培训光盘(必修第4册)

1、PAGE PAGE 25培训光盘盘（必修修第4册册）第8章 三角角函数1。关于于教材的的定位问：三三角函数数是数数学4中中的重要要内容，请请谈谈你你们在编编写这部部分内容容时的指指导思想想是什么么？对这这部分教教材你们们是怎样样定位的的？说明要点点：（1）在在编写教教科书时时，首先先要对教教材定位位，也就就是对这这一章的的教材有有一个总总体的认认识，一一个核心心的指导导思想。这个认认识将指指导整个个编写工工作。诸诸如教育育目标的的确定，内内容的取取舍，结结构的安安排，呈呈现方式式的设计计都是受受这个核核心思想想的制约约的。（2）不不同的教教材有不不同的定定位，教教材的定定位集中中地体现现在它的

2、的引言中中。下面面我们就就从三种种教材的的引言中中，来看看它们的的“定位”（插入幻幻灯片：本章目目录、引引言）（3）三三角函数数虽然然是高中中数学课程程的传统统内容，但但是不论论是和以以往的教教科书还还是和其其它的实实验教科科书相比比，我们们的教科科书都具具有鲜明明的特点点。（4）比比较三种种教材的的引言。原来的的教材（老老教材）在引言中，举出了一道数学问题，告诉学生如果学习了三角函数知识以后，会有更简便的解法。进而简要地说明了本章将要学习的内容和意义。设置背景景：一道道用三角角知识可可以做得得更简便便到数学学（应用用）题。提出问题题：没有有向学生生提出问问题。明确任务务：学习习和研究究任意角

3、角的三角角函数、三角变变形，三三角函数数的图象象等知识识。教材22的引言言。提供背景景：自然然界广泛泛地存在在着周期期性现象象，提出问题题：如何何用数学学的方法法来刻画画这种（周周期性）变化的规律？明确任务务：指出出三角函函数就是是刻画周周期性变变化规律律的数学学模型。我们要要研究三三角函数数的意义义，性质质和应用用。学习的起起点是：三角函函数究竟竟是一种种什么样样的函数数？教材的定定位是：学习和和研究是是描述周周期现象象的重要要数学模模型：三三角函数数；苏教版版的引言言：提供背景景：自然然界广泛泛地存在在着周期期性现象象，圆周周上一点点的运动动是一个个简单又又基本的的例子。提出问题题：用什什

4、么样的的数学模模型来刻刻画周期期性运动动/明确任务务：建构构这样的的数学模模型。教学的起起点是：对周期期性现象象的数学学（分析析）研究究；教材的定定位是：展示对周期期现象进进行数学学研究的的过程，即即建构刻画画周期性性现象的的数学模模型的（思思维）过过程；2。教科科书的的的特点问：教材材的定位位对教材材的编写写有什么么样的影影响，苏苏教版教教材有什什么样的的特点？答：苏教教版教材材把本章章定位为为“展示建建构刻画画周期性性现象的的数学模模型的（思思维）过过程”，为了保保证这个个定位的的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点：1。采用用以问题题链为线线索的呈呈现方式式。说明要点点

5、（1）既既然教材材要展示示“思维过过程”，而思维维是从问问题开始始的，思思维的过过程就是是不断地地提出问问题，解解决问题题的过程程。所以以教材采采用了以以问题链链展开的呈呈现方式式。注意意提出问问题的环环节，注注意问题题间的逻逻辑联系系，强化化目标（建建构刻画画周期性性现象的的数学模模型）的的指向作作用；（2）例例子：任任意角三三角函数数任意角三三角函数数概念无无疑是本本部的核核心概念念。苏教教版的教教材和其其它的教教材一样样是在讲讲了“任意角角”、“弧度制制”以后，通通过对锐锐角三角角函数的的考察后后建立起起任意角角三角函函数的概概念的。应该指指出的，尽尽管在建建立三角角函数概概念的程程序上

6、看看起来是是相同的的，只是是在具体体的处理理方法上上有些“微妙“的差异异，可是是不应该该小看了了这里的的差异，因因为这些些差异正正是对教教材不同同定位的的表现。插入幻灯灯片：人人教版任任意角的的三角函函数P112；人教版的的教材是是从讨论论锐角三三角函数数开始的的。对这这样的安安排，人人们会问问：问：为什什么要讨讨论锐角角三角函函数呢？回答可能能是“为了建建立任意意角的三三角函数数的概念念”。问：为什什么要建建立任意意角的三三角函数数的概念念呢？回答可能能是因为为任意角角的三角角函数正正是“刻画周周期性现现象的数数学模型型”。问：为什什么任意意角的三三角函数数可以刻刻画周期期性现象象呢？可能的

7、回回答只能能是：你你们研究究了三角角函数的的性质就就知道了了。其实还有有一个更更尖锐的的也是更更重要的的问题，今今编者和和学生都都无法回回答。这这就是：问：研究究周期性性现象时时，你怎怎么会想想到“锐角三三角函数数”的？由此可见见，尽管管学生看看起来是是参与了了建立三三角函数数概念的的活动，但但是他们们并不知知道这些些活动的的意义！造成这这种现象象的根本本原因，就就在于教教材的编编者根本本就没有有想展示示三角函函数建构构的过程程，而只只是想让让学生认认识到三三角函数数是刻画画周期性性现象的的数学模模型。也也就是说说，教材材的定位位是对三三角函数数的研究究，而不不涉及这这个数学学模型是是如何从从

