极限四则运算法则函数的连续性课件

1、极限四则运算法则函数的连续性课件极限四则运算法则函数的连续性课件 一. 极限的四则运算法则 二. 函数连续的定义 1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性 一. 极限的四则运算法则 二. 函数连续的定义 一. 极限的四则运算法则 设 , , 则 .(1)代数和的极限 存在, 且(2)乘积的极限 存在, 且.特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即(ii) 若 是正整数, 有. 一. 极限的四则运算法则 设 设 , , 则 (3) 若 ,商的极限 存在, 且. 要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！设 , 和的极限 =极限的和求练习1.解 由极限的四则运算法则 原式 常数因

2、子可提到极限符号之前.由该题计算结果知，对多项式有,和的极限 求练习1.解 由极限的四则运算法则 原式 常数不能直接用极限的四则运算法则解 显然, 分子与分母的极限都是0.原式 求练习2应将分子分母分解因式,约去极限为0的公因子商的极限 =极限的商不能直接用极限解 显然, 分子与分母的极限都是0.原式 求解 由幂的运算性质 于是 幂的极限 =极限的幂 求练习3 1.4中计算复利及贴现时要用到求该类极限.解 由幂的运算性质 于是 幂的极限 求练习3 1.4中解 由幂的运算性质 于是 求练习4原式 积的极限 =极限的积 解 由幂的运算性质 于是 求练习4原式 积的极限 对函数 ,若自变量由 改变到

3、 ,自变量实际改变了 ,这时,函数值相应地由 改变到 ,若记 为函数相应的改变量,则 改变量的定义 二. 函数连续的定义 对函数 ,若自变量改变量的定义 连续的直观理解 某人爬山. 在图中的蓝色山体部分, 该人沿山体向前挪动一小步,他在水平方向前进了 ,在垂直方向上升了 ,显然当 时,有 这时, 我们说该蓝色山体是连续的. 而在 点,该人若在水平方向前进很微小的一点,垂直方向就要上升很多,即当 时,不会有这时, 我们说该山体在 处不连续.连续的直观理解 某人爬山. 在图中的蓝色山体部分, 该由图可看出, 在 处, 当 很微小时, 也很微小.对函数 : 特别当 时, 也有 .这就是函数 在点 处

4、连续的实质.在 处,曲线断开,作为曲线上的点的横坐标 从 左侧近旁变到右侧近旁时,曲线上的点的纵坐标 呈现跳跃,即在 处,当自变量有微小改变时,相应的函数值 有显著改变. 由图可看出, 在 处, 当 很微小时, 函数在一点 连续的定义 设函数 在点 及其左右邻近有定义,若 则称函数 在点 处连续, 称 为该函数的连续点. 若记 则 于是上式等价于(1)函数 在点 及其左右邻近有定义；(2)极限 存在；(3)极限 的值等于该点的函数值 函数在一点连 续的三个条件: 函数在一点 设函数 在点 及其 函数在一点连 续的三个条件: (1)函数 在点 及其左右邻近有定义；(2)极限 存在；(3)极限 的

5、值等于该点的函数值上述三个条件之一不满足,函数 在点 处就不连续,称 是函数 的不连续点,即间断点.练习5 求函数 的间断点. 解 对 ,由于在 和 均没有定义,而在 和 的左右邻近有定义,即上述三个条件中的条件(1)不满足,故 和 是函数的间断点. 间断 函数在一点连 (1)函数 在点 左连续 由函数 在点 左极限与右极限的定义 可以得到函数 在点 左连续与右连续的定义:若 ,则称函数 在点 处左连续. 右连续 若 ,则称函数 在点 处右连续.函数 在点 处连续的充分必要条件即是:函数 在点 处既左连续又右连续. 左连续 由函数 在点 左极练习6 设函数 讨论 在 处的连续性.解 这是分段函数, 是其分段点.因 ,又 所以函数在 处右连续, 但不左连续, 从而它在 不连续解 这是分段函数, 是其分段点.因 函数在区 间上连续: 若函数 在区间 上每一点都连续,则称函数 在 上连续, 或称 为 上的连续函数.初等函数在其有定义的区间内都是连续的 结论 函数在闭区 间上连续: 函数 在闭区间 上连续是指, 函数 在开区间 上连续; 且在端点 处右连续, 在端点 处左连续, 即有: 函数在区 若函数 在区间 上每初等函数在其有定义的区间内都是连续的 结论 根据这一结论,