细长压杆的临界力公式-欧拉公式

1、10.2 细长压杆的临界力公式欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力图 9 4 为两端受压杆件，人们经过对不同长度（l ） ，不同截面（I） ，不同材料（E）Pcr 研究得知：2Pcr 2（ 9 1 ）l2式中：圆周率；E材料的弹性摸量；l 杆件长度；杆件截面对行心主轴的惯性矩。图 9-4当杆端在各方向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最小的纵向平面内失稳，所以（ 9-1 ）式中的惯性矩应取截面最小的形心惯性矩Imin。瑞士科学家欧拉（L.Eular）早在 18 世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进行了研究。从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式又称为计算临界力的欧拉公式。

2、二、杆端支承对临界力的影响PcrPcrb）（ c）（ d）图 9-5工程上常见的杆端支承形式主要有四种，如图 9-5 所示， 欧拉进一步研究得出各种支承情况下的临界力。如一端固定，一端自由的杆件，这种支承形式下压杆的临界力，只要在 （ 9-1）式中以 2 l 代替 l 即可。Pcr22l 2a)同理，可得两端固定支承的临界力为P2cr2cr 0.5l 2Pcr22l 2a)同理，可得两端固定支承的临界力为P2cr2cr 0.5l 2一端固定，一端铰支压杆的临界力为b)2Pcr20.7l 2式(a) ， (b)， (c)和(9-1)可归纳为统一的表达式c)2Pcr2l29-2)式中 l 称为压杆

3、计算长度，称为长度系数，几种不同杆端支承的各值列于表9 1反映了杆端支承情况对临界力的影响。表 9-1 各种杆端支承压杆的长度系数图临界力Pcr2EI22EI(2 )22EI (0.5 )2计算长度20.5长度系数120.52EI(0.7 )20.70.7例 9.1 图示轴心受压杆，截面面积为10mm 20mm。已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。Pcr解： 由杆件的约束形式可知：0.7若压杆的横截面面积为I min临界力：PcrIyhb3122EI( l)2在临界力的作用下，细长压杆横截面上的平均应力叫做压杆的临界应力，用crPcr20 103121.67 103mm4

4、200 103 1.67 103(0.7 2.5 103)21076.2N 1.076kNcr 表示。A，则临界应力为：2EI( )2.AI2i 可知： A2Ecr( )2.2E( l)22Ecr9-4)称为压杆的柔度或长细比，称为压杆的柔度或长细比，它综合反映了压杆的长度、支承情况、截面形状与尺寸等115.6115.6欧拉公式是在材料服从胡克定律的条件下导出的， 于比例极限的情况。其条件可表示为：压杆的临界力只适用于应力小cr2E2p若用柔度来表示，则欧拉公式的适用范围为：p9-5)式中 p 为 cr p时的柔度值。工程中把p 的压杆称为细长杆（或大柔度杆）， 只有细长杆才能应用欧拉公式计算

5、压杆的临界力和临界应力。p 的 大 小 与 材 料 的 力 学 性 能 有 关 ， 不 同 材 料 的 p 值 不 同 。 如 Q235 钢 ， 若 取E 200GP., p 200Mp a，代入上式可得p 100，这意味着由Q235钢制成的压杆，只有在100 时才可以应用欧拉公式。例 9.2 有一长 l 4.5m 的压杆， 截面为20a工字钢，一端固定，一端铰支，材料为 Q2355钢。 E 2 105 Mpa。如图9-7 所示，试计算压杆的临界力和临界应力。解 ： （ 1）计算压杆一端固定，一端铰支,0.7 。 I y 、 I z为形心主惯性矩，I min I y。 查型钢 表得：iy 2.

6、12cm， I y 158cm4， A 35.6cm2。0 7 4500故0.7 4500148.6 p 100 压杆为细长杆。i 21.2p2）计算Pcr2EIPcr( )22 2.1 105 158 104(0.7 4.5 103)2330.04 103 N 330.04kN3）计算crcr3Pcr330.04 103cr292.7 Mpacr A 35.6 102例 9.3 一中心受压木柱，长l =8，矩形截面，b h=120mm 200mm，柱的支承情况是：在最大刚度平面内弯曲时（中心轴为y 轴）两端铰支，如图9-8（a）所示，在最小刚度平面内弯曲时 （中心轴为z 轴） ， 两端固定，如图 9-8（b） 所示，木材的弹性模量E=10GPa，p =110，试求木柱的临界应力和临界力。9-8b）解 ： （ 1 ）计算最大刚度平面内的柔度iyh 20057.7mm1212在此平面内，柱子两端为铰支，在此平面内，柱子两端为铰支，1。l 1 8 1032）计算最小刚度平面的柔度yiy57.7139i b12034.6mmz 1212在此平面内，柱子两端固定，所以0.5 。l 0.5 8 10334.6z34.6iz（ 3）讨论计算结果表明，木柱的最大刚度平面内柔度y 比最小刚度平面内柔度z大，故木柱将在最大刚度平面内失稳。（ 4）计算