法”求得数列的通项公式，将不等式分离常数，利用商比较法求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.【详解】当时两式相减得所以当时，满足上式综上所述存在使得成立的充要条件为存在使得，设，所以，即，所以单调递增，的最小项，即有的最小值为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题.1513【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,

14、i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.故答案为13.162【解析】由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（I）见解析（II）【解析】（1）由题x0，由f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，得到，得，由韦达定理得，由基本不等式得，得，由题意得，令,则，令，利用导数性质能证明（2）由得，令，利用反证法可证明证明恒成立由对任意，只有一个解，得为上的递增

15、函数，得，令，由此可求的取值范围.【详解】（I）令，得，由韦达定理得即，得令,则，令，则，得（II）由得令，则，下面先证明恒成立若存在，使得，且当自变量充分大时，所以存在，使得，取，则与至少有两个交点，矛盾由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，则，得【点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题18（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.【详解】（1）连接，设，连接，因为，所以，所以，在中，因为，所以，且平面，故平面.（2）因为，所以

16、，因为，平面，所以平面，所以，取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，所以，因为，所以，所以点的坐标为，所以，设为平面的法向量，则，令，解得，所以，即为平面的一个法向量.，同理可求得平面的一个法向量为所以所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19（1）最小值为，此时；（2）见解析【解析】（1）由已知得，法一:，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造，可得最值；法三：运用柯西不等式得：，可得最值；（2）由绝对值不等式得，又，可得证.【详解】（1），法一:

17、，的最小值为，此时；法二:，即的最小值为，此时；法三：由柯西不等式得：，,即的最小值为，此时；（2），又，.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.20（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关【解析】(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.(2) 由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.(3)计算的值,对照临界值表可得答案.【详解】（1）（

18、万）（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.（3）列联表如下自然环境人文环境合计男100400500女200300500合计3007001000，所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.【点睛】本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.21（1）（2）当时，年利润最大【解析】（1）方法一：令，先求得关于的回归直线方程，由此求得关于的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.（2）求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.【详解】（1）方法一：取，则得与的数据关系如下123457.06.55.53.82.2，.，关于的线性回归方程是即，故关于的线性回归方程是.方法二：因为，所以，故关于的线性