内蒙古大学《桥梁工程》讲义03圬工和钢筋混凝土拱桥-4拱桥的计算

1、第四章 拱桥的计算拱上建筑与主拱的联合作用：定义：拱桥实为多次超静定的空间结构，当活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同承受活载的作用，这种现象称为“拱上建筑与主拱的联合作用”或“联合作用”。拱式拱上建筑的联合作用较大，梁板式拱上建筑的联合作用较小。影响联合作用大小因素：1、腹拱圈、腹拱墩对主拱圈的相对刚度大，联合作用愈显著。2、腹拱越坦（小推力大）抗推刚度大联合作用大。3、拱脚与截面的联合作用大，横向分布均匀；拱顶较小横向分布大。4、梁板式拱上建筑：联合作用小，可以忽略不计。5、拱上建筑对主拱圈的约束减小联合作用小。计算内容： 1、确定拱轴线、拱轴系数 2、拱圈内力计算（恒载、活载、温

2、度、变形）第一节 悬链线拱的几何性质及弹性中心一、实腹式悬链线拱实腹式悬链线拱采用恒载压力线（不计弹性压缩）作为拱轴线。1、实腹式悬链线拱轴方程的推导实腹式悬链线拱的拱轴方程就是在恒载作用下，根据拱轴线与压力线完全吻合的条件推导出来。取如图的坐标系；在恒载作用下，；由于对称性，；拱顶截面仅有恒载推力，对拱脚取矩： 半拱横载对拱脚截面的弯矩。拱的恒载水平推力（不计弹性压缩）计算矢高对任一截面取矩： 对求两次导数 任一截面以右的全部恒载对该截面的弯矩。拱顶为坐标原点，拱轴上任一点的坐标。 （恒载压力线的基本微分方程）任意点的恒载强度： 拱顶处的恒载强度。 拱上材料单位体积重量。拱脚截面： 定义拱轴

3、系数：所以有： 代入基本微分方程，而且引入参数： ，则 令：则： （这是一个二阶非齐次常系数线性微分方程）解得： （悬链线方程）拱脚截面： ，代入上式得： 当时，此时恒载为均布荷载，方程为，表明了在均布荷载作用下的压力线为二次抛物线。由悬链线方程看出，当确定后，拱轴线各点的纵坐标将取决于，各种值的拱轴线坐标可直接由“拱桥”表查出。2、实腹式悬链线拱拱轴系数的确定拱顶恒载强度： 拱脚处强度：拱顶填料厚度 拱圈厚度拱圈材料容重拱顶填料及路面的平均容重拱腹填料平均容重-拱脚处拱轴线的水平倾角从、式子看出，只有未知无法求。采取试算：由假定由“拱桥”表（）-20查出代入式子然后、代入与假定相比较，如两者

4、相符，则假定即为真实值；如不符，以算得的值作假定值再算，直至接近为止。（1）当确定后，悬链线的形状取决于，其线型特征可用点纵坐标的大小表示。（2）与有如下关系： 时，代入悬链线的一般方程 分析：与成反比。时，拱轴线抬高。时，拱轴线降低。（3）与关系：表3-4-1二、空腹式悬链线拱1、空腹式拱桥的恒载，两部分：主拱圈与实腹段的自重分布力；空腹部分通过腹孔墩传下的集中力。2、“五点重合法”确定悬链线的拱轴m值（1）、空腹式拱桥由于集中力的存在，恒载压力线是一条折线。（2）、在设计空腹式拱桥的时候，由于恒载压力线偏离拱轴线对主拱圈受力有利，又有完整的计算表格可供利用，所以仍以悬链线作为拱轴线。（3）

5、、因为要以悬链线作为拱轴线，为了使悬链线拱轴与恒载压力线接近，一般采用“五点重合法”确定其m“五点重合法”：拱轴线上有五点（拱顶、两1/4点、两拱脚）与其三铰拱恒载压力线重合。确定m的前提：上述五点弯矩为零由 （1） （2）由以上两式可得： （3）自拱顶至拱跨1/4点恒载对1/4截面的力矩空腹式拱桥m的计算假定m 根据确定拱轴线 布置拱上建筑 计算， 求出一个m 将所求m与将定m进行比较 二者接近则取计算出的m 二者相差较大则将计算m定为假定值继续计算注意：1、以上方法求空腹拱的拱轴线，“五点重合”指的是与三铰拱的恒载压力线保持“五点重合”，其他截面拱轴线与三铰拱的恒载压力线都有不同程度的偏离