8、对周期期性现象象的研究究中被建建构出来来的过程程。由于于苏教版版对教材材的定位位不同，在在处理上上也就不不同了。插入苏教教版的任任意角的的三角函函数P112。教材在提提出：“怎样将将锐角三三角函数数推广到到任意角角？”之前，还还安排了了一个问问题：“用怎样样的数学学模型模模型建立立（x,y）与与（r,）之间间的关系系？这就是考考察锐角角三角函函数的“理由”。那么，又又怎么想想到要研研究（xx,y）与与（r,）间的联联系的呢呢？这是因为为用（r,）（xx,y）都可以表示圆周上的点。那么，为为什么要要表示圆圆周上的的点呢？这是为了了刻画圆圆周上点点的运动动。那么为什什么要刻刻画圆周周上点的运动动呢

9、？这是因为为它是周周期现象象的“一个简简单又基基本的例例子”为什么要要研究周周期现象象呢？因为我们们的任务务就是要要“建构刻刻画周期期性现象象的数学学模型。”这里使用用的这是是问题串串，它揭揭示了建建构数学学模型的的思维过过程，在在问题串串的指引引下，学学生真正正主动地地参与了了建构活活动。这这正是我我们把本本章定位位为“展示建建构刻画画周期性性现象的的数学模模型”的原因因。问题串展展示了建建构数学学模型的的过程，揭揭示了数数学知识识间的联联系。2。以“数学地地研究”的一般般程序来来组织、选取教教学内容容。说明要点点（1）教教材以现实世界中的问题建立数学模型对数学模型进行研究利用数学模型解决问

10、题一，是沟通代数与几何的一种工具，体现了数形结合的思想。本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式、刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题，体现了向量方法在研究和解决数学问题中的作用，也沟通了代数、几何与三角的联系。三角函数与向量在物理中有着广泛的应用，物理背景也是三角函数与向量模型的重要原型。标准强调突出三角函数与向量的物理背景和三角函数与向量在物理中的应用，体现了数学与物理等学科的密切联系。为主线展展开。（2）教教材充分分发挥学学习“函数”一章的的经验在在建构“刻画周周期性现现象的数数学模型型”中的作作用，在在结构上上尽可能能地与“函数”一章相相同。（3）为为了突出出“建构研究应用”

11、这一主主线，教教材对传传统的教教学内容容做了“强干削削技”的处理理。如，抽抽出“三角变变换”的内容容，另立立一章；把6种种三角函函数减为为3种等等等。这样做一一方面可可以让学学生利用用已有的的经验，掌掌握学习习的主动动权，发发现数学学知识的的联系，加加深对知知识的理理解；另另一方面面又突出了了基本的的数学思思想和数数学地研研究问题题的方法法，有利利于正确确的数学学观念的的形成。插入本章章知识结结构图3，突出出周期性性。说明要点点：（1）本本章的研研究对象象是周期期性现象象，建构构的是“刻画周周期性现现象的数数学模型型”，在教教材中，我我们突出出了周期期性，把把它看成成是教材材编写的的出发点点和

12、归属属。（2）例例子：三三角函数数的性质质在很多教教材中，总总是通过过作出三三角函数数的图象象，然后后再由图图象的观观察得到到三角函函数的性性质的。对此，苏苏教版的的教材做做了不同同的处理理。插入苏教教版：三三角函数数的图象象与性质质（P226）这里的处处理有如如下特点点：（1）首首先研究究“三角函函数的周周期性”，为此此专门列列了一节节；（2）三三角函数数的周期期性，不不是由图图象得到的，而而是从三三角函数数的定义义，从终终边位置置周而复复始的出出现，从从诱导公公式即从从以前的的研究过过程中得得到的。相反，三三角函数数周期性性的研究究为正确确起了指导导作用。（3）在在正式研研究三角角函数的的

13、性质之之前，教教科书就就从总体体上作出出了判断断：“周而复复始的基基本性质质必然蕴蕴含在三三角函数数的性质质之中”，因为为三角函函数就是是我们为为刻划周周期运动动而建构构的数学学模型。这样的的判断对对不对呢呢？这就就促使我我们来研研究三角角函数具具有哪些些性质？首先什什么是“周而复复始的基基本性质质？“这样就就提出了了本小节节的问题题：如何何用数学学语言刻刻划函数数的周期期性？这样的编编排，不不仅为三三角函数数性质的的学习提提供了问问题背景景，突出出了本章章“建立刻刻画周期期性现象象的数学学模型”这一主主题，而而且充分分地发挥挥了理性性思维的的作用。周期函数数的定义义是教学学中的一一个难点点。

14、在教教学中，可可以从“周而复复始的重重复出现现”出发，一一步步地地使语言言精确化化，通过过“每隔一一定时间间出现”、“自变量量每增加加或减少少一个值值函数值值就重复复出现”等逐步步抽象出出函数周周期性的的定义。（4）在在教学中中应该注注意的是是，本章章讨论的的只是三三角函数数的周期期性，在在教学中中不要过过多地对对一般的的周期性性函数做做讨论。4。加强强几何直直观，强强调形数数结合的的思想说明要点点（1）三三角函数数的基础础是几何何中的相相似形和和圆，而而研究方方法又主主要是代代数的，因因此三角角函数集集中地体体现了形形数结合合的思想想，在代代数和几几何之间间建立了了初步的的联系。在本章章中，

15、充充分渗透透了数形形结合的的思想一方面面是以形形助数，突突出了几几何直观观对理解解抽象数数学概念念的作用用如在在三角函函数及其其性质的的学习中中，注意意充分发发挥单位位圆的直直观作用用，借助助单位圆圆认识任任意角、任意角角的三角角函数，理理解三角角函数的的周期性性、诱导导公式、同角三三角函数数关系式式以及三三角函数数的图象象；通过过角终边边之间的的对称关关系来研研究诱导导公式；借助三三角函数数的图象象理解三三角函数数在一个个周期上上的单调调性、最最大和最最小值、图象与与轴的交交点等性性质；另另一方面面以数助助形，例例如应用用三角函函数的周周期性来来简化函函数图象象的作图图（2）例例子：诱诱导公

