最短距离问题分析

1、最短距离问题（课时一）课题说明：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它 主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用 重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）和利用一次函数和二 次函数的性质求最值。教学流程：“最值”问题大都归于两类基本模型：I归于函数模型.即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值n、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1） 归于“两点之间的连线中，线

2、段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这 一模型。（2） 归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。几何模型：立体图形中，表面折点距离最短问题。平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。模型应用：例1.如图1,圆柱形玻璃杯高为12cm底面周长为18cm在杯内离杯底例1.如图1,圆柱形玻璃杯高为蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为例2.如图2,正方形ABCD的边长为2, E为蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为例2.如图2,正方形A

3、BCD的边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.则PB PE的最小值是CB图2图1图3图4，变式1.如图3所示，正方形ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点p， 使PD PE的和最小，则这个最小值为（）变式2.如图4, 的半径为2,点A B、C在0上，OA OB , AOC 60 P是0B上一动点，求PA PC的最小值；熟能生巧：u. o I rjC在BC CD上分别找一点D. 1001 （台州）如图，菱形ABCD中， AB=2, / A=120,点P, Q, K分别为线段u. o I rjC在BC CD上分别找一点D. 1002 （兰州

4、）如图，四边形 ABCD 中，/ BAD=120，/ B=Z D=9C 长最小时，则/ AMN 乂 ANM的度数为（）A. 130B. 120C. 110y kx例3. 一次函数b的图象与乂、y轴分别交于点A (2, 0), B (0, 4) (1求该函数的解析式；2)。为坐标原点，求PO PD的最小值，并求取得最小值时设OA AB的中点分别为C、D, P为0B上一动点，P点坐标.18x 1 2 3和y轴的交点为A, M为0A的中点，若有一动点P ,自1点处出发，5沿直线运动到x轴上的某点(设为点E )，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点F)，最后又 沿直线运动到点A，求使 点P运动

5、的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。例4.如图，抛物线yX25P,使得 PBC的周长最小.请求出点P的坐S是否存在最大值，若总结：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”择优而用：如图，E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足ae则线段DH长度的最小值是多少DF.连接CF交BD于G连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2 .(天津市)在平面直角坐标系中，矩形OACE的顶点O在坐标原点，顶点A B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA= 3, OB= 4, D为边OB的中点.(I)若E为边OA

6、上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点E的坐标；(H)若E、F为边0A上的两个动点，且EF= 2,当四边形CDEF勺周长最小时，求点E、F的坐标.如图，在矩形OABC中，已知A、喝点的坐标分别为招，、c(0，2),D为0A的中点.设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点0重合).试证明：无论点P运动到何处，PC总造桥与PD相等；当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过0、P、D三点的抛物线的解析式；(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时， PDE的周长最小求出此时点P的坐标和PDE的周长；N(4)设点 是矩形OABC的对称中心，是否存在点P,使CPN 90若存在，请直接写出点P的坐标。(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点标.若点D是线段OC上