6、，计算表明： 、从拱顶到1/4点，压力线在拱轴线之上，m大，y小 、从1/4点到拱脚，压力线在拱轴线之下，m小，y大2、拱轴线偏离压力线会在拱中产生附加内力：、对静定三铰拱各截面的偏离弯矩：推力三铰拱压力线与拱轴线在该截面的偏离值、无铰拱偏离弯矩的计算（对无铰拱偏离弯矩的大小：以值作为荷载，算出无铰拱的偏离弯矩。）由力法： 三铰拱恒载压力线偏离拱轴线产生的弯矩。 ； 三铰拱恒载压力线与拱轴线的偏离值。从图上看出有正有负，沿全拱积分的数值也不大。的值较小。若，则。计算证明恒为正，即受压力。任一截面的偏离弯矩： 以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴向纵坐标。对拱顶、拱脚截面（）偏离弯矩为：弹性中心至

7、拱顶的距离4、分析：（1）空腹式无铰拱桥，采用“五点重合法”确定的拱轴线，与相应的三拱铰的恒载压力线在拱顶、两点和两拱脚五点重合，而与无脚拱的恒载压力线并不存在主点重合的关系。（2）实际中，为负，为正，这与拱在这两个截面的控制弯矩符号相反，这就证明，在空腹式拱桥中，用“五点重合法”确定的是悬链线拱轴，偏离弯矩对拱顶、拱脚有利。（3）所以，空腹式无较拱的拱轴线，用悬链线比用恒载压力线更加合理。三、拱轴线的水平倾角对对求导：（，） ， 可直接由“拱桥”表（）-2查出。四、悬链线无铰拱的弹性中心在计算无铰拱的内力（恒载、活载、温度变化、混凝土收缩、拱脚变位）为了简化计算工作，常利用拱的弹性中心。研究

8、对象：对称拱（弹性中心在对称轴上）基本结构的取法有两种：悬臂曲梁（图a）、简支曲梁（图b）为简化计算，常用简支曲梁： = 系数可由拱桥手册查得第二节 恒载作用下拱的内力计算（1）.以恒载压力线作为拱轴线，不考虑拱圈变形的影响；拱圈内只有轴向压力拱圈处纯压状态（2）.实际中，拱圈的材料有弹性，存在变形，在轴向力的作用下，拱会产生弹性压缩，这在无铰拱这样的超静定结构中，就会产生内力。在设计中，为了计算的方便，我们把恒载内力一般分成两部分：第一部分：不考虑弹性压缩的内力。第二部分：弹性压缩引起的内力。 两者相加恒载作用下的总内力一、不考虑弹性压缩的恒载内力1实腹拱：实腹式悬链线拱的轴线与恒载压力线完

9、全吻合，所以，在恒载作用下拱圈任何截面上都只有轴向压力拱受压（1）.由式=得：= 式中：=，可查表（2）.恒载作用下，拱脚的竖向反力为半拱的恒载重量：=由=和=代入上式，并积分得：=其中可由拱桥表查得。拱圈各截面的轴力： （）2.空腹拱：空腹式悬链线无铰拱，由于拱轴线与恒载压力线有偏离，拱顶、拱脚、点都有恒载弯矩。在设计中，为了计算方便，空腹式无铰拱桥的恒载内力可分为两部分：第一：不考虑偏离的影响，拱轴线与恒载压力线完全吻合第二：考虑偏离引起的恒载内力 相加空腹式无铰拱桥不计弹性压缩恒载内力不考虑偏离时 ； （半拱恒载重） ； ； 偏离弯矩引起的内力 将结果叠加不计弹性压缩的恒载内力注意：设计

