教育部参赛-3.4函数基本性质(单调性)-顾冬磊

1、3.4函数基本性质单调性东昌中学顾冬磊一、教材依据上海市高级中学课本数学高中一年级第一学期（试用本）第3章函数基本性质3.4函数的基本性质Page6769单调性第一节课二、设计思想函数的单调性是函数研究的基本性质之一。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，通过上述活动，加深对函数性质本质的认识函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索

2、发现、归纳转化、数形结合等数学思想方法本节课是一节较为抽象的数学概念课，介绍函数值随x变化而变化的性质单调性，因此，要注意：1、通过学生熟悉的问题引入课题，拉近数学与现实的距离，2、紧扣定义中的关键语句，通过大量具体的实例展示，逐个完成对各个难点的突破，激发学生对知识的探求，调动他们的积极性，从而完成从感性认识到理性思维的一个飞跃3、积极发挥教师的主导作用具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。4、充分利用电子白板和几何画板等多媒体工具，增加内容的直观性和完整性。三、教学目的理解单调函数、单调区间的概念（掌握增函数、减函数、单调函数、单调区

3、间）理解单调函数图像特征，会根据图像写单调区间会证明简单函数的单调性（会利用比较法判断和证明函数的单调性）四、教学重点难点从直观到抽象，形成对单调函数概念的理解利用比较法判断和证明函数的单调性五、教学过程（一）引入通过一个实际例子，和一个数学上的例子实际例子：1991年起上海市各级各类学校在校学生数（19912006）年份第n年普通高等学校普通中等学校普通小、学吐Wk母A士去六年份1991第n年1曰口J、尸JT乂1169曰通中等学校6592曰通小、学11138特殊教育学校乂0351yy1QQO1c110 x744111.jjnoo1992199331310/U.8476541133711670

4、V.0444QClzfArO卜UQ/U-JIO7CC11Qy/440COr上:c卜1995斗51q.uq1441O/.zO96381110978UtOz-057199661*T.*T1147999971jy./o10646062Iv/v/U1997O7rMrrrsj1538.yjl1008110244U.O-0634QQQoI*ooVQ匚!I-O1-tcccoCQ-1Ar上:c卜vy1999kJ9iOtOi186310566yo.th-8716UtOz-0532000iJ10IOtzO2268IUUUw1052878g60542001fU112800104377228W.kJH-0482002

5、12xO-3316103596724TO055厶uu厶20031z13rt)37851uo.oy10071Oj.t6483055200414O/.OU415710694U1-JxJ53740542005115*I1.jI4426TyH-9924OO.f*15350W.kJH-05220064663922563.37U.aJx*050其中有很多数据，我们关注一下年份和普通高等学校的在校学生数的关系把他们建立函数关系，会发现随着年份的增加，每年的在校人数都在增长，这就是一个关于此函数性质。数学例子：f(x)=x2在图象上取一点，观察，随着这个点的横坐标变化和纵坐标变化之间的联系：在对称轴左侧，当x

6、逐渐增大，函数值y也在增大；在右侧当x增大时，函数值y在减少对称轴左右两侧这个性质，就分别叫做函数的单调性。怎么用数学语言来描述这个性质新授通过前面两个例子，引导归纳出函数单调性的数学定义一般的，对于给定区间I上的函数y=f(x)：如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x,x，当xx都有f(x)f(x)，那么就说函数y=f(x)121212在这个区间上是单调递增函数。如果对于属于这个区间I的自变量的任意两个值x,x，当xf(x)，那么就说函数y=f(x)121212在这个区间上是单调递减函数。如果函数y=f(x)在某区间I上是单调增(减)函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间I上是单调函

7、数。区间I为单调区间定义解读注意：1、定义中的“任意”二字非常重要，它刻画的是区间I上“所有”xx具有的性质一f(x)f(x)恒1212成立。2、函数的单调性是对于定义域内的某个区间而言的。练习问题一、f(x)=x2在定义域R上是否是单调函数？函数y=1在(-8,0)(0,+8)上是否是单调函数？x解:(1)y=x2在R上不是单调函数，但有两个单调区间20y=1的单调减区间为(-8,0)和(0,+8)x问题二、给出单调区间的子区间是否是单调区间？问题三、证明函数单调性：1、一次函数的单调性证明函数y=kx+b,(k0)在区间(-8，+8)上是增函数。2、反比例函数的单调性证明函数y=k/x,(

8、k0)在区间(0,+8)上是减函数。3、判断y=xe（0,1）的单调性1+x2（四）小结本节课主要介绍了1、函数单调性的定义；2、函数单调区间的含义；3、证明函数单调性从“数”的角度检验函数的单调性，实际上是从定义出发严格证明函数的单调性。从“形”的角度检验函数的单调性是一种观察法，不能代替证明。（五）作业练习部分A组5，6，7（六）板书设计根据这堂课的特点，以及我们学校黑板的特点（见图）：中间为电子白板，两边各有一个小黑板，设计板书如下中间的电子白板放课件：展示一些概念、图象、题目和一些讲解的点点划划，都在白板上左边一块黑板，设计如下图，放置了标题，两个概念的图象，这是为了配合白板中对概念的

