7.3.1复数的三角表示式（教案）-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、第七章 复数7.3.1* 复数的三角表示式教学设计一、教学目标1.掌握复数的三角表示式及相关概念.2.掌握复数的三角形式与代数形式的互化.3.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次二、教学重难点1. 教学重点复数三角形式的有关概念，复数的代数形式与三角形式的互化.2. 教学难点根据需要把复数的代数形式表示成三角形式及其反向应用.三、教学过程（一）新课导入通过这几节课的学习，我们知道了复数通常用表示，在复平面内有一一对应的点，也与平面向量一一对应.向量的大小可以通过模来表示，因此关键的就是向量的方向.在初中我们学过角的概念，角可以看成是一条

2、射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，因此我们可以用向量所在射线为终边的角来刻画向量的方向.也就是本节课要研究复数的另一种重要表示复数的三角表示.（老师以提问的方式，来引入新课）（二）探索新知探究一：三角形式的引入如图所示，复数与向量一一对应，复数由向量的坐标唯一确定.我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？提出问题：复数除了由向量在两坐标轴方向上的投影来确定外，是否可以由其他元素来确定？教师引导学生参与讨论并回答.（利用平面向量有关知识，分析出可以由复数的模，即向量的模和复平面内以轴的非负半轴为始边，以向量所在

3、的射线（射线）为终边的角唯一确定.）若学生回答中角是“锐角”或“向量与轴（正方向）的夹角”，则要改变点所在象限，指出它们的不完善性，从而避免学生对辐角产生误解.探究二：复数的三角表示式记向量的模，由上图可以得到（由三角函数定义得），所以其中，.这样，我们就用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角表示了复数.老师提问，当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？（成立）1.复数的三角形式一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式

4、.教师提问，复数的代数形式唯一吗？复数的三角形式呢？代数形式是唯一的.三角形式不唯一.例如.2.辐角与辐角主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.3.复数代数形式和三角形式的转化复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.4.复数相等的三角形式每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.例1 画出下列

5、复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.教师提问如何确定模和辐角？可由确定；可由和点所在的象限来确定.解：（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.类题通法：复数的代数形式转化为三角形式的步骤：（1）由定模；（2）由及点所在象限定辐角（一般情况下定出辐角主值即可）；（3）写出三角形式.2.分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的

6、向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.注意：不一定是主值，但为了简单起见，一般将写成主值.解：（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（三）课堂练习1.把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）.4，分别对应向量,如图所示.2.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（4）是三角形式；（1）（2）（3）（5）不是三角形式.（1）；（2）；（3）；（5）.方法总结：（1）先写成的形式；（2）由定模；（3）由及点所在象限定辐角（一般定辐角主值即可）；（4）写出三角形式.3.把下列复数表示成代数形式：（1）；（2）.解：（1）（2）（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.复数三角形式的表示式3.复数的辐角主值与辐角4.复数代数