矩阵论与数值分析课件交流版matrix6

1、 2010 级矩阵论考试信息考试时间：第15周3（12月15日）， 19：00 - 21：30考试地点：西12楼（详见网上通知）答疑时间：第15周星期2，3下午答疑地点：逸夫科技楼（南）602# 以研究生院网上通知为准！ 请相互转告并务必查看网上通知！第6章 矩阵的Kroneker积和Hadamard积The Kroneker Product and Hadamard Product 概述： 内容：介绍Kroneker积和Hadamard积讨论K-积，H-积的运算性质、之间的关系K-积与矩阵乘积的关系K-积，H-积的矩阵性质K-积的矩阵等价与相似关系介绍应用向量化算子重点：K-积及其应用 61

2、 Kroneker积和Hadamard积的定义定义6. 1（P . 136） 设矩阵A=aijm n和B=bijst矩阵 ，则A, B 的Kronecher被定义为AB： AB=aijBmn设A =aijm n和B=bij m n为同阶矩阵，则A和B的Hadamard被定义为A B： AB= aijbijm n例题1 设 ，计算 AB，BA，I2B，AB，I2AK-积，H-积的基本结果：A和B中有一个为零矩阵，则AB=0，AB=0II=I，II=I若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为对角矩阵。K-积的基本性质定理6.1（P . 138）设以下矩阵使计算有意义，则（kA）B=A（kB）A

3、（B+C）=AB+AC（AB）C=A（BC）（AB）H=AHBHAB BAH-积的基本性质：设A，B为同阶矩阵，则AB=BA（kA）B=A（kB）A（B+C）=AB+AC（AB）C=A（BC）（AB）H=AHBHKronecher和Hadamard的关系：定理6.3（P . 139）K-积与矩阵乘法定理6.2（P . 138）设矩阵A，B，C，D使得下列运算有意义，则有 (AB) (CD)=（AC）（BD）意义：建立Kronecher积和矩阵乘法的相互转换。特别情形：设AF m m ，B F n n，则 AB=(Im B) (AI n)= (AI n) (Im B) 6.2Kronecher积

4、和Hadamard积的性质Kronecher积的矩阵性质定理6.4 （P . 140）设矩阵使下列运算有意义，则当A，B分别为可逆矩阵时，AB为可逆矩阵，而且有 (AB) 1 =A1B 1当方阵A F m m ，B F n n时，方阵AB F mn mn的行列式为 |AB| =|A|n |B| m若A，B 是Hermite矩阵，则AB是Hermite矩阵若A，B 是酉 矩阵，则AB是酉矩阵。Kronecher与矩阵等价、相似关系定理6.5（P . 141）设矩阵A，B，为同阶的等价矩阵，则(AI)等价于(BI)设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB) 相似于(JAJB) K-积特征值和

5、特征向量定理6.6（P . 142）设AF m m 的特征值特征向量分别是i，xi，B F n n的特征值、特征向量分别是 j ， yj，则(AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。(AI) +(IB) 的特征值是i + j ，特征向量是(xiyj) 更一般的结果：定理6.7（P . 142） 的特征值为ABKronecher积的矩阵函数性质定理6.8（P . 143）设是f(z)解析函数，f(A)有意义，则f (IA) =If(A) f(AI) =f(A)I特例： 例题1 设 AF m n ， BF s t ，证明rank（A B）=rank（A）rank（B）例题2（P . 1

6、44） ，设 ，求(AB)的特征值和特征向量求(AI) +(IB)的特征值和特征向量 例题3：证明对任何方阵，有6. 3 矩阵的向量化算子和K-积向量化算子Vec定义（P . 143）设 A=aijm n 则Vec(A) = (a11 a21 am1； a12 a22 am2 ； a1n a2n amj)T 性质：（P . 146）Vec是线性算子： Vec（k1A+k2B）=k 1Vec ( A ) +k2 Vec ( B) 2 定理6. 10（P . 146）Vec(ABC) =(CT A) VecB 3 Vec(AX) =(I A) VecX 4 Vec(XC) =(CT I) VecX

7、 用向量化算子求解矩阵方程思想：用Vec算子，结合Kronecher积将矩阵方程化为线性方程组求解。 1、 AF m m ， BF n n ，DF m n ， AX+XB=D分析： AX+XB=D （I A+BT I）VecX =VecDG= （I A+BT I），方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即A和-B没有共同的特征值。例题1 （P . 147）用向量化算子求解矩阵方程2、A，XF n n ， AX-XA=kX分析： AX-XA=kX （I AAT I）VecX =kVecXH= （I A AT I ) ，方程( kI-H)y=0 有非零解的充要条件是k为H的特征值，k=i j 。例

8、题2 求解矩阵方程AX XA= 2X 用向量化算子求解矩阵方程3 A，B，D，XF n n ， AXB=D分析： AXB=D （BT A）VecX =VecDL= BT A ，方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵.例题3 求解方程A1XB1+ A2XB2=D例题4 设A C m m ，B C n n ，D F m n ，证明谱半径 (A) (B) 1 时方程： X=AXB+D 的解为复习选讲：线性空间的表示线性变换与变换矩阵线性变换的确定方法相应变换矩阵的求法矩阵分解与空间分解准对角矩阵分解与不变子空间的分解可对角化矩阵的分解与特征子空间的分解幂等矩阵的空间分解JA，mA() ，f() =|I-A | 之间的关系A与f(A)在Jordan标准形上的关系f(A)的矩阵性质复习选讲正规矩阵的性质与应