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文档简介
1、随机事件、频率与概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).1.概率与频率2.事件的运算定义表示法图示并事件事件A与事件B至少有一个发生,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_(或AB)交事件事件A与事件B同时发生,称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_(或AB)ABAB3.事件的关
2、系定义表示法图示包含关系若事件A发生,事件B_,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)_(或AB)互斥事件如果事件A与事件B_,称事件A与事件B互斥(或互不相容)若AB,则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中_,称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为若AB,且AB,则A与B对立一定发生BA不能同时发生有且仅有一个发生常用结论(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值.()(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0P(A)1.()(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()1.思考
3、辨析(在括号内打“”或“”)解随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,故(1)错.(4)中,甲中奖的概率与乙中奖概率相同.D解“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”,不能同时发生,故D正确.2.(2021珠海期末)一个人打靶时连续射击两次,与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是()A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶C解由题意,第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,即第二天确保完成新订单1 600份,减去超市每天能完成的1 200份,加上积压的500份,共有1 6001 200500900(份),至少需要志愿者9005018(名).4.(
4、2020全国卷)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者()A.10名 B.18名 C.24名 D.32名B解由对立事件的定义可知A正确;由于AB为不可能事件,所以A,B互斥,则P(AB)P(A)P(B),即B正确;事件A,B,C两两互斥,并不代表ABC是必然事件,故C不正确
5、;5.(多选)(2022烟台模拟)下列命题正确的是()A.对立事件一定是互斥事件B.若AB为不可能事件,则P(AB)P(A)P(B)C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)P(B)P(C)1D.事件A,B满足P(A)P(B)1,则A,B是对立事件AB考点随机事件的关系解排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.故选BCD.1.(多选)若干个人站成排,其中不是互斥事件的是( )A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”BCD解A
6、中,AB与C是互斥事件,但不对立,因为P(AB)P(C)0.71,故A错误;B中,BC与D是互斥事件,但不对立,因为P(BC)P(D)0.81,故B错误;2.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是()A.AB与C是互斥事件,也是对立事件B.BC与D是互斥事件,也是对立事件C.AC与BD是互斥事件,但不是对立事件D.A与BCD是互斥事件,也是对立事件DC中,AB与CD是互斥事件,也是对立事件,因为P(AB)P(CD)1,故C错误;D中,A与BCD是互斥事件,也是对立事件,因为P(A)P(BCD)1,故D正确.解当取出的两个
7、球为一黄一白时,B与C都发生,B不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,C不正确;显然A与D是对立事件,A正确;CE为必然事件,P(CE)1,D正确.3.(多选)口袋里装有1红,2白,3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出两个球,事件A“取出的两个球同色”,B“取出的两个球中至少有一个黄球”,C“取出的两个球至少有一个白球”,D“取出的两个球不同色”,E“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件C.C与E是对立事件D.P(CE)1AD1.准确把握互斥事件与对立事件的概念:(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时
8、不发生;(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.考点随机事件的频率与概率例1 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200
9、瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40天数216362574所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温低于20,则Y2006(450200)245041
10、00;若最高气温位于区间20,25),则Y3006(450300)24504300;若最高气温不低于25,则Y450(64)900,所以,利润Y的所有可能值为100,300,900.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.乙分厂产品等级的频数分布表训练1 (2020全国卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标
11、准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020等级ABCD频数28173421解由试加工产品等级的频数分布表知,(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均
12、利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?解由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为利润6525575频数40202020因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,厂家应选甲分厂承接加工业务.考点互斥事件与对立事件的概率解设“1张奖券中奖”为事件M,则MABC.A,B,C两两互斥,例2 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖1
13、0个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)1张奖券的中奖概率;(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解设“1张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N,则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,求:(1)至多2人排队等候的概率;训练2 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则GABC,所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人
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