罗尔拉格朗日中值定理课件

1、罗尔拉格朗日中值定理课件罗尔拉格朗日中值定理课件第四章 一元函数的导数与微分本次学习要求：熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。2第四章 一元函数的导数与微分本次学习要求：4第五节 微分中值定理第四章 一元函数的导数与微分一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理3第五节 微分中值定理第四章 一元函数的导数与微分一. 费费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理4费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时,

2、 函数的极限值.在点 x 处的差商导数与差商5函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时, 函数的极 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.6 我们常常需要从函数的导数所给出8首先, 从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.7首先, 从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式导数与差商相等！8导数与差商相等！10将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达

3、到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.9将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线极值的定义10极值的定义12一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理11一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要费马定理的几何解释 如何证明？12费马定理的几何解释 如何证明？14则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？13则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？1但是不保证在内部！14但是不保证在内部！16

4、水平的可保证在内部一点取到极值15水平的可保证在内部一点取到极值17二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理16二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理18 实际上, 切线与弦线 AB 平行.17 实际上, 切线与弦线 AB 平行.19最小值至少各一次.证18最小值至少各一次.证20最小值至少各一次.由费马定理可知：19最小值至少各一次.由费马定理可知：21例1证其中,20例1证其中,22综上所述,21综上所述,23连续可微端点函数值相等例2分析22连续可微端点函数值相等例2分析24例2证由罗尔定理, 至少存在一点23例2证由罗尔定理, 至少存在一点25 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键

5、 .24 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 且满足罗尔定理其它条件,例3证25且满足罗尔定理其它条件,例3证27想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析26想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析28例4证则由已知条件可知:27例4证则由已知条件可知:29该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.28该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使例5证29例5证31例6证30例6证32三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理31三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理33 切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理

6、来证明？32 切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？34则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证33则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证35定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数拉格朗日有限增量公式34定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数拉格朗日有限增量某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在35某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t还有什么？36还有什么？38推论 137推论 139推论 2( C 为常数 )38推论 2( C 为常数 )40推论 3 用来证明一

7、些重要的不等式39推论 3 用来证明一些重要的不等式41推论 4 用来判断函数的单调性40推论 4 用来判断函数的单调性42在推论 4 中, 41在推论 4 中, 43推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用来证明不等式.证42推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用解例743解例745故从而例8证44故从而例8证46例9证45例9证47例10证延拓!46例10证延拓!48例11证从而47例11证从而49例12解48例12解50例13解49例13解51又故从而即例14证50又故从而即例14证52则又且故即例15证51则又且故即例15证53 在拉格朗日中值定理

8、中, 将曲线用参数方程表示 , 会出现什么结论？52 在拉格朗日54使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.53使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不作业139 6, 854作业139 6, 856练习1. 证明方程有且仅有一个小于1 的正实根 .证: 1) 存在性 .则在 0 , 1 连续 ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设55练习1. 证明方程有且仅有一个小于1 的正实根 .证: 1)2. 设且在内可导, 证明至少存在一点使提示:由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设562. 设且在内可导, 证明至少存在一点使提示:由结论可知,备用题求