172 古典概型与几何概型

1、17、概率172 古典概型与几何概型【知识网络】1 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率。2 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其 解决一些简单的几何概型的概率计算问题。典型例题】例 1(1)如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是4A.-B.C.9D.2)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别

2、为X、Y,则log2x Y 1的概率为A.B. 36C.112D.在长为18cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.1B.-2C.D.S向面积为S的厶ABC内任投一点P,则随机事件“ APBC的面积小于一”的概率3为，. 任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为.例2考虑一元二次方程x2+mx+n=0,其中m, n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后 出现的点数，试求方程有实根的概率。例 3甲、乙两人约定于 6 时到 7 时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻 钟，过时即可离去求两人能会面的概率例 4抛掷骰

3、子，是大家非常熟悉的日常游戏了 某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动“轻轻松 松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”方案1：总点数是几就送礼券几十元总点数23456789101112礼券额2030405060708090100110120方案2：总点数为中间数7 时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或 增加 1，礼券减少 20 元总点数23456789101112礼券额2040608010012010080604020方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到 7递增或从12到 7 递减时，礼券都依次减少20 元总点数23456789101112

4、礼券额12010080604020406080100120如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决【课内练习】1 某班共有 6 个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3 名同学准备加入到这6 个 小组中去，则这3 名同学恰好有2 人安排在同一个小组的概率是 （ ）23 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 15105A.B.C.D. HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 5248112盒中有 1 个红球和 9 个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由 10

5、人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P,第8个人摸出红球 的概率是匕，则（）81A. P8= P,881如图， A、B、率为11A.-B.2321C.D.344B.卩厂尹1C、D、E、F 是圆 O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概 F （）C. P8=P1D. P8=04两根相距 3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂 都大于1m的概率为11A.B.-23C第3 题图彩珠，则彩珠与两端距离（）1C.42D.-3一次有奖销售中，购满100元商品得1 张奖卷，多购多得.每 1000张卷为一个开奖单 位，设特等奖 1 个，一等奖 5 个，二等奖 100 个.则任摸一

6、张奖卷中奖的概率 为某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学 生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 在圆心角为150的扇形AOB中，过圆心O作射线交AB于P,则同时满足：ZAOP 三45。且ZBOP三75。的概率为 .某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车.某天小曹准备 在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽 可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第 二辆，否则上第三辆.（ 1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？设A为圆周上一定点，在圆周上

7、等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的耳3倍的概率正面体ABCD的体积为V, P是正四面体ABCD的内部的点.1设“ VPABC三V ”的事件为X求概率P(X)；P-ABC 411设“ VP ABC三一V且Vp BCD三一 V ”的事件为Y求概率P(Y).P-ABCP-BCD17、概率172 古典概型与几何概型A组1 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为2A.兀兀一2 B.兀D.-兀42. 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为A.1B.3C.D. 已知椭圆+苹=l(ab0)及内部面积为S=nab, A、, A2是长轴的两个顶点，B,

8、a 2 b21 2 1B2是短轴的两个顶点，点P是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是()厶PAA2为钝角三角形的概率为1；厶PB1B2为直角三角形的概率为0；bPB1B2为钝角三角形的概率为；1 2 aAPAA。为钝角三角形的概率为一；1 2 aa 厶pb1b2为锐角三角形的概率为。1 2 aA. 1B。 2C。 3D。 4 古典概型与几何概型的相同点是，不同点是基本事件的连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.其中“恰有两枚正面向上”的事件包含个等可能基本事件.任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率.如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC,求使得ZAOC

9、和ZBOC都不小于30的概率.如图，在等腰三角形ABC中，ZB=ZC=30 ,求下列事件的概率:问题1在底边BC上任取一点P,使BPVAB;问题2在ZBAC的内部任作射线AP交线段BC于P,使BPVAB.P第8题17、概率17.2 古典概型与几何概型B组1. 在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为（）1111A.B。CoDo 2 10 20 402. 一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出 红球的概率为（）1536A.B oC oD o 22 22 11 113.已知 O（0，0），A（30，0），B（30， 30），C（0，

10、30），E（12，0），F（30，18）， P（18，30），Q （0，12），在正方形OABC内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ内 的概率为（）A.425Bo2125Co725Do16254.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是5 在所有的两位数（ 1099）中，任取一个数，则这个数能被 2 或 3 整除的概率 是 6.在厶AOB中，ZAOB=60, OA=2, OB=5，在线段OB上任取一点C。试分别求下列 事件的概率：厶AOC为钝角三角形；、AOC为锐角三角形；厶AOC为锐角三角形。7.在区间T, 1上任取两实数a、b求二次方程

11、x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率.8. 一海豚在水池中自由游弋.水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海 豚嘴尖离岸边不超过 2m”（1）试设计一个算法（用伪代码表示），使得计算机能模拟这个试验，并估算出事件 A 发生的概率；（2）求P （A）的准确值.参考答案172 古典概型与几何概型典型例题】例 1(1)A。C.提示：总事件数为36种。而满足条件的(x, y)为(1, 2), (2, 4), (3, 6),共 3 种情形。D.提示：M只能在中间6cm9cm之间选取，而这是一个几何概型。1(4)作AABC的边BC上的高AD,取EUAD且ED=AD，过E作直线MNBC分别