16、式式的推导导。插入老教教材诱导导公式的的幻灯片片在过去的的教材中中，诱导导公式是是求三角角函数值值的问题题引人的的。教科科书的研研究程序序是：（1）提提出的问问题：“对于00到3660范围冉冉非锐角角的三角角函数，能能否转化化成锐角角三角函函数呢？如果能能，转化化的公式式是什么么？”（2）明明确问题题：要研研究特定定的角（与180，-，360-等等）之间的三角函数值的关系。（3）研研究特定定角的终终边的位位置关系系；（4）研研究特定定角的三三角函数数值的关关系，得得到诱导导公式。问题特定角间的关系三角函数值之间的关系（诱导公式）（对称）终边的位置关系（对称）（对称）苏教版是是这样处处理的：插入

17、苏教教版诱导导公式的的幻灯片片 提提出问题题：由三三角函数数的定义义可以知知道：终终边相同同的角的的同一三三角函数数值相等等。除此此以外还还有一些些角，它它们的终终边具有有某种特特殊关系系，如关关于坐标标轴对称称，关于于原点对对称等，那那么它们们之间的的三角函函数值之之间具有有什么样样的关系系呢？解决问题题的程序序如下：问题终边的的位置关系三角函数值之间的关系终边的位置关系（对称）（对称）诱导公式这两种处处理方式式的区别别是明显显的：第一、提提问题的的角度不不同。老老教材从从“计算求求角”提出问问题，这这和它把把三角函函数看成成“变换”的工具具这个认认识一致致的。这这样的问问题就偏偏离了“研究

18、刻刻划周期期性数学学模型”的中心心；而苏苏教版中中的问题题是“从对三三角函数数的性质质进行研研究”，这个个主题中中派生出出来的，是是对“模型“研究的的一个有有机的组组成部分分。第二、三三角函数数的值是是由角的的终边的的位置决决定的，因因此从终终边的位位置关系系提出问问题就更更为合理理；第三、苏苏教版的的处理方方式突出出了形数数结合思思想。特特别是教教材中，在在小结时时，更是是深刻地地揭示了了诱导公公式的本本质，堪堪称经典典：“诱导公公式所揭揭示的是是终边有有某种对对称关系系的两个个角三角角函数之之间的关关系。换换句话说说，诱导导公式实实质是将将终边对对称的图图形关系系”翻译“成三角角函数之之间

19、的代代数关系系。第四。由由于苏教教版教材材更好准准确地抓抓住了诱诱导公式式的本质质，所以以整个处处理过程程，一气气呵成，自自然合理理，便于于理解和和记忆。四、教学学建议1。准确确把握教教学要求求说明要点点：（1）与与过去的的教材相相比，新新教材强强调了三三角函数数是一种种“数学模模型”课程标准准提出的的教学要要求是：了解任任意角的的概念和和弧度制制，能进进行弧度度与角度度的互化化。借助单单位圆理理解任意意角三角角函数（正正弦、余余弦、正正切）的的定义。借助单单位圆中中的三角角函数线线推导出出诱导公公式（/2, 的正弦弦、余弦弦、正切切），能能画出yy=siinx , yy=coos xx, y

20、=taan xx的图象象，了解解三角函函数的周周期性。借助图图象理解解正弦函函数、余余弦函数数在00，2，正切切函数在在（-/2，/2）上上的性质质（如单单调性、最大和和最小值值、图象象与x轴交点点等）。理解同同角三角角函数的的基本关关系式：sinn2x+coos2x=1，sinnx/coosx=taanx。结合具具体实例例，了解解y=Asinn（x+）的实实际意义义；能借借助计算算器或计计算机画画出y=Asinn（x+）的图图象，观观察参数数A，对函数数图象变变化的影影响。会用三三角函数数解决一一些简单单实际问问题，体体会三角角函数是是描述周周期变化化现象的的重要函函数模型型。（2）与与以往

21、的的三角函函数内容容相比较较，本章章提出了了对三角角函数作作为刻画画现实世世界的数数学模型型的认识识的要求求，加强强了对借借助单位位圆理解解三角函函数的概概念、性性质，以以及通过过建立三三角函数数模型解解决实际际问题等等内容。标准准删减减了任意意角的余余切、正正割、余余割，已已知三角角函数求求角，反反三角函函数符号号等内容容。降低低了对任任意角概概念，弧弧度制概概念，同同角三角角函数的的基本关关系式，诱诱导公式式，三角角函数的的奇偶性性的要求求。这样样的处理理，把重重点放在在使学生生理解三三角函数数及其基基本性质质、体会会三角函函数在解解决具有有周期变变化规律律的问题题中的作作用上，而而对一些

22、些细枝末末节的内内容不再再作过多要要求。教教学时应应当把握握好这种种变化，遵遵循 标准所规定定的内容容和要求求，不要要随意补补充已被被删减的的知识点点。也不不要引进进那些繁繁琐的、技巧性性高的变变换题目目(例如如求定义义域、值值域;已已知siina=m求的的其他三三角函数数值;用用诱导公公式进行行复杂变变换的问问题等)。（3）但但是也不不能放松松基本的的技能训训练，应应该让学学生记牢牢并熟练练地使用用诱导公公式，同同角三角角函数关关系式，能能用五点点法画出出正（余余）弦函函数的图图象等，因因为这是是利用三三角函数数解决问问题的基基础。2。注意意从数学学模型的的角度来来认识三三角函数数，突出出数

