二次函数学案

1、2.1二次函数所描述的关系学习目标：正确理解二次函数的定义，能够表示简单的变量之间的二次函数关系，掌握二次函数的一般形式。随堂练习：一.填空题设一圆的半径为r，则圆的面积S=_,其中变量是_正方形的边长为，若它的边长增加，则它的面积就增加，列出与之间的关系式：如图：一个长方形的长、宽分别是和，现在长、宽上分别剪去宽为（）的纸条，则剩余部分的面积，其中：是自变量，是因变量。4已知二次函数2当时，的值是_。当为_值时，函数的值为。5.已知函数（2）2（）（1）若这个函数是一次函数，则的值是_。（1）若这个函数是二次函数，则的值是_。6.已知二次函数y=2x2a+b+xa-b+3是二次函数，则a=_

2、b=_。二选择题7.下列函数中，属于二次函数的是（）2x2a2x2三.解答题8.把一根长20cm的铁丝折成一个矩形，设矩形一边长为xcm，矩形面积为ycm2.写出y与x之间的关系式。当边长x=1、2时，矩形面积分别是多少？9.圆的半径是，假设半径增加，圆的面积增加.写出与之间的关系式；当圆的半径分别增加、时，圆的面积增加多少？10.良红日用化工厂在一长方形铁片上书写广告词，长方形的宽为x米，长比宽多2米，（1）长方形的面积S如何表示？（2）如果每平方米需要设计费120元，若设计费为y元，试写出y的表达式。四.课后作业1二次函数y=x(m-1)+x2中的m的值为( ) A 1 B 2 C 3 D

3、 42一个直角三角形的两直角边的和为7cm ,当一直角边为4cm时，则这个直角三角形的面积是_cm 2,(2)设这直角三角形的面积S cm2,其中一条直角边长是xcm,求S与x的函数关系式。3.已知函数y=(m2m)x2+(m1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值。（2）若这个函数是二次函数，求m的值。4.P40问题解决第4题 五. 中考链接如图，正方形ABCD的边长为8cm,点Q在CD上，APPQ，BP=xcm,CQ=ycm,求y与x之间的关系式。2.2结识抛物线学习目标：能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2的图象的性质。随堂练习一填空题

4、：1.函数y=x2的图象的对称轴是_,顶点坐标是_。2.若二次函数y=ax2(a0)，图象经过点P(2,-8),则a=_。3.点A（2，6）是抛物线y=ax2上的一点，则a =_,点A关于y轴的对称点B是_。4.函数y=x2的图象是一条_线，开口向_，对称轴是_，顶点坐标是_，顶点是图象的最_点，表示函数在这点取得最_值。二.选择题5.直线y=x与抛物线y=2x2的交点是（ ）A.(,0) B.( -,-) C.( -,-),(0,0) D.(0,0)6.在同一坐标系中，作y=x2和 y=x2的图象，则它们的共同点是（ ）A 都关于x轴对称，抛物线的开口向上。 B都关于y轴对称，抛物线的开口向

5、下C. 都关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点7.如图，在平面直角坐标系中，函数图象的表达式是( )A y= B y= C y= D y=三.解答题8已知抛物线y=ax2经过点A（2，-12）（1）判断点B（-3，27）是否在此抛物线上。(2)求出此抛物线上纵坐标为-48的点的坐标。9.求直线y=x+6与抛物线y=x2交点坐标。10.二次函数y=ax2与直线y=2x+1的图象交于点P（1，m）。（1）求a,m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大。四.课后作业：1.经过点（4，8）且以y轴为对称轴的抛物线的表达式为_。2.若

6、二次函数y=ax2，当时，当时，的值是3.抛物线y=x2对称轴是_，顶点坐标是_，开口方向向_。4.二次函数y=x2与 y=x2的图象关于_对称。5.求直线y=x与抛物线y=x2交点坐标。4P45数学理解第3题五.中考链接1.已知二次函数y=ax2的图象与直线y=2x+3交于（3，b）（1）试求a、b的值；（2）判断y=ax2的图象的开口方向，并说明此抛物线的对称轴，顶点，坐标及当x0时y的值随x的值增大而变化的情况。2.3刹车距离与二次函数学习目标：说出二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴和顶点、坐标，体会二次函数是某些实际问题的数学模型。随堂练习填空题：抛物线y=-3x2+5的开口向_

