人大微积分课件8-8多元函数的极值与最值

1、一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法第八节 多元函数的极值与最值 一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1二元函数极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；(1)(2)(3)例1函数处有极小值在例函数处有极大值在处有极大值在例处无极值在函数2多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.证不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意都有,故当时，有说明一元函数在处有极大值，必有;类似地可证.推广 如果三

2、元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为 ，.; 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 驻点极值点注意：定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， .例如点是函数的驻点，但不是极值点又 ， 令，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，当时有极大值， 当时有极小值；（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论（2）时没有极值；求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步 解方程组 求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步 定出2BAC

3、-的符号，再判定是否是极值.例4求函数的极值解求得驻点，在点处所以，在处函数没有极值在点处又所以，在处函数有极大值且求最值的一般方法： 1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值 3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3 多元函数的最值解先求函数在D内的驻点，如图,例5 求二元函数 在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.解方程组再求在边界上的最值，得区域内唯一驻点,且 在边界和上,在边界上，即于是,由 得 比较后可知为最大值,为最小值.解由例6 求的最大值和最小

4、值.得驻点和,即边界上的值为零.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.因为所以最大值为，最小值为例7 某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？此水箱的用料面积解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x0,y0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材料最省。实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8

5、元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果问题的实质：求 在条件 下的极值点二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值无条件极值：对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值要找函数在条件下的可能极值点，其中为某一常数，可由先构造函数解出，其中就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数在条件 ，下的极值， 先构造函数其中均为常数，可由 偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.例8 将正数12分成三个正数zyx,之和 使得zyxu23=为最大.解解得唯一驻点)2,4,6(，则故最大值为解设为椭球面上一点,例9 在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切