10、中，在中小跨径中，可偏安全的不考虑偏离弯矩的影响。大跨径空腹式拱桥，考虑偏离弯矩的作用。除了要计算偏离弯矩对拱脚、拱顶的有利影响，还要记入对偏离弯矩对，截面的不利影响。二、弹性压缩引起的内力在恒载产生的轴向压力的作用下，拱圈的弹性压缩表现为拱轴长度的缩短拱中产生内力按一般的方法，将拱顶切开，取悬臂曲梁为基本结构，弹性压缩会使拱轴在跨径方向缩短实际，拱顶没有相对水平变位，则在弹性中心必有一个水平力使得拱顶的相对水平变位为0根据产生的赘余力，由拱顶的变形协调条件：= （查表）由于S产生的内力：三、恒载作用下拱桥各截面的总内力1、符号规定：弯矩拱圈内缘受拉为正；剪力由绕脱离体逆时针为正；轴向力则使拱

11、圈受压力为正2、空腹式拱： 不考虑弹性压缩的恒载内力不考虑偏离弯矩拱圈各截面的恒载内力 拱圈内力 弹性压缩产生的内力 偏离弯矩引起的内力 其中：3、实腹式拱桥 不计弹性压缩内力拱圈内力 弹性压缩产生内力左半拱为负号“”；右半拱为正号“+”无论空腹式还是实腹式拱桥，计入弹性压缩后的恒载压力线已经不与拱轴线重合。4、桥规规定，在下列情况，设计时可不计弹性压缩的影响：且且且第三节 活载作用下的内力计算 不计弹性压缩的活载内力活载内力弹性压缩产生内力一、不考虑弹性压缩影响的活载内力不计弹性压缩影响的活载内力，最简便的办法是利用内力影响线和等代荷载计算。超静定无铰拱编制等代荷载的办法：计算赘余力影响线迭

12、加法计算内力影响线在内力影响线上按最不利情况布载，编制等代荷载（一）赘余力影响线基本结构：为了便于编制影响线表，在求拱内内的影响线时，采用简支曲梁为基本结构由结构力学和弹性中心的特性： 式其中： 式中：可查表得出为了计算变位，在计算MP时，可利用对称性，将单位荷载分解为正对称和反对称两组荷载，并设荷载作用在右半拱。将上述系数代入式后，即可得P1作用在B点时的赘余力：为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等分。当P1从左拱脚以Dl为步长（Dl=l/48）移到右拱脚时，即可利用式，得出 影响线的竖坐标（如下图）。（二）内力影响线有了赘余力的影响线之后，可根据静力平衡条件，迭加求任何截面

13、的内力影响线。 拱中内力影响线 拱中赘余力影响线1拱中水平推力响线与x的影响线完全一样，图c（各点影响线竖标值可查表）2拱脚竖向反力V的影响线，图e移到两支点后， 简支梁的反力影响线，左为“”，右为“+”与影响线叠加成V的影响线，图e（图中为左拱脚的竖向反力影响线，影响线总面积 ）3任意截面的弯矩影响线由拱中内力影响线得任意截面的弯矩：=简支梁弯矩上边的符号左半拱，下边符号右半拱4拱顶：x=0，故计算步骤：通常算出任意截面的水平力和拱脚的竖向反力V再按下式计算N、Q 拱顶：轴向力 拱脚： 其他： 拱顶：数值很小，一般不计算，剪 力 拱脚：，其他：数值很小，一般不计算为了便于利用“等代荷载”计算

14、拱圈内力，“拱桥”附录中列有M、N、Q的影响线面积表。（三）活载内力计算实际中，拱圈属于偏心受压结构，以最大的正（负）弯矩控制设计计算中以截面弯矩影响线的最不利情况布设，计算： 该截面的及其对应的N该截面的及其对应的N二、活载作用下弹性压缩引起的内力将计入弹压和不计弹压的活载内力叠加起来，得到活载作用下的总内力。第四节 裸拱内力计算1对早脱架施工（拱圈的合拢达到一定强度后就卸落塔架）及无支架施工的拱桥，须计算裸拱自重产生的内力，以便进行裸拱强度和稳定性的验算。2基本结构：悬臂曲梁（1）对于等截面拱，任意截面的恒载强度：（2）由于裸拱结构和荷载均为正对称在弹性中心处仅有两个正对称的赘余力：弯距，