12、3交AB于M, AC于N,则当P落在梯形BCNM内时，APBC的面积小于 ABC的面积故 P=S梯形BCNMSAABC1(5) /。提示：总事件数为6X6=36种，相同点数的有6种情形。6例2由方程有实根知：m2三4n.由于n = N*,故2WmW6.骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6X6=36种情形.其中满足条件的有:m=2, n只能取1,计1种情形；m=3, n可取1或2,计2种情形;m=4, n可取1或2、3、4,计4种情形；m=5或6, n均可取1至6的值，共计2X6=12种情形.19故满足条件的情形共有1+2+4+12=19 (种)，答案为 .36例 3以 x 和 y 分别

13、表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是|x- y| 15 .在平面上建立直角坐标系如图7,则(x, y)的所有基本事件可以看作是边长为 60 的正方形，而可能会面 的时间由图中的阴影部分所表示.故602 - 4527P(两人能会面)=:.60 2 167答两人能会面的概率为二.16例4由图可知，等可能基本事件总数为36种.其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4 的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个， 点数和为7的基本事件数的和为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基本事件数为4 个，点数

14、和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个 点数和为12的基本事件数为1 个根据古典概型的概率计算公式易得下表：点数和23456789101112概率123456543213636363636363636363636678910111256789101145678910345678923456781234567123456第二次抛掷后向上的点第一次抛掷后向上的点例 4 答图由概率可知，当点数和位于中间（指在 7 的附近）时， 概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选 择方案 2，也不宜选择方案 1，最好选择方案 3另外，选择方案3，还有最大的一个优点那就是，它 可造成

15、视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120 元）可有两次机会，即点数和为2与 12，中次最高奖（100 元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一 定是最促销的方案我们还可以从计算加以说明三个方案中，均以抛掷36 次为例加以计算（这是理论平均值）：点数和23456789101112合计所需点数和出现的次数12345654321礼券额方案1礼券额20304050607080901001101202520方案1各点数和所需礼券额2060120200300420400360300220120方案2礼券额20406080100120100806040202920方案2各点数和所需礼券额20

16、801803205007205003201808020方案3礼券额120100806040204060801001202120方案3各点数和所需礼券额120200240240200120200240240200120从表清楚地看出，方案3 所需的礼券额最少，对老总来说是应优先考虑的决策【课内练习】Do 3个人加入6个小组中有36种方法。3人中恰有2人在同一小组的，于是只须加 入两个小组，共有空5 =15种选择，而3人的分组又有6种情形，故答案为二仝。2 216 12C。提示:虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果，那么 各个摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序

17、不同而影响到其公平3 B。1B。提示：记“彩珠与两端都大于lm”为事件A,则P(A)=3。51 + 5 +100 _ 53 1000 一500 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark136 o Current Document /3 x 39=4x41615。提示：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150 -45 -75即就是 30,30(1)三类客车分别记为上、中、下.则有如下的基本事件上-中-下；上-下-中；中-上-下；中-下-上；下-上-中；下-中-上.因此，基本事件总数为 6 个.(2)小曹能乘上上等车的事件记为A,则A中包含上述事件中 的：中

18、-上-下；中-下-上；下-上-中，故31P蔦=夕1答共有6个基本事件，能乘上上等车的概率为2 -连结圆心O与A点，作弦AB使ZAOB=120，这样的点B有两点，分别记为B1与B2，仅当P在劣弧BB上取点时，AP岚OA,此时ZB1OB2=120，故所求的概率2 1 2 1 2120 1为 二360 310.分别取 DA、DB、DC 上的点 E、F、G,并使 DE=3EA，DF=3FB, DG=3GC，并连结EF、FG、GE,则平面EFG平面ABC.C当P在正四面体DEFG内部运动时，满足VABC1VDE327V，故 P(X)= D-EFG = ()3 = (一)3 =4VDA464D-ABC在A

19、B上取点H,使AH=3HB,在AC上取点I,使AI=3IC，在AD上取点J 使AJ=3JD，则P在正四面1体AHIJ内部运动时，满足VPBCD三V .P-BCD结合，当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动时，亦即P在正11四面体EMNJ内部运动时，同时满足VPABC三V且VPBCD三V，于是 P-ABCP-BCDP(Y)=VJ EMNVD - ABC=J )3 = (1)3 =丄DA 2817、概率172 古典概型与几何概型A组1 B。提示：所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积。B。提示：乙可选3个位置中的一个坐下。D。提示：是正确的。基本事件的等可能性；有限性与无限

20、性的区别.3。提示：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）。一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0， 1， 1， 9 中的任意一个，因而基本事件为 。=1, 2, 3,，9，共10个.正整数的平方的末位数是1的事件A=1，9，共2个.21因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得P（A）二一=-.10 5记A=作射线OC,使ZAOC和ZBOC都不小于30，作射线OD、OE使ZAOD=30。,30 1ZAOE=60.当 0C 在ZDOE 内时，使ZAOC 和 ZBOC 都不小于 30,则 P（A）=.90 3问题1,因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为区域D.以B为圆心、BA为 半径画弧交BC于M,则P必须落在线段BM内才有BPBM=BA，于是BABCBA _丄逼2 BA cos3033P(BP AB) = P(BP BM) = BMBC问题2,作射线AP在ZBAC内是等可能分布的，在BC上取点M,使ZAMB=75 , 75 5则BM=BA,当P落在BM内时，BPAB.于是所求的概率为_-.120 8B。C。3. D。提示：1-102302162524. 9。