年高考数学复习专题讲座 空间图形的证明与计算 人教

1、高考数学复习专题讲座空间图形的证明与计算2021/8/8 星期日1考点分析与预测: 1.空间图形主要有两块内容:一块是直线与平面,另一块是简单几何体。直线与平面的基本性质,解决空间图形基本问题(平行, 垂直,角,距离)的方法,是解决复杂几何体问题的基础。因此，必须学好平面的基本性质，解决空间图形基本问题的方法。2021/8/8 星期日2 2首先要学会识别图形，包括几何的图形的形状，大小，几何体间的位关系；几何体中各元素在平面上，空间中的相互位置关系以及特定位置的排列顺序。其次要能够画出表示概念的“图”，定理的“图”，能够根据题目的条件和要求画出相应的图。第三，还要能够对图形进行适当的处理，对图

2、形分割，补全，展开，移出，添加辅助线，面。第四，由于立体几何图形是在平面上给出的，只有在想象的基础上进行分析，才可能得出正确的判断。2021/8/8 星期日3 3对于有关几何量的度量，要做到解题过程完整，即：一作，二证，三计算。作在何处大有讲究，一般而言，所求的角，垂线应作在图形的表面，显眼的地方，汇聚几何元素多的地方，因为这样做，易于弄清关系，好计算。2021/8/8 星期日4 4高考的三种题型都有立体几何题目，并且以立体几何的内容为载体，首创了“开放题”，“类比题”。通过立体几何内容的试题，考查空间想象力，逻辑思维能力。为了提高这方面的能力，同学们在平时应多观察图，多想图，加强表达训练，努

3、力使解题过程层次分明，表达清晰，理由充分。2021/8/8 星期日5知识框架空间线、面平行与垂直的判定与证明空间的角和距离简单的几何体 2021/8/8 星期日6内容一、空间线面平行与垂直的判定与证明线线垂直（或平行）线面垂直（或平行）面面垂直（或平行）（体现转化思想）2021/8/8 星期日7【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD=90, ADBC且AB=BC=a， AD=2a，且 PA底面ABCD， 若AEPD，E为垂足。 求证：BEPD2021/8/8 星期日8 【证明】 法一：PA平面ABCD，PAAB 再由ABAD，得AB平面PAD，ABPD，又AEP

4、D，PD平面ABE， 故BEPD【分析】 要证线线垂直，要证线面垂直或三垂线定理，还可以运用空间向量法。2021/8/8 星期日9法二：由题设ABAD，ABAP，AB平面PAD 在平面上的射影是又由AEPD，得BEPD法三：本题还可用空间向量法2021/8/8 星期日10【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。求证：PB平面EFD2021/8/8 星期日11【分析】要证明PB平面EFD，可证PBEF和PBDE。EFPB已知，故只要证PBDE，通过证DE平面PBC便可实现2021/8/8 星期日12【证明

5、】证法一：PD底面ABCD，且DC 底面ABCD PDDC PD=DC 可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC 同理由PD底面ABCD，得PDBC 2021/8/8 星期日13DEPB 又EFPB，且DEEF=E， 所以PB平面EFD。而DE平面PDC，BCDE DE平面PBC，而PB平面PBC，底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC，2021/8/8 星期日14 证法二：以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系D-xyz ，设DC= ，依题意得B（ ， ，0），P（0，0， ）E（0， ），D（0，0，0） =（ ， ，- ）

6、， =（ 0， ， ） = 0 =0 ，即PBDE 已知EFAB，且EFDE=E，所以PB平面EFD2021/8/8 星期日15【例3】如图，正三棱柱ABC- A1B1C1 ，D是棱BC上的一点，且A1B平面ADC1，求证：平面ADC1平面BBC1 2021/8/8 星期日16【分析】 根据已知条件“A1B平面ADC1”联想性质。若连AC1交AC1于O，可得A1BOD，从而D是BC的中点，这是解题的关键；本题还可从向量入手。2021/8/8 星期日17【证明】 证法一：如图， 连接A1C交AC1于O，连接OD A1B平面ADC1，且平面ADC1平面A1BC=OD A1BOD 在A1BC中，O为

7、A1C的中点 D为BC的中点 ADBC AD平面B1BCC1 又AD 平面ADC1平面ADC1平面B1BCC12021/8/8 星期日18 证法二：向量法 以AB的中点M为原点建立空间直角坐标系（如图）也可证ADBC ，证明过程请同学们完成。 思考： 能否建立其它的空间直角坐标系呢？2021/8/8 星期日19【例4】 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是EF的中点。求证：AM平面BDE2021/8/8 星期日20【证明】 证法一： 设AC与BD的交点为O，连接OE。O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE【分析】

8、如图，只要证AMOE即可 AM平面BDEOE平面BDE，AM平面BDE 2021/8/8 星期日21 证法二:建立如图所示的空间直角坐标系 设AC BD=N，连接NE，则N（ ， ，0）,E（0，0，1），A（ ， ，0），M（ ， ，1） =（，1） =（ ， ，1）=， 且与不共线 即NEAM NE 平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE 2021/8/8 星期日22【解题回顾】 空间直线、平面的平行（或垂直）位置关系的问题： “已知条件”联想性质定理， “求证” 联想判定定理， 这对平行与垂直关系的证明很有帮助。2021/8/8 星期日23二：空间的角和距离空间的角：异面直线所成的角