23、学思思想方法法在数学学模型建建构中的的作用。说明要点点：（1）要要突出数数学模型型思想。教学中中应当充充分利用用章引言言提供的的情境，引引导学生生利用学学习函函数的的经验，自自觉地参参与建构构刻画周周期现象象的数学学模型的的活动，使使学生从从学习之之初就建建立起从从数学模模型的角角度看三三角函数数的意识识，在此此基础上上，要充充分注意意运用三三角函数数模型解解决实际际问题的的教学，使使学生经经历运用用三角函函数模型型描述周周期现象象、解决决实际问问题的全全过程。（2）要要充分发发挥形数数结合思思想方法法在本章章的运用用。发挥挥单位圆圆、三角角函数线线、图象象的作用用。（3）运运用和深深化函数数

24、思想方方法。三角函数数是学生生在高中中阶段系系统学习习的又一一个基本本初等函函数，教教学中应应当注意意引导学学生以数数学l中中学到的的研究函函数的方方法为指指导来学学习本章章知识，即即在函数数观点的的指导下下，学习习三角函函数，这这对进一一步理解解三角函函数概念念，理解解函数思想想方法对对提高学学生在学学习过程程中的数数学思维维水平都都是十分分重要的的。（4）例例：用集集合与对对应的函函数观点点看三角角函数，这这是一种种“多对一一”的函数数；用函函数研究究中的基基本问题题（对应应关系、定义域域、值域域、表示示方法、图象，性性质等）来来理解学学习三角角函数的的进程；在讨论y=Asiin(x+)的

25、图图象时，渗渗透函数数变换与与图象变变换 (平移、伸)的的关系。（需要要注意分分寸）3。以问问题为中中心，充充分发挥挥理性思思维在建建构数学学模型中中的作用用。4。恰当当地使用用信息技技术。第9章 平面面向量一、教材材定位问：首先先请你谈谈谈对本本章教材材的定位位。对一种具具有丰富富的几何何背景与与物理背背景的近近代数学学模型的的研究。说明要点点：（1）向向量是具具有深刻刻的几何何背景和和物理背背景的数数学模型型；（2）向向量是近近代数学学中重要要的、基基本的概概念，也也是一种种基本的的重要的的数学工工具；向量既既是代数数的对象象，又是是几何的的对象。作为代代数对象象，向量量可以运运算。作作为

26、几何何对象，向向量有方方向，可可以刻画画直线、平面等等几何对对象；向向量有长长度，可可以刻画画长度、面积、体积等等几何度度量问题题。向量量由大小小和方向向两个因因素确定定，大小小反映了了向量数数的特征征，方向向反映了了向量形形的特征征，因此此，向量量是集数数形于一一身的数数学概念念，是数数学中数数形结合合思想的的典型体体现。向量是是抽象代代数、线线性代数数、泛函函分析中中的基本本数学模模型，是是理解这这些数学学内容的的基础：向量也也是重要要的物理理模型。平面力力场、平平面位移移场以及及二者混混合产生生的做功功问题，都都可以用用向量空空间来刻刻画和描描述。向量不仅仅沟通了了代数与与几何的的联系，

27、而而且，体体现了近近现代数数学的思思想，它它在高中中数学中中的重要要地位是是不言而而喻的。二、教材材特点问：教材材的定位位对教材材的编写写有什么么样的影影响，苏苏教版教教材有什什么样的的特点？按照数数学模型型研究的的一般程程序展开开教材；说明要点点：（1）和和函数数、三三角函数数类似似，本章章也是对对一种数数学模型型的研究究。教材也也是按照照对数学学模型研研究的一一般程序序即“建构模模型研究模模型应用模模型”的顺序序展开的的。这样样的编写写顺序不不仅符合合向量知知识的发发展过程程，而且且可以唤唤起学生生在函函数、三角角函数学学习中获获得的经经验，在在助于发发挥学生生在学习习中的主主动权。（2）

28、本本章首先先现实根据据学生的的生活经经验，创创设丰富富的情境境，从大大量的实实际背景景中抽象象出向量量的概念念（数学学模型），然然后用数数学的方方法研究究向量及及其运算算的性质质，最后后再运用用数学模模型去解解决实际际问题这样处处理体现现了数学学知识产产生和发发展的过过程，突突出了数数学的来来龙去脉脉，有助助于学生生理解数数学的本本质，形形成对数数学完整整的认识识，达到到培养学学生的创创新思维维和理性性思维的的目的，同同时也有有助于数数学应用用意识的的发展（3）以以问题为为中心，用用问题链链为线索索揭示知知识的发发生过程程。插入幻灯灯片向向量的线线性运算算用什么样样的数学学模型来来刻划位位移，

29、速速度、力力这样的的量？这样的数数学模型型在什么么性质与与应用？ 这里里的向量量OA，AAB，OOB之间间有什么么关系？本章按照照如下次次序来编编排:向量的实实际背景景及基本本概念向量的的几何表表示和线线性运算算平面向向量基本本定理向量看看坐标表表示向量的的数量积积向量应应用举例例。插入本章章结构图图幻灯片片当然，和和函数这这样的数数学模型型不同，向向量这一一数学模模型也有有它的特特点，在在向量的的学习中中，学生生会碰到到新的问问题，如如何突出出向量这这一数学学模型的的特点，如何帮帮助学生生理解向向量的核核心内容容，是我我们在编编写教材材时着重重考虑到到的问题题。问：向量量这一数数学模型型具有

30、什什么样的的特点呢呢？特别别地，在在对这一一数学模模型的研研究中要要注意什什么问题题呢？说明要点点：突出向向量的物物理背景景和几何何背景；突出运运算的核核心地位位；突出向向量与相相关知识识的联系系。说明要点点：突出向向量的物物理背景景和几何何背景；说明要点点：（1）教教科书特特别注意意从丰富富的物理理背景和和几何背背景中引引人向量量概念。插入章引引言幻灯灯片：引引言章头图中中矫健的的银燕连连同它身身后的航航迹，像像利箭直直插天穹穹。它使使人联想想到下面面的问题题：怎样样表示运运动物体体的位移移和速度度呢？于于是建构构向量的的思维活活动就此此展开了了。引言首先先说明了了本章的的研究课课题是第第8

