年高三数学高考二轮复习专题课件9：导数及其应用

1、1.了解导数的实际背景,理解导数的几何意义,熟记导 数基本公式,掌握导数基本运算.2.能利用导数确定函数单调性,求单调区间,求函数的 极值和最值.3.能利用导数解决实际问题.学案9 导数及其应用2021/8/8 星期日1 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+)解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex) =(x-2)ex,令f(x)0,解得x2. D2021/8/8 星期日22.设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是 （ ）解析 y=(x-a)(3x-2b-a),由y=0, 得x=a或 当x=a

2、时，y取极大值0， 当 时,y取极小值且极小值为负. 或当xb时,y0,当xb时，y0. C2021/8/8 星期日33.(2009江西)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点 (1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处切线的斜率为 ( ) A.4 B. C.2 D.解析 由已知g(1)=2,而f(x)=g(x)+2x, 所以f(1)=g(1)+21=4. A2021/8/8 星期日44.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x),f(0) 0,对于任意实数x,都有f(x)0,则 的最小值 为 ( ) A.3 B. C.2 D.

3、解析 因为f(x)=2ax+b, 依题意,有 可得c0,C2021/8/8 星期日5题型一 曲线的切线与函数的单调区间问题【例1】(2009全国)已知函数f(x)=x4-3x2+6. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l 通过坐标原点，求l的方程.2021/8/8 星期日6解 (1)f(x)=4x3-6x=4x(x+ )(x- ) 当x(-, )和x(0, )时,f(x)0; 当x( ,0)和x( ,+)时,f(x)0. 因此,f(x)在区间(-, )和(0, )上是减函数, f(x)在区间( ,0)和( ,+)上是增函数.2021/8/8

4、星期日7(2)设点P的坐标为(x0,f(x0),由l过原点知， l的方程为y=f(x0)x， 因此f(x0)=x0f(x0)， 因此切线l的方程为2021/8/8 星期日8【探究拓展】一般地,涉及到函数的单调区间及求曲 线在某点处的切线问题,往往借助于导数这一重要工 具求解,通过判断导函数的符号,确定函数的单调区 间,通过求出函数在某点处的导函数值,确定曲线在 此点处切线的斜率，进而求出切线方程. 2021/8/8 星期日9变式训练1 (2009安徽)已知函数f(x)=x- +a(2- ln x),a0,讨论f(x)的单调性.解f(x)的定义域是(0,+), 设g(x)=x2-ax+2,二次方

5、程g(x)=0的判别式=a2-8. 当=a2-80,即0a 时， 对一切x0都有f(x)0,此时f(x)在(0,+)上是 增函数. 当=a2-8=0,即a= 时， 仅对x = 有f(x)=0， 对其余的x0都有f(x)0， 此时f(x)在(0,+)上也是增函数. 2021/8/8 星期日10当=a2-80,即a时，方程g(x)=0有两个不同的实根此时f(x）在(0, )上单调递增，在( )上单调递减，在( ,+)上单调递增. x(0,x1) x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x) +0-0+f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增2021/8/8 星期日11题型二 函数的极值与最值问题【例

6、2】(2009山东)已知函数f(x)= ax3+bx2+x+3,其 中a0. (1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值？ (2)已知a0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a 表示出b的取值范围.解 (1)由已知得f(x)=ax2+2bx+1, 令f(x)=0,得ax2+2bx+1=0, f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解， 所以=4b2-4a0,即b2a, 此时方程ax2+2bx+1=0的根为2021/8/8 星期日12所以f(x)=a(x-x1)(x-x2).当a0时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.

7、 x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)增函数极大值减函数极小值增函数2021/8/8 星期日13当a0时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上，当a,b满足b2a时，f(x)取得极值. x(-,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)-0+0-f(x)减函数极小值增函数极大值减函数2021/8/8 星期日14(2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增，需使f(x)=ax2+2bx+10在(0,1上恒成立. 2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16【探究拓展】求解函数的极值与最

8、值问题常常利用求 导的方法来解决,解决这类问题的一般方法是:(1)分 析得出函数的定义域；(2)判断函数是否可导，如可 导，则利用导函数求最值的方法进行求解,否则利用 函数性质求解；(3)如果一个函数在开区间内只有一 个极值点，那么它也是相应的最值点. 2021/8/8 星期日17变式训练2 设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根分别为 (1)证明:f(x)在区间 上是增函数； (2)当a为何值时,f(x)在区间 上的最大值与最 小值之差最小. (1)证明 由方程2x2-ax-2=0的两根分别为 知x 时,2x2-ax-20,所以此时f(x)0, 所以f(x)在区间 上是增函数. 2021/