7、,对称轴是_,顶点坐标是_,顶点是最_点，所以函数有最_值是_。抛物线y=4x2-1与x轴交点坐标是_，与y轴交点坐标是_。把抛物线y=x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数关系式是_。已知抛物线顶点在（0，1），对称轴为y轴，且经过点（-1，-2），则抛物线的关系式为_。5.抛物线y=x2-4可由抛物线y=x2沿_轴向_平行移动_个单位得到，它的开口方向是_，顶点坐标是_，对称轴是_，当x_时，y最_值，当x_时，y随x的增大而增大。6.抛物线y=-4x2-4的开口向_，当x_时，y有最_值为_。三.解答题7.抛物线y= ax2+c与y=x2的开口大小相同，开口方向相同且过点（1，），求

8、抛物线y= ax2+c的关系式。8.求符合下列条件的抛物线y= ax2-1的函数关系式（1）通过点（-3，2）（2）与y=x2的开口大小相同，方向相反9.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图象是y=3x2-1，求m、n。四.课后作业：1.二次函数y=3x2+的顶点坐标是( )，开口方向向_，对称轴是_.2.P50数学理解第4题3.如图:矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P在AB上，从A点开始沿AB边以1cm/s向点B移动，点E是CB中点，点Q从E开始沿EC以1cm/s向点C移动，如果P、Q同时从A、E出发，探究BPQ的面积S与运动时间t的函数关系式。五.中考链接

9、：1.如图（7），在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3， E为BC上一动点（不与B重合），作EFAB于F，FE,DC的延长线交于点G，设BE=x，的面积为S。（1）求证：. （2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围。2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象学习目标：理解y=a(x-h)2、y=a(x-h)2 +k与y=ax2的图象之间的关系。一随堂练习:1.抛物线y=(x+3)2的顶点坐标是_，对称轴是_。2.把抛物线y=3x2向右平移3个单位后，所得抛物线的关系式是_。3.抛物线y=3（x1）2的开口方向向_。对称轴是_，顶点坐标是_。4. 抛物线y=2（x+2）2与y轴的交

10、点是_，与x 轴的交点是_。对称轴是_，顶点坐标是_。5.把抛物线y=-3（x-1）2向下平移3个单位得到函数表达式是_。二选择题：6.二次函数y=3(x+3)2的图象的顶点是（ ） A（0，0） B （3，0） C （3，0） D （3，3）7. 二次函数y=4(x+2)2+7的图象的对称轴是（ ） A y轴 B x=2 C x=2 D x=78. 二次函数y=3(x+2)2的图象的开口方向是（ ） A 向上 B 向下 C 向左 D 向右 三解答题9.已知抛物线y=a（x+h）2与抛物线y=2x2的形状相同，对称轴与抛物线y=（x1）2的相同，求a,h 的值。10.某商场以每件30元的价格购

11、进一种商品，试销中发现，这种商品每天销售m件与每件的售价x元满足一次函数m=162-3x.(1)写出卖这种商品每天销售利润y与每件的售价x之间的关系式。（2）如果商场每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少合适？四.课后作业：1.抛物线y=4x23 顶点坐标是（ ） A （0，3） B （0，3） C （3，0） D （3，0）2抛物线y=x2+3的对称轴是_，它与抛物线y=x2的形状_。3抛物线y=4（x1）2+5顶点坐标_，对称轴是_，开口方向是_。4. 把抛物线y=-3x2向左平移2个单位得到函数表达式是_。5.求抛物线y=x2+5x+6与x 轴的交点是_，与y轴的交点是_。6.求抛

12、物线y=(x3)(x1)对称轴和顶点坐标。7.已知一抛物线x轴的交点为A（2，0）和B（1，0）且经过点C（2，8）求（1）该二次函数的解析式。（2）求该抛物线的顶点坐标。用三种方式表示二次函数学习目标：能根据二次函数的不同的表示方法，从不同的侧面对二次函数性质进行研究。随堂练习：一填空题1.若二次函数y=x2-2x+c的图象顶点在x轴上，则c=_.2.抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标是_,对称轴是_。3.长方形的周长为，若它一边长为，面积为，则与的表达式是_。二选择题4.抛物线y=x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线表达式是（ ）A. y=(x+3)2-2 B. y=