31、章研研究内容容的拓展展。三角角函数可可以看成成是圆周周（O）上上一点PP绕圆周周运动的的数学模模型。而而向量则则是为了了刻画更更一般的的运动而而建立的的数学模模型。这这时，只只有同时时考虑点点P的方方向和大大小才能能确定点点P的位位置。接着引言言又指出出，在生生活中，既既有大小小又有方方向的量量是很多多的，如如位移、速度、力等等等都是。这样就就从知识识结构和和现实生生活两个个方面为为向量的的研究提提供了广广阔的背背景。在此基础础上，引引言提出出了问题题：用什什么样的的数学模模型来刻刻划位移移、速度度、力这这样的量量？这个个数学模模型有什什么性质质与应用用？这就是本本章的中中心问题题，也是是本章

32、的的知识增增长点。接着教材材又以位位移为原原型，建建立了向向量的概概念，接接着用有有向线段段给出了了向量的的儿何背背景，并并定义向向量的模模、单位位向量等等概念。这样的的安排，可可以使学学生认识识到向量量在刻画画现实问问题、物物理问题题以及数数学问题题中的作作用，使使学生建建立起理理解和运运用向量量概念的的背景支支撑。（2）在在有关向向量的运运算中，教教材也注注意突出出向量运运算的原原型。如：以位位移的“积累“为原型型定义向向量的加加法和数数乘；以以功为原原型定义义向量的的数量积积。在研研究向量量的线性性运算时时，充分分发挥有有向线段段几何背背景的作作用。如如用有向向线段来来解释数数乘的几几何

33、意义义。在向向量基本本定理中中，提供供力的分分解和速速度分解解的背景景。（3）在在向量的的应用中中，揭示示它丰富富的背景景。插入向量量的数量量积的幻幻灯片。突出运算算的核心心地位说明要点点：（1）运运算是向向量的核核心内容容，对中中学生来来说，根根据现实实的原型型，自觉觉地“构造”运算，还还是第一次。虽然学学生对运运算并不不陌生，但但是，他他们眼中中的运算算只有数数的运算算、字母母（式）的的运算。现在要要学习向向量的运运算，这这对于运运算的理理解时一一个突破破；（2）教教材在处处理向量量运算的的内容时时，注意意和数的的运算进进行类比比，这样样既可以以有效地地利用学学生有关关数的运运算的经经验，

34、而而且可以以帮助学学生发展展对运算算的认识识。例如：和和数进行行类比，在在建立了了向量的的运算以以后，研研究向量量的运算算（加、减、数数乘等等等）和它它们满足足的运算算律，在在定义了了运算以以后，探探讨运算算的应用用，就都都是很自自然的了了。（3）和和数学中中的概念念一样，数数学对象象的运算算也是一一种数学学模型，它它也有一一个建构构的过程程，它同同样是从从原型中中抽象出出来的。教材特特别注意意展示这这个建构构过程。如向量的的加法就就是从位位移的积积累，从从分力和和合力的的关系中中抽象出出来的。特别地，向向量的数数量积是是以功为为原型抽抽象出来来的。（4）我我们知道道，只有有建立了了数的表表示

35、方法法，才能能讨论数数的运算算问题。类似地地，在讨讨论向量量的运算算之前，必必须先要要解决向向量表示示的问题题。由于于向量既是是代数对对象，又又是几何何对象，因因而向量量具有多多种表示示方法。作为代代数对象象，向量量可以用用一个“符号”表示；作为几几何对象象，向量量可以用用有向线线段表示示。在学学习了向向量基本本定理以以后，还还可以用用坐标来来表示。实际上上，向量量的每一一种表示示方法，都都建立了了一种语语言。对对向量的的运算也也可以用用不同的的语言来来表示。在教材材中，先先用几何何语言即即有向线线段来表表示向量量的线性性运算。然后再再用代数数语言来来坐标语语言来表表示。这这样就使使向量成成为

36、联系系代数和和几何的的桥梁，成成为解决决现实问问题和数数学问题题的工具具。 （55）向量量是通过过运算来来解决问问题的。向量之所所以能解解决几何何问题，是是是因为为向量具具有明确确的几何何背景，向向量的运运算及运运算律具具有明显显的几何何意义，因因此涉及及长度、夹角的的几何问问题可以以通过向向蛩及其其运算得得到解决决。几何何图形的的性质，也也可以在在向量的的运算律律中得到到反映。例如，平平行四边边形可以以看成表表示向景景加法和和减法的的几何模模型，而而向量的的加法及及其交换换律 又又可以表表示平行行四边形形的性质质 (在在平行四四边形AABCD中，AABCD，ADBC，所以ABDDCDDB。这

37、这样，建建立了向向量运算算 (包包括运算算律)，与几何何图形之之间的关关系后，可可以使图图形的研研究推进进到有效效能算的的水平，向向量运算算 (运运算律，把把向量与与几何、代数有有机地联联系在一一起。突出向向量的工工具作用用，注意意与相关关知识的的联系；说明要点点：（1）教教材特别别注意联联系实际际，注意意向量与与相关学学科（如如：力学学、物理理学、几几何、代代数、三三角）的的联系。注意用用向量方方法解决决各类问题题。（2）在在例题和和习题中中都安排排了向量量在相邻邻领域内内的应用用题。P87页页“阅读”：向量量源自力力学）三、编写写中考虑虑的几个个问题1。本章章和本模模块其它它各章的的关系。

