微分方程稳定性理论简介

1、1）5)5)第五节微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程dxf（x）dt右端不显含自变量t,代数方程f(x)02）的实根xx称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）0如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解x（t）都满足limx(t)x一，03）则称平衡点x是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称x是不稳定00的（不渐近稳定）。判断平衡点x是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不0求方程（1）的解x（t），因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。将f（x）在x做泰勒展开，只取一次项，

2、则方程（1）近似为dx丁f（x）（x-x）dt04)（4）称为（1）的近似线性方程。x也是（4）的平衡点。关于平衡点x的00稳定性有如下的结论：若f（x）0，则x是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。00若f（x）0，则x不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点00 x对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0 x（t）cef（x0）t+x0其中C是由初始条件决定的常数。、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性6）dx(t)1dtdx(t)dt方程的一般形式可用两个一阶方程表示为=f(x,x)12=g(x,x)12右端不显含t,代数方程组7）f(x,x)=012g(x,x)=01

3、2的实根（x0,x0）称为方程（6）的平衡点。记为P（x0,x0）12012如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解x（t）,x（t）都满足12limx(t)=x0tg1ilimx(t)=x0t228)、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性6）、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性6）则称平衡点P（x0,x0）是稳定的（渐近稳定）；否则，称P是不稳定的（不渐0120近稳定）。为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程dx(t)9)i=ax+bxdt1112dx(t)丄人2=ax+bxdt2122系数矩阵记作abA=iiab22并假定A的行列式detA丰0于是原点P（0,0）

4、是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程0det（A-九I）=0的根九（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：九2+p九+q=0p=一（a+b）（10）12q=detA将特征根记作九,九，则12,=丄(一pp2一4q)(11)122方程(9)的解一般有形式ceyce(九九)或(cct)et(=)12121212c,c为任意实数。由定义(8)，当,全为负数或有负的实部时P(0,0)是稳定12120的平衡点，反之，当,有一个为正数或有正的实部时P(0,0)是不稳定的平衡120点微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根,或相应的p,q取值决定，下表简明地

5、给出了这些结果，表中最后一12列指按照定义(8)式得下马看花关于稳定性的结论。表1由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性,12p,q平衡点类型稳定性0,q0,p24q稳定结点稳定012p0,p24q不稳定结点不稳定012q0鞍点不稳定=0,q0,p2=4q稳定退化结点稳定=012p0,p2=4q不稳定退化结点不稳定,=Pi,0,q0,p24q稳定焦点稳定,=Pi,012p0,p24q不稳定焦点不稳定,=Pi,0中心不稳定由上表可以看出，根据特征方程的系数p,q的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若p0,q0(12)则平衡点稳定，若p0或q1表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲

6、增长的阻滞作用1乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对1可作相应的理解。2一般地说，与之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特殊情况作12为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作用对乙增长的阻滞作用相同，具体地说就是，因为单位数量的甲和乙消耗的供养甲方食物量之比是1：，消耗的供养甲方食物量之比是：1，所谓阻滞作用12相同即1：=：1，所以这种特殊情形可以定量地表示为12=1(4)12即、互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲12的=k倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的=1/k。12下面我们仍然讨论、相互独立的一般情况，而将条件(4)下对问题的12分析留给

7、大家讨论。稳定性分析为了研究两个种群相互竞争的结局，即tfg时x(t),x(t)的趋12向，不必要解方程(2)、(3),只需对它的平衡点进行稳定性分析。首先根据微分方程(2)、(3)解代数方程组f(x,x2)，rx(1-N_N)，0N1N2(5)g(x,x)，rx(1-土-)，012222NN12得到4个平衡点：N(1-)N(1-)P(N,0),P(0,N),P(亠丄,”显),P(0,0)112231-1-41212因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时(x,x0)才有实际意义，12所以对P而言要求、同时小于1,或同时大于1。312按照判断平衡点性的方法(见前面)计算AX1X2X1X2XrX

8、rx-4_1-1N2“(1/2X2)2NN12p=-(f+g)1,i=123,4x1x2Piq二detA|,i二1,2,3,4将4个平衡点p、q的结果及稳定条件列入下表)表1种群竞争模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件P(N,0)11rr(1)122rr(1)122112P(0,N)22r(1)+r112rr(1)1211,112N(1)N(1)、P(1,2)3111212r(1)+r(1)1122rr(1)(1)-211121,112112P(0,0)4(r+r)12rr12不稳定注：表中最后一列“稳定条件”除了要求pO,qO以外，还有其他原因，见下面的具体分析。为了便于对平衡点P、卩2、