13、(x-3)2+2C. y=(x-3)2-2 D. y=(x+3)2+25.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（）5.二次函数y=x2+bx+c图象的最高点是（，），则、的值是（），三.解答题.已知抛物线的顶点纵坐标为（，），与轴的交点坐标为（，），求抛物线的表达式。已知一个二次函数的顶点坐标为（，），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数表达式。直线和抛物线x2+bx+c都经过点（，）、（，），求的值及抛物线的表达式。9.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。x2-x（）（）10.一边靠墙，另三边用50m长的篱笆围成一个长方形场地，设垂直于院墙的边长为xm。求长方形场地的面积y

14、与x的表达式。四课后作业：1.两个数的和是60，其中一个是x，这两个数的积是y，则y与x的之间的函数表达式为_，最大值是_。2.已知二次函数y=a2+2x+c的图象经过点（0，1）则c =_。3已知抛物线y=x22x+c 的图象的顶点在x轴上，则c=（ ） A 1 B 1 C D 2 4二次函数y=x2+2x+1的图象与x轴有_交点,交点坐标是_。5抛物线y=5（x1）2+3 的图象的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3）6已知抛物线的图象的顶点坐标是（2，3），并过点（1，6），求这个函数的解析式。2.6何时获得最大利润学习目标：根据实际问题的条件建

15、立函数关系，会用二次函数的最值性质解决有关的实际问题。随堂练习一填空题1.二次函数y=2x2+8x-4顶点式为：_,当x=_时，y有最_值为_。2.二次函数y=2x2+x,顶点为_。3若抛物线y=-2x2+mx-3的顶点在x轴正半轴上，则m=_。二选择题4.函数y=2x2+4x+3的最小值是（ ） A 1 B 1 C 2 D 25.某产品进货单价为90元，按100元一个出售时，能售500个，若这种产品涨价一元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其价格应定为（ ）A.130元 B.120元 C.110元 D.100元三解答题6把一个数6分解为两数之和，何时它们的乘积最大？7某商场以每件20

16、元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件销售价格x(元)满足关系：m=140-2x。写出商场卖这种商品每天的利润y与x之间的关系式。若商场想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少合适？最大销售利润为多少？8.北方某水果店从南方购进一种水果，其进货成本每吨0.4万元，这种水果在北方市场上销售量y（吨）与每吨售价x（万元）之间的函数关系如图：（1）求出y与x的函数关系式；（2）如果销售利润为（万元），写出与x之间的函数关系式；（3）每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？：某商场以80 的价格购进西服1000件，已知每件售价为100元时，可全部售出

17、，如果定价每提高1%，则销售量下降0.5%，问如何定价可获利最大？分析：本题关键是审清题意，建立二次函数关系式。解:设定价提高x%，则销售量下降0.5%，根据题意得：y=100（1+x%）1000（1-0.5%）-8000 =-5(x-50)2+32500当x=50时，y最大=32500即定价为150时，获最大利润32500元。小结:利润问题是生活中常见经济现象。某产品进货价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这个商品涨价1元，其销售额减少10个，问单价定为多少元时获得最利润？难点探究:利用二次函数解决通过涨价（降价）获得最大利润。例：某商场销售某种品牌纯牛奶，已知进价每箱40元

18、，市场调查发现，若每箱以50元销售时，平均每天可售90箱，价格每降低1元，平均每天多售3箱，价格每升1元，平均每天少售3箱。求出商场平均每天销售这种牛奶的利润y（元）与每箱牛奶售价x（元）之间的二次函数关系式。牛奶售价为多少元时，平均每天利润最大，最大利润为多少？分析：（1）列关系式注意分三种情况解决；（2）可用顶点坐标公式或配方法求解。解：（1）y=-3x2+360 x-9600 (2)x=60时，y最大=1200小结：列函数关系式时，一定注意自变量的取值范围。对应训练：将进货单价为70元的某商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量增

19、加1个，为了获得最大利润，应降价_元，最大利润为_元。2.7最大面积是多少学习目标:利用二次函数的图象和性质解决平面几何有关的实际问题。一必做题1.半径为5的圆，若半径增加m，则新圆的面积S与m之间的函数关系是_.已知二次函数的最小值为，则_如果一条抛物线与抛物线的形状相同，且顶点坐标是（，），则它的表达式是_.铅球运动员掷铅球的高度（）与水平距离（）之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）如图：在一个直角三角形内部作一个长方形，其中和分别在两角边上，设，长方形面积为，要使长方形面积最大，应为多少米？二提高题：.用长度为的铁丝围成长方形，当长方形边长为多少时，长方形面积最大。.某幢