38、（1）三三角函数数、平平面上的的向量、三角角变换，一一起构成成了本教教学模块块。对现现实世界界中广泛泛存在的的周期现现象进行行数学的的研究是是本模块块的主题题。在第8章章中，我我们迈出出了对周周期现象象研究的的第一步步：建立立了一种种描述和和刻划周周期现象象的重要要的数学学模型：并初步步探讨了了它的性性质。而而在第99章中，又又将以向向量为工工具来探探讨三角角函数的的运算性性质。因因此，从从整体上上看，在在新课程程中，向向量的的学习应应该放在在对周期期性现象象的研究究这一大大背景下下进行。这样可可以更好好地体现现向量这这工具价价值。这种考虑虑集中地地体现在在本章的的引言中中。插入“引引言”幻灯

39、片片。2。知识识展开的的顺序说明要点点：（1）向向量既是是几何对对象，又又是代数数对象。向量的的知识体体系有各各种不同同的展开开方式。如：“先代数数后几何何”的方式式。即先先讲向量量的坐标标表示，从从代数的的角度研研究向量量的运算算，然后后再把它它应用到到几何中中去：也也可以采采用“先几何何后代数数”的方式式。教科科书基本本上就是是采用的的第2种种方式。（2）第第二种方方式比较较符合中中学生的的认知特特点和抽抽象思维维的水平平。也基基本上和和建立向向量的历历史过程程相符。（3）教教材以向向量知识识发展的的过程为为依据，采采用了先先形后数数，形数数结合，逐逐步形式式化的呈呈现方式式。教材从有有关

40、的背背景建立立平面向向量的概概念后，首首先介绍绍了向量量的几何何表示方方法，用用有向线线段表示示向量，并并以此为为依托，讨讨论了向向量的线线性运算算。在这这个过程程中，紧紧紧地抓抓住向量量的“长度”和“方向”这两个个要素，在在直观层层面，在在几何的的层面上上对向量量进行研研究。这这构成儿儿本章的的第一段段落：接着，我我们把向向量放到到坐标系系中，建建立了向向量的坐坐标表示示（即代代数表示示）方法法，把用用几何方方法得到到的研究究成果，逐逐一“翻译”成代数数的语言言。这样样就可以以用坐标标来表示示向量（有有向线段段）的平平行，相相等等关关系，表表示向量量的线性性运算法法则，即即将研究究的成果果形

41、式化化。就构构成了本本章的第第二段落落。最后，教教材又从从几何和和代数两两个层面面定义了了向量的的数量积积。得到到了用两两种不同同的语言言表示的的数量积积的法则则，从而而建立起起代数和和几何的的联系，这这就构成成了用形形数结合合的方法法研究向向量的第第三个段段落。（4）向向量法是是一种重重要的数数学方法法。其实实向量法法的思想想正来从从上述过过程中抽抽象出来来的。用向量的的方法解解决几何何问题的的主要程程序如下下：形到向向量向向量的运运算向向量到形形（5）由由于向量量的概念念和运算算都具有有物理的的原型，因因此，上上述研究究也建立立了几何何，代数数与物理理的联系系。类似似地也可可以利用用向量解

42、解决物理理问题。（6）上上面的研研究程序序，实际际上是从从代数层层面上对对向量的的研究。所有这这些，这这样就得得到了用用代数形形式表示示的，得得到了用用我们知知道，只只有建立立了数的的表示方方法，才才能讨论论数的运运算问题题。类似似地，在在讨论向向量的运运算之前前，必须须先要解解决向量量表示的的问题。由于向向量既是是代数对对象，又又是几何何对象，因因而向量量具有多多种表示示方法。作为代代数对象象，向量量可以用用一个“符号”表示；作为几几何对象象，向量量可以用用有向线线段表示示。在学学习了向向量基本本定理以以后，还还可以用用坐标来来表示。实际上上，向量量的每一一种表示示方法，都都建立了了一种语语

43、言。对对向量的的运算也也可以用用不同的的语言来来表示。在教材材中，先先用几何何语言即即有向线线段来表表示向量量的线性性运算。然后再再用代数数语言来来坐标语语言来表表示。3。平面面向量和和空间向向量的关关系说明要点点：（1）教教材中研研究的平平面向量量只是向向量的特特例。但但是它却却蕴含了了向量的的基本思思想，也也是进一一步学习习向量的的基础，在在选修教教材中，学学生还会会学习空空间向量量，如何何使本章章的学习习内容具具有发展展性，为为学生的的进一步步学习留留有空间间是编写写教材时时考虑的的一个问问题。（2）以以“平面向向量基本本定理”为例说说明。插入幻灯灯片平平面向量量基本定定理在学习习平面向

44、向量基本本定理之之前，介介绍“向量共共线定理理”作为铺铺垫；在学习习平面向向量基本本定理时时，先提提供物理理背景，进进而提出出（猜想想）课题题：在证明明定理以以后，用用思考考提出出问题：“平面向向量基本本定理与与前面所所学的向向量共线线定理，在在内容和和表述上上有什么么区别和和联系？”在P990的数数学探究究中，提提出下面面的问题题：“给出空空间向量量定理，并并说明理理由。”为学生生的发展展留下空空间。插入数数学探究究幻灯灯片。四、教学学建议1。明确确教学要要求；说明要点点：（1）教教学要求求：2平面面向量（约约12课时时）（1）平平面向量量的实际际背景及及基本概概念通过力和和力的分分析等实实

45、例，了了解向量量的实际际背景，理理解平面面向量和和向量相相等的含含义，理理解向量量的几何何表示。（2）向向量的线线性运算算通过实实例，掌掌握向量量加、减减法的运运算，并并理解其其几何意意义。通过实实例，掌掌握向量量数乘的的运算，并并理解其其几何意意义，以以及两个个向量共共线的含含义。了解向向量的线线性运算算性质及及其几何何意义。（3）平平面向量量的基本本定理及及坐标表表示了解平平面向量量的基本本定理及及其意义义。 掌握握平面向向量的正正交分解解及其坐坐标表示示。 会用用坐标表表示平面面向量的的加、减减与数乘乘运算。理解用用坐标表表示的平平面向量量共线的的条件。（4）平平面向量量的数量量积通过物