9、；直线与平面所成的角；二面角的平面角强调：求异面直线所成的角的方法2021/8/8 星期日24求异面直线所成的角的方法：平移法，向量法E、F分别是CC1、AD的中点，求异面直线OE和FD1所成的角的余弦值。【例5】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，2021/8/8 星期日25分析: 通过平移异面直线中的一条或两条，将异面直线所成的角化归到三角形中，然后解三角形求之（称构造三角形）；或建立空间直角坐标系，利用向量求之2021/8/8 星期日26解法一：取面CC1D1D的中心为H，连接FH、D1H，在FHD1中 =，FH=，D1H = 由余弦定理得D1F

10、H的余弦值为。2021/8/8 星期日27 解法二：取C1D1的中点H，连接HE，故HOE即为所求，然后在HOE中解出HOE的余弦值。 （请同学们完成）2021/8/8 星期日28解法三：以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0）， D（0，0，0）， D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），B（2，2，0） F（1，0，0），E（0，2，1），O（1，1，0），得=（-1，1，1），=（-1，0，2） 与夹角的余弦值为= 2021/8/8 星期日29求二面角的平面角的方法：定义法；利用三垂线定理法； 垂面法；法向量法；面积射影法。求直线与平面所成的角的方法:

11、2021/8/8 星期日30【例6】如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，求面VAD与面VDB所成的二面角的大小2021/8/8 星期日31tanAEB=【分析】 本题可用三垂线定理法，面积射影法，法向量法求之解法一：取VD的中点E，连接AE、BE ，VAD是正三角形 AEVD，AE=AD平面VAD平面ABCD，ABAD，AB平面ABCDAB平面VAD ABVD AEB即为所求二面角的平面角。 于是故AEB=2021/8/8 星期日32 解法二：由解法 一 知 BA平面VAD，设面VAD与面VDB所成的二面角为，则有 = 设AD =

12、a 则 = = = = = 2021/8/8 星期日33 解法三：过V做VMAD于点M ，取BC的中点N，连接M N，以M为坐标原点，建立如图所示坐标系设AD=2，则V（0，0，），A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），则 =（2，2，0），=（1，0，），2021/8/8 星期日34由解法 一 知为平面VAD的法向量，且=（0，2，0）设平面VBD的法向量为=（1，x，y） 由 且 得2 + 2x = 0 且 1 +y=0解得 x=1，Y= =(1,1, ) = 2021/8/8 星期日35【解题回顾】 空间角或距离的计算， 解题途径主要有两条： 平移 向量 2021/8/

13、8 星期日36 （2） 空间距离： 求点到平面的距离的求法： 1. 直译法 2 .等积法 3. 转移法 4. 法向量法（例题从略） 2021/8/8 星期日37 三：简单多面体 前面几道例题主要涉及到棱柱、棱锥中线面关系的判断和证明以及有关角、距离的问题，下面讲解有关棱柱、棱锥 、球面的概念及面积、体积的计算。2021/8/8 星期日38【例7】如图，在多面ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF= ，EF与面AC的距离为2求该多面体的体积2021/8/8 星期日39【分析】题目所给的多面体是棱柱或棱锥的部分，不能直接套用公式，适当割补后，才能运用体积公式进行计算。20

14、21/8/8 星期日40解法一：连接EB、EC，则VE-ABCD= 332=6 AB=2EF， EFAB SEAB=2SBEF VF-EBC=VC-EFB = VC-EAB = VE-ABC= VE-ABCD = 所求多面体的体积为 V= VE-ABCD+ VF-EBC =6+ =2021/8/8 星期日41解法二：设M、N分别是AB、CD的中点，则EFFB，ENFC，MNBC，则FBC-EMN为三棱柱，其中VE-MNDA= 32=3 不妨设面BCF面ABCD，则VFBC-EMN=SBCFEF= 32= 所求多面体体积为3=2021/8/8 星期日42【例8】 下面是关于三棱锥的四个命题： (

15、1) 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； (2) 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； (3) 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥； (4) 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； 其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）。2021/8/8 星期日43【分析】本题考查正三棱锥的定义、性质。 (1) 因为底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，故侧面三角形的高相等，由此推得三条侧棱相等，所以三侧面都是等腰三角形，并且三侧面全等。由正三棱锥的定义知这样的三棱锥是正三棱锥。 (2)

16、 侧面是等腰三角形的三棱锥，如果有一条棱与底面三角形的边相等，构成等腰三角形，这就不能确定三个侧面全等，这样的三棱锥不一定是正三棱锥。2021/8/8 星期日44 (3) 侧面的面积都相等的三角形不能确定为全等等腰三角形，所以这样的三棱锥不一定是正三棱锥。 (4) 由侧面与底面所成的角都相等，可知三条侧棱在底面的射影相等且三条侧棱相等。又因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以侧面三角形的高及高在底面上的投影都相等，三侧面是全等的等腰三角形，这样的三棱锥是正三棱锥。2021/8/8 星期日45【例9】设地球的半径为R，在北纬45圈上有两点A、B，点A在西经40，点B在东经50，求A、B两点纬线圈