9、解读特意设计的，目的是为了在讲解概念时，能根据图象来联想。突出形右边是在讲解了证明的一般步骤（可由学生完成），以及小结的内容，是对概念的一个简单应用突出数二卑泅性弘令X上d公丿卜2单调区间段3义/3辽明曷数平调怪倒僕匕花(0卄妙理遞威II-兀珀丄Xxt卩儿b4/mxXt-X,70艮0即屮丸)”(冷).儿.*文x奶T上卑调垃窝数、形两个字是最后在小结后写，是对本节课的一次升华：点明：“从“数”的角度检验函数的单调性，实际上是从定义出发严格证明函数的单调性。从“形”的角度检验函数的单调性是一种观察法，不能代替证明。”六、教学反思函数的单调性教学改进反思华东师范大学附属东昌中学顾冬磊近期，对于函数的

10、单调性这节课概念课，我前后上了两次。第一次课后，听课的老师给我提出了一些意见和建议(以下简称“建议”)，在听取了其他老师的建议之后，我对这节课予以改进，第二次再上时他们评价使我有不小的进步。事后我对这次教学改进的经过进行了反思和整理，使我自己认识到我的教学改进主要从以下几个方面进行：一、注意学科知识的准确性他人建议：对于练习部分的问题二“看图写单调区间”，能不能在学生回答好后再追问一下其子区间是否也是单调区间？自我分析：这是一个很好的建议，它使我意识到我在数学概念的理解上还不是很到位。数学概念一般都有纯粹性和完备性，仔细推敲，我们可以说“a,b是f(x)的单调增区间”，满足纯粹性，但反过来说“

11、f(x)的单调增区间是a,b”，就违背了完备性，因为a,b的子区间也都是f(x)的单调增区间。那么，既然一个函数的单调区间其实可以有无穷多个，那究竟该如何回答一个函数的单调区间呢？实际上，这里有一个约定俗成的规定，就是只要回答出能够包含其它所有单调区间的那个区间就可以了。改进方案：在点评这道题后，加问一句：“那它的子区间(可以举实例)是否也是单调区间？”由于这是一道看图题，学生们都会回答是。紧接着介绍一句，“子区间既然也都是单调区间，那今后如果要求函数的单调区间，请大家回答出能够包含其它所有单调区间的那个区间就可以了，形象地说，就是写出“最大”的那个单调区间就可以了。”这样就使学生对于单调区间

12、的认识更加全面和准确了。二、正确估计学生的现有知识水平和思维状况1避免低估学生他人建议：在引入中，观察抛物线f(x)=x2图像后，应该归纳并给出“在对称轴左侧，当x逐渐增大，函数值y也在增大；在右侧当x增大时，函数值y在减少。”这两句话自我分析：我没有考虑到高中学生其实已经知道“当x逐渐增大，函数值y也在增大”这样的定性分析，在引入时，另起炉灶，还再介绍“当x逐渐增大，函数值y也在增大的几何含义”，费时费力。毫无疑问，有效的教学应该是在充分结合学生现有知识水平和思维状况的基础上进行，但是由于教学经验的不足，常常会在这方面出现偏差。我认为这种偏差可以细分为“低估学生”“高估学生”两个方面。改进方

13、案：我把课件中抛物线图象对称轴的两侧，加上了“当x逐渐增大，函数值y也在增大”，“当x逐渐增大，函数值y也在减小”这两句话，并着重将这两句话作为突破口，分析这两句话如何用严格数学语言表示,把定性分析转化成定量描述，从而引出函数单调性的定义。2避免高估学生他人建议1：在新授部分的概念讲解的地方，能不能配上图（类似书本上P67图3-10，图3-11），方便学生理解。自我分析：我在设计课件时，为了突出数学的严谨性及充分关注这节课的难点单调性的严格数学定义，我把注意力都放在代数语言的叙述上，至于图像，我想当然的认为前面已经出现过，而且我给出的图象又非常简单，学生应该会记得，并根据对图像的记忆理解代数语

14、言描述函数的单调性。但是我没有考虑到对于刚从初中升入高中不久的高一学生而言，他们的抽象思维能力和运用严格的数学语言的能力还很不够，这时尤其需要直观的图形来帮助他们进行思维，并且这种直观图形必须是摆在眼前能直接看到的，假如一边要在脑海中回忆图形，一边要思考抽象的代数语言，学生的思维负担就太重了，不利于理解和接受新的知识。同时，教师把图画在边上，对照图形来分析代数语言，这本身也为培养学生数形结合的良好习惯作出了有益的示范。改进方案：我把板书设计进行了修改，我在白板左边上的黑板上画了两张图，分别示意单调递增函数和单调递减函数，并一边讲解概念，一边将概念中一些关键的式子和字眼标注上去。具体可以详见板书

15、设计（下图）：他人建议2：对于练习部分的问题一：（1）一个函数有两个单调区间D，D，能不能说在DUD上是单调函数？1212（2）个函数有两个单调减区间D，D，能不能说在DUD上是单调减函数？1212此处出现抽象函数难度是否过大？自我分析：我设计这个问题本意是想通过“y=x2在R上没有单调性，但它有两个不同单调区间”以及“f（x）=丄在（g,0）U（o,+8）上没有单调性，但在（-8,0）和（o,+8）上均单调递减”这两个例子，揭示学x生在单调性概念理解上容易出现的问题，加深对概念中“任意”二字的理解，并掌握如何否定一个函数是单调函数的方法举反例：存在两个数是那个不等式不成立即可。但是我的问题却以抽象函数的面目出现，对于本节课抽象思维负担已经较重的学生来说无异于雪上加霜，非常不妥。改进方案：抓住主要目的，直截了当提出问题：（1）f（x）=x2在定义域R上是否是单调函数？函数y=1x在（-8,0）U（0,+8）上是否是单调函数？（2）它们是否有单调区间？通过对