20、建筑物，从高的窗口，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图，如果抛物线的最高点离墙，离地面，求水流落点离墙的距离。三探究题：已知：如图：是边长为的正ABC的边BC上的一点，EDAC交AB于E，DFAC于AC点F，设DF=x.(1)求DEF的面积y与x之间的关系式和自变量的取值范围；（2）x为何值时，DEF的面积最大，最大面积是多少?(3)若DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长。互动课堂重点探究:利用二次函数分析实际问题中变量之间的关系，并确定最值。例：用长80m的材料，一面靠墙围成一个矩形花园，问长和宽各是多少时，它的面积最大?这个最大面积是多少？分析：因为一面靠墙，所以须

21、用材料围成矩形三边解：设矩形面积为ym2，靠墙一边为xm，则：y=x ()=-+40 xx 的取值范围是0 x80y=-+40 x=-(x)即矩形花园靠墙一边长为时，花园最大面积为.小结：要看清题目中的条件，要检验结果的合理性。对应训练：矩形的边，在上取点，在是上取点，使，设，求与的函数关系式。难点探究：利用二次函数求图形的最大面积。例：如图：ABC中，AFBC,AB=AC=5,BC=6,矩形PQED的边与线段BC上，D、E分别在线段AB、AC上，设BP=x。求矩形PQED的面积y与x的函数关系式；当x取什么值时，矩形PQED的面积最大？求出这个最大值。分析：由AB=AC, AFBC,可知BF

22、=CF=3，由勾股定理求得AF=4，用相似三角形性质求出DP=x，再用长宽可得矩形面积，求最大面积即求抛物线顶点坐标。解：（1）AB=AC ,AFBC,BF=CF=3,在RtABF中，AF=4,在矩形PQED中：DPAF,=,即DP=x，又DPBECQ, BP=CQ=xPQ=6-2x,y=x(6-2x)=- x2+8x(2) x的取值范围是0 x- B.k-且k0 C.k- D.k-且k06.已知抛物线y=4x2-4(m+2)x+m2+4m-5.证明：抛物线与x轴有两个不同的交点。二提高题：7.某个一元二次方程的两根分别是x1=-2,x2=5,请写出一个经过点（-2，0）、（5，0）两点二次函

23、数的表达式。8.已知：二次函数y=-x2+bx+c,关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的两个实数根是-1和-5，求这个二次函数的表达式。三探究题：9已知一个二次函数的图像过如图所示三点。（1）求抛物线的表达式；（2）平行于x轴的直线的表达式为y=,抛物线与x轴交于A、B两点，在对称轴上找点P，使BP的长等于直线与x轴间的距离，求点P的坐标。互动课堂重点探究：利用二次函数与一元二次方程解决问题。例：在平面上，一门炮发射一发炮弹飞行的高度h（m）与飞行时间t(s)的关系满足h=-t2+10t.问（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最大高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落到地上爆炸？分析

24、：（1）欲求经过多长时间达到它的最高点，即求此抛物线顶点坐标。（2）经过多长时间落地爆炸 ，即求抛物线与x轴交点坐标。解：（1）y=-x2+10 x=-(x-25)2+125 当x=25时，y最大=125 经过25s后炮弹达到最高点，高度是125m. (2)令y=0，则-x2+10 x=0 解得：x1=50,x2=0(舍去) 经过50s后炮弹落地爆炸。小结：一般物体达到最高点，对应抛物线顶点，落地对应高度y=0。对应训练：某菜农搭建一个横截面为抛物线大棚，其表达式为y=-x2+2.大棚宽度是多少米？大棚最高点离地面多少米？难点探究：二次函数与一元二次方程的综合运用。例：已知二次函数y=x2-2x-3该函数图像与x轴有几个交点？（2）试说明一元二次方程x2-2x-3=5的根与二次函数y=x2-2x-3图像的关系。（3）试问x为何值时，y的值为12.分析：可通过解方程，根据方程的解的个数判断函数图像与x轴的交点，要使函数值为12，可直接解方程。解：（1）x2-2x-3=0的解为x1=3,x2=-1,函数图像与x轴有两个交点；（2）方程x2-2x-3=5的根就是函数y=x2-2x-3的值为5时x的值；（3）令y=12时，x2-2x-3=12解得：x1=5,x2=-3。小结：抛物线与x轴交点的个数