2021-2022学年广东省湛江市鉴江中学高三数学文测试题含解析

1、2021-2022学年广东省湛江市鉴江中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 六名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站在第一道也不能站在第二道,乙必须站在第五道或第六道,则不同排法种数为 （ ） A.144 B.96 C.72 D.48参考答案：A2. 已知函数，则是 （ ）A单调递增函数 B单调递减函数 C奇函数 D偶函数参考答案：D略3. 已知，且，则A、B、7C、D、7参考答案：D因为，且，所以，于是故4. 已知点是函数的图象上的两个点，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

2、则函数的图象的一条对称轴方程为ABC. D. 参考答案：B5. 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学的平均分高；甲同学的平均分比乙同学的平均分低；甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断,再根据数据集中程度判断.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故错误；,则,故错误,正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据

3、特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.6. 执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（ ）A.17 B.53 C.161 D.485 参考答案：C略7. 已知双曲线C：=1（a0，b0）的右焦点与抛物线y2=20 x的焦点重合，且其渐近线方程为y=x，则双曲线C的方程为（）A=1B=1C=1D=1参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系，得到c=5，根据双曲线的渐近线方程得到=，联立方程组求出a，b即可【解答】解：抛物线的焦点坐标为（5，0），双曲线焦点在x轴上，且c=5，又渐近线方程为y=x，可得=，即b=a，则b2=a2=c

4、2a2=25a2，则a2=9，b2=16，则双曲线C的方程为=1，故选A8. 已知i为虚数单位，若复数z满足，则z=（ ）Ai Bi C1 D1参考答案：A由题意可得，所以选A.9. 中国古代名著孙子算经中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（ ）ABCD 参考答案：A由题意可知，该程序框图的功能是使得实数，使得除余，被除余，被七除余的数值， 其中表示除除余的数，再使得除余，被除余的数，所以是除余的数，所以判断框

5、应填入，故选A10. 对于数列，称（其中）为数列的前项“波动均值”若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”若数列为“趋稳数列”，则的取值范围A B C D参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 或是的_条件. 参考答案：略12. 已知平面向量满足，则的最小值是_参考答案：13. 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b?1,且a?(0,3)，则对于任意的b?R,函数F(x)=f(x)?x总有两个不同的零点的概率是_.参考答案：略14. 定义在上的函数满足，当时，则的值是_。参考答案：答案：015. 已知实数x、y满足关系，则|xy|的最大值为 参考答案：【考点】

6、简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，然后分0和分别求出其最小值和最大值，则|y|的最大值可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（3，1），当时，t=过A时有最大值为；当时，t=过B时有最小值为3|y|的最大值为故答案为：16. 已知函数若三个正实数互不相等，且满足，则的取值范围是参考答案：17. 若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】设向量，的夹角为，根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：，为单位向量，即，44cos+1=2，故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，

7、证明过程或演算步骤18. （本题满分16分；第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且圆的方程是（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：参考答案：试题解析：（1）设的坐标分别为 因为点在双曲线上，所以，即，所以 在中，所以 2分由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为： 4分考点：(1)双曲线的方程；(2)占到直线的距离，向量的数量积；(3)圆的切线与两直线垂直的充要条件19. （13分）已知

8、抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M证明：ABMF；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由参考答案：考点: 圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题专题: 综合题；压轴题分析: （1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程

9、可求（2）要证明ABMF，只需证=0即可设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可（3）先假设椭圆E上存在点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），直线AB过点F再根据假设与已知条件去求M坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c由已知条件，F（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以椭E的方程为（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故

10、可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x24kx4=0 x1x2=4抛物线的方程为y=x2，求导得y=x，过抛物线上A，B两点的切线方程分别是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得两条切线的交点M的坐标为（，1）?=0ABMF（3）假设存在点M满足题意，由（2）知点M必在直线y=1上，又直线y=1与椭圆有唯一交点，故M的坐标为（01），设过点M且与抛物线C相切的切线方程为yy0=x0（xx0）：，其中点（x0，y0）为切点令x=0，y=1得，1x02=x0（0 x0），解得x0=

11、2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直线AB过点F综上所述，椭圆E上存在一点M（0，1），经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），能使直线AB过点F此时，两切线的方程分别为y=x1和y=x1抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积为=点评:本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点20. （本小题13分）定义在上的函数同时满足以下条件： 在上是减函数，在上是增函数； 是偶函数；在处的切线与直线垂直。（1）求函数的解析式；（2）设，求函数在上的最小值。参考答案：（1）1分由已知得，即，4分解得。5分故函数的解析式为

12、6分（2），7分8分令得。当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。9分若，在上函数单调递增，此时；10分若即，函数在上单调递减，在上单调递减，此时；11分若即，在上函数单调递减，此时；12分综上可知，函数在上的最小值。13分21. 在中,角所对的边分别为.已知.（I）求；（II）若，的面积为，求.参考答案：（I）由已知及正弦定理，得， 4分因为，所以， 5分又因为，所以. 6分（II）由余弦定理，可得，将代入上式，得，解得， 10分的面积为，解得. 12分22. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：()求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.参考答案：解析：（）分数在内的频率为：，故，如