46、物理中“功”等实例例，理解解平面向向量数量量积的含含义及其其物理意意义。 体会会平面向向量的数数量积与与向量投投影的关关系。 掌握握数量积积的坐标标表达式式，会进进行平面面向量数数量积的的运算。能运用用数量积积表示两两个向量量的夹角角，会用用数量积积判断两两个平面面向量的的垂直关关系。（5）向向量的应应用经历用向向量方法法解决某某些简单单的平面面几何问问题、力力学问题题与其他他一些实实际问题题的过程程，体会会向量是是一种处处理几何何问题、物理问问题等的的工具，发发展运算算能力和和解决实实际问题题的能力力。（2）实实现教学学目标的的关键在在于：清晰准准确地理理解概念念、运算算；为此此要明确确“原

47、型”，“物理意意义”，“几何意意义”；运用向向量运算算解决问问题，掌掌握作为为重要数数学工具具的向量量。关键键在于理理解向量量方法的的实质。2。让学学生参与与建构活活动；说明要点点：（1）要要让学生生参与建建构向量量及其运运算的活活动，经历建构构过程，引导学学生认识识到向量是一一种描述述现实问问题的数数学模型型。（2）要要让学生生了解向向量的物物理背景景、几何何背景，知知道它的的原型。（3）通通过建构构活动，让让学生熟熟悉向量量及其运运算的几几何意义义，物理理意义，这这是灵活活运用向向量解决决问题的的基础。3。让学学生明确确研究向向量问题题的基本本思路。（1）向向虽是代代数的对对象。作作为代数

48、数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥：（2）向向量又是是几何对对象，所所以向量量可以刻刻画儿何何元素 (点、线、面面，利用用向量的的方向可可以与三三角函数数发生联联系：（3）正正因为，向向量“一身二二任”，所以以几何图图形的许许多性质质会表现现为向量量的运算算性质，这这样我们们就可以以通过向向量的运运算来描描述和研研究几何何元素之之间的关关系（如如直线的的平行、垂直等等），确确定几何何图形的的长度、面积、夹角等等等：例子：在贯穿向向量教学学的全过过程中，都都要向学学生讲清清本章研研究的总总思路，让让学生明明确向量量研究的的基本思思路。特特别是在在学完本本章后，

49、更更应引导导学生反反思，因因为这对对于向量量方法的的理解 是至关关重要的的。（4）让让学生理理解向量量方法的的实质。建立平平面几何何与向量量的联系系，用向向量表示示问题中中涉及的几何元元素，将将平面儿儿何问题题抟化为为向量问问题;通过向向量运算算，研究究几何元元素之间间的关系系，如距距离、 夹角等等问题;把运算算结果翻译成几何何关系。第10章章 三角角变换1。教材材的定位位问：首先先请你谈谈谈对本本章教材材的定位位。答：本章章的主要要教学内内容是三三角函数数式的恒恒等变换换。其实实只涉及及一个角角的恒等等变换在在三角角函数中中已经做做了研究究。插入本章章目录对教材的的定位是是：（1）是是（在第

50、8章的的基础上上）对三角角函数这这一数学学模型（运运算）性性质的进进一步研研究；（2）是是用演绎绎方法（借借助于运运算），建建立数学学知识体体系的一一个范例例。说明要点点：（1）三三角恒等等变换公公式实质质上是三三角函数数的运算算性质，而而运算性性质是函函数的重重要性质质；是对对函数研研究的一一个方面面（可以以和对数数函数、指数函函数类比比）；（2）如如果不研研究三角角变形就就不能发发挥三角角的工具具价值；（3）三三角变换换公式繁繁多，但但相互之之间存在在着紧密密的逻辑辑联系，从从一个公公式出发发，就可可以推出出其它的的公式。这种类类似于公公理化的的结构，在在中学数数学中是是不可多多得的。另一

51、方方面，三三角恒等等变换也也是一种种演绎推推理的方方式，应应该充分分发挥它它在培养养学生推推理能力力2。教材材特点问：教材材的定位位对教材材的编写写有什么么样的影影响，苏苏教版教教材有什什么样的的特点？答：教材材具有下下面的的的特点把演绎绎的知识识结构放放在“对周期期性现象象作数学学研究”的大背背景下展展开。本章的教教学内容容是按照照三角变变换公式式之间的的逻辑联联系展开开的。Ca - bCa + bSa - bSa + bC2aT2aTa - bTa + bS2a这是一个个逻辑的的演绎的的体系，为了突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质，在教科书中，这个

52、演绎的体系是放在对周期现象进行研究的大背景下建立的。首先，在引言中就从周期运动合成的角度提出三角变换的课题，在讨论了和差角公式以后，教科书又通过链接，给出了正弦函数、余弦函数叠加的问题的结论。本章就构成了一个相对完整的数学发现和应用的过程。这样的安排，有助于学生从总体上理解三角变换。运用问问题链，展现公式的发现和推导过程。在传统的的教学中中，往往往把三角角变换单单纯地视视为基本本的技能能训练，强强调反复复的练习习和操作作，强调调三角变变换的具具体方法法和技巧巧，造成成了公式式头绪多多，练习习习题难难，技巧巧方法刁刁的现象象。和过过去相比比，教科科书更重重视公式式的发现现和推导导过程，重重视学生