9、8/8 星期日18(2)解 由(1)知在 上,f(x)是增函数.则f(x)在区间 的最小值为 最大值为所以当a=0时,f(x)在区间 上的最大值与最小值之差最小，最小值为4. 2021/8/8 星期日19题型三 导数与不等式【例3】设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中a、 bR. (1)当a= 时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范 围； (3)若对于任意的a-2,2,不等式f(x)1在 -1,1上恒成立,求b的取值范围.2021/8/8 星期日20解 (1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). f(x)=

10、x(4x2-10 x+4)=2x(2x-1)(x-2). 令f(x)=0,解得 x1=0, x2= ,x3=2.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0, ),(2，+）内是增函数，在（-,0),( ,2)内是减函数. x(-,0)02(2,+)f(x)-0+0-0+f(x)极小值极大值极小值2021/8/8 星期日21（2）f(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程 4x2+3ax+4=0的根. 为使f(x)仅在x=0处有极值,必须有4x2+3ax+40恒成 立，即有=9a2-640. 解此不等式，得 这时，f(0)=b是唯一极值. 因此满足条件的a的取

11、值范围是 . 2021/8/8 星期日22(3)由条件a-2,2可知=9a2-640,从而4x2+3ax+40恒成立.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.因此函数f(x)在-1,1上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者. 为使对任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上恒成立，当且仅当所以b-4, 因此满足条件的b的取值范围是（-，-4. 2021/8/8 星期日23【探究拓展】本小题主要考查了函数的单调性、导 数、极大(小)值及不等式恒成立问题,在解答这类问 题时,要注意利用导函数的符号判断单调性,切记,导 函数的偶次重根不是极值点，解答不等式恒成立问 题,往往涉及函数的

12、单调性，一定要判断出函数在所 给区间上的单调性，利用函数的单调性解题,能大大 简化解题过程，使解答变得简单明了. 2021/8/8 星期日24变式训练3 已知函数 (c0且c1, kR)恰有一个极大值点和一个极小值点.其中一个 是x=-c. (1)求函数f(x)的另一个极值点； (2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M-m1 时k的取值范围.2021/8/8 星期日25解 (1) 由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0.(*) c0,k0. 由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0， 由韦达定理知另一个极值点为x=1 (2)由(*)式得 当c1时,k0;当0c1时,k-2.

13、 当k0时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减函数， 在(-c,1)内是增函数，2021/8/8 星期日26当k-2时，f(x)在(-,-c)和(1,+)内是增函数,在(-c,1)内是减函数，综上可知,所求k的取值范围为(-,-2) ,+). 2021/8/8 星期日27【例4】(2009江苏)设a为实数,函数f(x)=2x2+ (x-a)|x-a|. (1)若f(0)1,求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)=f(x),x(a,+),直接写出(不需给 出演算步骤)不等式h(x)1的解集.解 (1)若f(0)1,则-a|a|12021/8/8 星期日28(2)

14、记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a| ()当a0时,f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2, 此时g(a)=-2a2.()当a0时， 若xa,则由知f(x) 若xa,由x+a2a0,由知f(x)2a2 此时g(a)= 综上，2021/8/8 星期日29【探究拓展】本小题主要考查函数的概念、性质、图 象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解 决问题的综合能力. 2021/8/8 星期日30变式训练4 已知函数f(x)=x2-aln x在(1,2上是增函 数,g(x)=x- 在(0,1)上是减函数. (1)

15、求f(x)、g(x)的表达式； (2)求证:当x0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解； (3)当b-1时,f(x)2bx- 在x(0,1内恒成立, 求b的取值范围.2021/8/8 星期日31 (1)解 f(x)=2x- ， 依题意f(x)0,x(1,2, 即a2x2,x(1,2. 上式恒成立，a2. 又g(x)=1- ,依题意g(x)0,x(0,1), 即a ,x(0,1). 上式恒成立，a2. 由得a=2. f(x)=x2-2ln x,g(x)=x-2021/8/8 星期日32(2)证明 由(1)可知,方程f(x)=g(x)+2, 令h(x)0,并由x0，令h(x)0,由x0,解得0

16、x1.列表分析： x(0,1)1(1,+)h (x)-0+h(x)递减0递增2021/8/8 星期日33知h(x)在x=1处有一个最小值0,当x0且x1时,h(x)0，h(x)=0在(0,+)上只有一个解.即当x0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解.(3)解所以b的取值范围为-1b1. 2021/8/8 星期日34【考题再现】(2009海南)已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x. (1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,证明:【解题示范】 (1)解 当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x， 所以f(x

17、)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x =-e-x(x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x. 2分 当x-3或0 x3时,f(x)0；2021/8/8 星期日35当-3x0或x3时,f(x)0. 3分从而f(x)在(-,-3),(0,3)上单调递增， 在(-3,0),(3,+)上单调递减. 4分(2)证明 f(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-xx3+(a-6)x+b-a.由条件得:f(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a, 6分从而f(x)=-e-xx3+(a-6)x+4-2a. 2021/8/8