9、P3的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们。在代数方程组(5)中记xx(p(X,X)11亠012xx中(X,X)112012对于、的不同取值范围，直线p=0和中=0在相平面上的相对位置不同，12下面给出它们的4种情况;并对这4种情况进行分析1、1。由表1知对于P(N,0)有p0,qV0,P稳定；P的稳21111定性还可以从tf*时相轨线的趋向来分析，图中p=0和中=0两条直线将相平面(X0,X0)划分为3个区域:12图11,1P稳定121TOC o 1-5 h zS:dx/dt,0,dx/dt,0(6)112S:dx/dt,0,dx/dt0(7)12S:dx/dt0,dx/dt0,即x(t)一

10、直是增加的；211若轨线从S出发，由(8)可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向P点,31或者进入S，而进入S后，根据上面的分析最终也将趋向P。221综上分析可以画出轨线示意图(图1),因为直线=0上dx=0,所以在=01上轨线方向垂直于x轴；在中=0上dx=0,轨线方向平行于x轴。1212、,1,1，类似的分析可知P(0,N)稳定。1222图2,1,1P稳定1223、,1,1,由表1知对于P点p0,q0,故P稳定，对轨线趋势1233的分析见图3。112图3,1,1P稳定12312、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性6）4、1,1,由表1知对于P点qVO,故P不稳定(鞍点)，轨线或者1233趋向P

11、，或者趋向P，由轨线的初始位置决定，示意图见图4,在这种情况下P121和P都不能说是稳定的，正因为这样，所以P稳定(与初始条件无关)的条件需21要加上,1，P稳定的条件加上,1。122图41,1P不稳定123结果解释根据建模过程中,的含义，说明P、P、P点稳定在生态上12123的意义。1、,1,1，,1意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲，11212意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终灭绝，种群甲趋向最大容量，即X(t),X(t)趋向平衡点P(N,0)12112、1,1，情况与1正好的相反。123、,1,1，因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较12弱，于是可以达

12、到一个双方共存的稳定的平衡状态P，这是种群竞争中很少出现3的情况。4、1,1，请大家作出解释。12、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性6）生态学中有一个竞争排斥原理；若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡，用本节的模型很容解释这个原理。将方程（2）、（3）改写为Nx+1xTOC o 1-5 h zdx11N2i，rx（1-2）dtiiN1N2x+xdx2Ni22，rx（1-i）dt22N原理的两个条件相当于NN1，1,2，1,NNiN2Ni221从这3个式子显然可得1,1,这正是P稳定，即种群乙灭绝的条件。121二、种群的相互依存自

13、然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，植物可以独立生存。昆虫的的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下。设种群甲可以独立存在，按Logistic规律增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲的增长，类似于前面的方程（2）,种群甲的数量演变规律可以写作（r、N、N的意义同前）112虫,rx（1-电+二）（9）dt11N1N12前面的-号这里变成+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物，1的含义是:单位数量乙（相对于N）提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相12对于N）消耗的供养甲

14、食物量的倍。11种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为r，则乙单独存在时有2TOC o 1-5 h zdx/dt，-rx（10）222甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有xdx/dt，-rx(1一4)(11)2222N112、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性6）显然仅当玉1时种群乙的数量才会增长，与此相同乙的增长又会受到自2N1身的阻滞作用，所以93）式右端还要添加Logistic项，方程变为dX/dt二一rx（1土+上丄）（12）2222NN12方程（9）、（12）构成相互依存现象的数学模型，下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。类似于前

15、面的作法将方程（9）、（12）的平衡点及其稳定性分析的结果列入表2表2种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件P(N,0)11r一r(一1)122一rr(一1)1221,1212N(1)N(1)P(11,22)2111212r(1)+r(一1)-4122112rr(1)(一1)1,120,X0），必须满足下面两个条件中的一个：12A:1,1,121212而由表2中P点的p、q可知，仅在条件A下P才是稳定的（而在A下P是21222鞍点，不稳定），图5画出了条件A下相轨线的示意图，其中甲二1土+二,1N1N12XX中=-1+节-尹。直线申=0和中=0将相平面（X0,X0）划分为4个区S:dx/dt0,dx/dt0112S:dx/dt0,dx/dt0212S:dx/dt0,dx/dt0；S:dx/dt0,dx/dt0。从这4个区域中12412dx/dt,dx/dt的正负不难看出其相轨线的趋向如图5所示。12图5在条件A下P稳定的相轨线12分析条件A的实际意义，其关键部分是，1,考虑到，的含义，这表示122种群甲要为乙提供足够的食物维持其生长，而，1则是在，1条件下为P122