53、生在三角角变换中中的思维维过程，重重视这些些过程中中的思维维活动，和和指导这这些活动动的思想想方法。这和传传统的教教学是有有明显的的区别的的。根据课课程标准准的要要求，教教科书降降低了对对三角变变换的要要求。特特别是不不再要求求用积化化和差、和差化化积、半半角公式式等作复复杂的恒恒等变形形，而把把推导积积化和差差、和差差化积、半角公公式作为为三角恒恒等变换换的基本本训练，避避免任意意加大三三角变换换的难度度，防止止在三角角变换中中深挖洞洞的现象象。注意从从运算的的角度看看待三角角变换。注意从运运算的角角度看待待三角变变换。把把三角变变换看成成是三角角函数的的运算。这样就就使的三三角变换换和运算

54、算（包括括向量的的运算）发发生了联联系。在在教科书书中，三三角变换换的公式式都是通通过运算算的方法法推导和和证明的的。在本本章最后后更从运运算的角角度提出出和差化化积、积积化和差差的研究究课题。注意突突出向量量和三角角函数的的联系。教科书利利用向量量的数量量积推导导出两角角差的余余弦公式式的过程程，并由由此公式式作为出出发点，推推导出两两角和与与差的正正弦、余余弦、正正切公式式，二倍倍角的正正弦、余余弦、正正切公式式。8本章章中的三三角变换换公式都都是由余余弦的差差角公式式推导出出来的，化化归思想想是推导导这些公公式的主主导思想想。在教教学中，不不任是在在推导公公式时，还还是在应应用公式式时，

55、都都应该自自始至终终地贯彻彻这一思思想。 3。编写写中考虑虑的几个个问题1。背景景的的设设置问：请结结合教材材中几个个重要的的问题谈谈谈，你你们是怎怎样处理理的。例例如你们们是怎样样提供本本章的背背景的？插入章引引言说明要点点：这种处理理方法体体现了（1）本本章的研研究内容容与第88章的联联系，是是它的深深入；（2）体体现了向向量的作作用；章头图、引言从章头图图中我们们又看到到了大海海浩瀚瀚的大海海中两朵朵撞击的的浪花。这暗示示着本章章和第88章三三角函数数的联联系。事事实上，本本章讨论论的主题题是三角角函数的的运算，它它可以看看成是笫笫8章的的延伸和和发展。循着第88章的轨轨迹，在在引言中中

56、，提出出了“周期运运动的叠叠加”的问题题。（两两个简谐谐摇动叠叠加后是是否还是是简谐掀掀动？）接着，教教科书以以向量为为工具对对一个特特例进行行了分析析，提出出了一个个具体的的问题：sinnx+ccosxx能够恒恒等变形形为Assin(x+)的形形式吗？这样就就抓住了了本章知知识的增增长点，从从此展开开了探索索活动。这样的的安排，就就为三角角变换的的教学提提供了一一个大背背景，使使它不仅仅仅是一一种抽象象的形式式的变换换，而且且成为“对周期期性现象象建立数数学模型型”（这正正是本教教学模块块的这样样一个大大课题）的的研究中中的重要要组成部部分。在这个引引言中，还还突出了了向量作作用，为为用向量

57、量方法推推导两角角差的余余弦公式式做铺垫垫。2。两角角差的余余弦公式式的推导导问：余弦弦的差角角公式的的推导是是本章教教学的重重点和难难点，教教科书是是怎样处处理这部部分教学学内容的的？插入P997两两角和与与差的余余弦答：（11）余弦弦的差角角公式的的推导是是本章教教学的重重点和难难点，它它不仅是是推导正正弦的和和（差）角角公式、正切的的和（差差）角公公式以及及倍角公公式的基基础，而而且其推推导过程程本身就就具有重重要的教教育价值值。（2）课课标要求求：经历历用向量量的数量量积推导导两角差差的余弦弦公式的的过程，进进一步体体会向量量方法的的作用。（3）为为了让学学生主动动地参与与公式的的发现

58、和和推导活活动，教教科书为为学生的的发现活活动提供供了广阔阔的空间间。（4） 从解决决引言中中的问题题出发，提提出了本本节的研研究课题题（问题题链）教科书在在本大节节的引言言中首先先用向量量的方法法解决了了本章引引言中提提出的问问题，这这不仅是是用向量量方法推推导coos(-)的公公式的“预演”，而且且由此提提出了本本节的研研究课题题：coos(-)能否否用的三角角函数与与的三角角函数来来表示？（5）教教科书直直接用向向量的数数量积的的方法来来推导余余弦的差差角公式式的，这这样做不不仅推导导的过程程更为简简捷，而而且可以以更好地地揭示向向量与三三角函数数的联系系，帮助助学生更更好地学学会这一一

59、重要的的方法。（6）为为了让学学生理解解向量方方法，教教科书做做了若干干辅垫。（如在在向量量一章章的练习习中，安安排了使使用向量量运算的的方法推推导有关关结论的的练习题题，更在在本节的的引言部部分，通通过利用用这种方方法推出出了coosx+sinnx= eq r(2) ccos(x eq f(,4)等等）。（7）在在提出问问题和用用向量解解决问题题之间，教教科书用用“留白”的方式式给学生生的活动动留下儿儿空间。在教学学中可以以适当展展示推导导公式的的思维过过程。在在正式推推导之前前，可以以让学生生谈谈自自己的想想法，研研究和分分析可能能出现的的思路。例如可可以向学学生提出出如下的的问题：cos（+）是否等于coS+cos？在正式的的推导公公式之前前你能猜猜出公式式吗？如果不能能猜出具具体的公公式，你你能猜出出公式所所具有的的某些特特点吗？说说你推推导公式式的思路路。在推出公公式之后后，还可可以引导导学生对对推导过过程进行行反思，欣欣赏向量量方法的的美妙。（8）为为了让学学生真正正体会到到向量方方法的优优越性，教教科书通通过“探究”、“思考”、“习题”等形式式给出了了推导公公式的不不同思路路。所有有这些，都都可以让让学生体体会到向向量方法法的优越越性。3。对和和差化积积、积化化