15、水平力，由典型方程：= ，=，积分后： = ，=拱圈材料单位重；A拱圈截面积（净面积或实际面积）；系数(查表)由静力平衡条件得任意截面i的弯矩和轴向力：=拱顶至主截面间裸拱自重对该截面的弯矩拱顶至主截面间裸拱自重的总和，查表拱顶截面的编号，设计n常采用12或243当在时，裸拱压力拱轴系数m=1.0791.305常比拱轴线采用的值小。采用无支架或早脱架施工的拱桥，宜适当降低拱轴系数m减小y增大有坦拱趋势小推力大弯矩小第五节 温度变化、混凝土收缩、拱脚变位的内力计算超静定拱中，温度变化、混凝土收缩、拱脚变位产生附加内力一.温度变化产生的附加内力1热胀冷缩：温度上升拱桥体积膨胀；温度下降拱桥体积收缩

16、图中，温度变化水平变位，与弹性压缩一样，则产生，由典型方程：=，温度变化值，升温为正，降温为负材料的线膨胀系数，取值看书由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为：二混凝土收缩引起的内力混凝土收缩的变形作用与温度下降相似常将混凝土收缩的影响折算为温度的额外降低三.拱脚变位引起的内力拱脚相对变位引起的各截面的内力为：第六节 拱圈强度及稳定性验算各种荷载作用下的内力进行最不利情况下的荷载组合验算控制截面及拱的稳定性验算截面： 无铰拱：拱脚和拱顶中小跨径无铰拱：拱顶、拱脚大中跨径无铰拱桥：拱顶、拱脚、1/4截面用无支架施工的大中跨径拱桥，增加1/8，3/8截面一拱圈强度验算原则：荷载效应不利组合的设计值

17、结构抗力效应设计值。拱圈为偏心受压构件，其正截面强度按下列公式计算：当超过表3-4-2的容许值，按（3-4-72）计算拱圈正截面受剪时，下式计算：N二拱圈稳定性验算拱圈稳定性验算：纵向稳定；横向稳定实腹式拱桥，跨径不大时，不验算纵、横向稳定性拱上建筑合拢后再卸落拱架的大、中跨径拱桥：不验算纵向稳定性（拱上建筑与主拱圈共同作用，不产生纵向失稳）采用无支架施工或在拱上建筑合拢前就脱架的拱桥：应验算纵向稳定性拱圈的宽度小于跨径的时：应验算横向稳定性（一）纵向稳定性验算采用的方法：将拱圈换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算。正截面稳定性验算公式：（二）横向稳定性验算：没有成熟的计算办法，工程上常用与

18、纵向稳定性相似的公式来验算：第七节 拱圈应力调整悬链线无铰拱桥在最不利荷载组合时，常出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况。为了减小拱脚、拱顶过大的弯矩，可以从设计施工方面采取一些措施调整拱圈内力。一.假载法调整应力（改m）1.适用情况：拱顶，拱脚两控制截面中，有一个弯矩很大，有一个弯矩很小。2.假载法的实质：通过改变拱轴系数来变更拱轴线，使拱顶、拱脚两截面的控制应力接近相等。拱脚负弯矩过大；提高m，使得拱轴线在三铰拱恒载压力线之上，图a：减小陡拱推力减小拱顶正弯矩过大：降低，拱轴线位于三铰拱恒载压力线之下。图b：增大坦拱推力大注意：值的调整幅度为半级到一级。3.实腹式拱：（1）.调整前的拱轴系数=调整后=假想的减去（b）或者增加(c)的一层；（图中可看出：均布恒载为假载）（2）.当减去时，按计算；增加时，按计算。（3）.【图3410中，看出拱顶、拱脚两截面的弯矩影响线面积中正面积比负面积大】增加时，拱顶、拱脚产生正M减少时，拱顶、拱脚产生负M因为：拱脚常以负弯矩控制设计：增加减小陡拱推力小。拱顶常以正弯矩控制设计：减小增加坦拱推力大。4.空腹式拱：通过改变来实现：调整前：， ； 调整后：，由式：= （取“-” ；