17、的弧长及A，B两点的球面距离。2021/8/8 星期日46 【分析】首先看第一解题目标，是求纬线圈中的弧长，必须要用弧长公式=r去解决，而公式中的 =AO1B，就是A、B两地间的经度差，如何求r呢？由地球半径和纬度来求得。再看第二解题目标，要求A、B两点的球面距，根据定义，要先找出经过A、B、O（球心）的一个大圆，再找出劣弧，而劣弧=AOBR，只需求出AOB的弧度数。2021/8/8 星期日47解：设45纬线圈的中心为O1，球心为O，则AO1B= 40+ 50= 90OO1平面AO1B 而OAO1=45，O1A= O1B=O1O=OAcos45=R 在RtAO1B中，AB=AO1=R AOB为

18、等边 AOB= 故在45纬线圈上 L= AO1= R ； A、B两点间的球面距离为 =R2021/8/8 星期日48 【小结】 解题口诀：立体几何点线面，垂直平行重头戏；做图识图鬼门关，图形处理割补添；理解概念和定理，定性定量分清楚；判定方法要清晰，计算之前作和证；审题一定要仔细，学会分析找思路；三种语言莫含糊，表述要过四大关；要用空间坐标系，选定原点和三轴；点的坐标莫写错，以免错误丢分数；转化思想解问题，回归课本要牢记；善于思考和勤问，观察想象常推理。2021/8/8 星期日49立体几何高考题型预测：热点之一：点、线、面问题包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法。2021/

19、8/8 星期日50【例1】已知是两个平面，直线 若以中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个分析：以，中两个为条件，另一个为结论可构成三个命题 命题1：， 命题2：， ， 命题3：， ， 其中前两个命题正确，第三个命题错误。 2021/8/8 星期日51【例2】正方体中，、分别是、的中点，那么，正方体的过、的截面图形是（）（）三角形（）四边形（）五边形（）六边形2021/8/8 星期日52分析：本题考查的知识点有多面体的概念，空间图形截面的性质，直线和平面的位置关系，图形的画法以及根据图形想象它们的位置关系。画出图形，

20、如图所示。2021/8/8 星期日53 （练习）1在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱 锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）2021/8/8 星期日54分析：根据题意，钢球球心必在棱锥 的高上，故 排除C、D。 钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，所得圆只能与这条侧棱对面上的高线，底面高线相切，而与这条侧棱不相切。 故 排除A2021/8/8 星期日552在正方体中，写出过顶点A的一个平面_使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。 2021/8/8

21、 星期日56分析：连结AB1,B1D1,D1A。则四面体A1AB1D1 是正三棱锥 A1A，A1B1，A1D1与底面AB1D1所成的角均相等 A1ABB1CC1DD1 A1D1ADBCB1C1 A1B1 AB DC D1C1 正方形的12条棱与面AB1D1 所成的角都相等。2021/8/8 星期日57热点之二：空间角与距离问题 三个角： 包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角； 八个距离： 包括点到直线的距离、点到面的距离、两条 平行直线的距离、异面直线的距离、直线与 平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。强调：在求角或距离时，一定要“先找（或作）后解”。2021

22、/8/8 星期日58【例3】已知：斜三棱柱 的侧面 与底面 垂直， 且（）求侧棱 与底面 所成角的大小；（）求侧面 与底面 所成二面角的大小；（）求顶点到侧面的距离；（）求侧棱和侧面的距离。2021/8/8 星期日59解析：()作ADAC,垂足为D，由面A1ACC面ABC 得A1D面ABC A1AD为A1A与面ABC所成的角 AA1 A1C AA1 = A1C A1AD= 为所求。2021/8/8 星期日60()作DEAB ，垂足为E，则由A1D面ABC 得 A1EAB 所以是面与面所成的二面角的平面角由已知ABBC 得 EDBC 又D为AC的中点，BC=2 AC=2，所以DE=1 ， AD=

23、A1D= = 故 A1ED = 为所求。2021/8/8 星期日61()连结A1B ,根据定义,点C到面A1ABB1的距离, 即为三棱锥CAAB的高h, 由= 得 h =A1D 即2h =2 h=2021/8/8 星期日62()过B作BFAC 由面A1ACC1面ABC 得BF面A1ACC1 又BB1 面AACC 故B到平面A1ACC1的距离就是侧棱BB1与侧面A1ACC1的距离，在RtAB中 ABBC = ACBF 得 BF=2021/8/8 星期日63 (练习) 4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别为AB、AD的中点，分别求A1C1与B1C所成角的大小A1C1与EF所成角的大小A1C与AD1所成角的大小AD1与EF所成角的大小BD1与CE所成角大小 B1C与平面ABCD所成角的大小 BD1与平面DCC1D1所成角的大小二面角B-A1C1-B1的大小 二