18、 星期日36将右边展开，与左边比较系数得， 2021/8/8 星期日371.导数的实质是变化率的极限，其几何意义是曲线在 某点处切线的斜率.2.对于可导函数，利用导函数的符号来确定原函数的 单调性并进而确定单调区间,在求函数式中某些参变 量的取值范围时，要注意导函数的符号加上等号.3.对于可导函数,在利用导数求函数极值时,要注意极 值点处导函数为零,而导函数为零的点不一定是极值 点,如f(x)=x3,因为f(x)=3x2,所以f(0)=0,而在 x=0的左右两侧f(x)=3x20，则原函数递增，所以 x=0不是原函数极值点; 所2021/8/8 星期日38 以f(x)=(x-1)2，则f(1)

19、=0，而在x=1的左右两侧 f(x)=(x-1)20，则原函数递增,所以x=1不是原函 数的极值点.由此可知导函数的偶次重根不是原函数 的极值点.导函数为零是函数取到极值的必要不充分 条件.特别地，函数不可导点(如尖点)也可能是极值 点.2021/8/8 星期日39一、选择题1.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切 线倾斜角的取值范围是 则点P横坐标的取值范 围为 ( ) A. B.-1,0 C.0,1 D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 曲线在点P处的切线斜率0k1. 02x0+21,-1x0 . A2021

20、/8/8 星期日402.(2008全国)设曲线 在点(3,2)处的切线 与直线ax+y+1=0垂直,则a等于 ( ) A.2 B. C. D.-2解析 曲线 在点(3,2)处的切线 斜率为k=y|x=3= . 由题意知ax+y+1=0的斜率为k=2,a=-2. D2021/8/8 星期日413.若函数 则f(x)在点 (0,f(0)处切线的倾斜角为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知f(x)=x2+f(1)x-f(2), 令x=0,得f(0)=-f(2), 令x=1,得f(2)=1,所以f(0)=-1， D2021/8/8 星期日424.(2008湖北)若f(x)= x2+bln

21、(x+2)在(-1,+)上 是减函数,则b的取值范围是 ( ) A.-1,+) B.(-1,+) C.(-,-1 D.(-,-1)解析 由题意知 即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0. 1+b0,b-1. C2021/8/8 星期日435.(2009安徽)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x) -x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程 是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3解析 由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, 得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 即2f(x)-f(2-x

22、)=x2+4x-4, f(x)=x2，f(x)=2x, 切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. A2021/8/8 星期日446.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,且|x1| |x2|,则有 ( ) A.a0,b0,c0,d0 B.a0,b0,c0,d0 C.a0,b0,c0,d0 D.a0,b0,c0,d0 解析 因f(x)=3ax2+2bx+c,由题 意可知导函数f(x)的图象如图, 所以a0,c0, 则b0,由原函数图象可知d0.C2021/8/8 星期日45二、填空题7.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数 a的取值范围是_.解

23、析 由题意可知 又因为存在垂直于y轴的切线，8.(2008江苏)直线 是曲线y=ln x(x0)的 一条切线,则实数b=_.解析 (ln x)= ,令 ,得x=2,故切点坐标为 (2,ln 2),将其代入直线方程,得ln 2= 2+b,所以 b=ln 2-1.(-,0)ln 2-12021/8/8 星期日469.函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在极值 点，则实数a的取值范围是_.解析 a2-10,a1或a-1; 又函数f(x)不存在极值点， 令f(x)=3ax2-4ax+a+1=0, 则=16a2-43a(a+1)=4a(a-3)0, 所以0a3,综上可知

24、:1a3. 1a32021/8/8 星期日4710.过点P（1，1）作曲线y=x3的切线，则切线方程 为 . 解析 因点P（1，1）在曲线y=x3上.又y=3x2， 若点P（1，1）是切点时，因y|x=1=3, 所以切线方程为y=3x-2,即3x-y-2=0. 若点P（1，1）不是切点时，设切点Q(r,r3) (r1)， 所以k=3r2= =r2+r+1, 即2r2-r-1=0，所以r=- ,r=1（舍）， kPQ= ,所以切线方程为3x-4y+1=0.3x-y-2=0,3x-4y+1=02021/8/8 星期日48三、解答题11.设M是由满足下列两个条件的函数f(x)构成的集 合: 定义f(x)-x=0有实根； 函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1. (1)若 判断方程f(x)-x=0的根的个数; (2)判断(1)中的函数f(x)是否为集合M的元素； (3)对于M中的任意函数f(x),设x1是方程f(x)-x=0的 实根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当 |x2-x1|1