排列组合中的几种常见问题

1、问题一：均匀分组与不均匀分组的问题方法技巧均匀分组与不均匀分组的问题处理均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数【示例】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；平均分成三份，每份2本；平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4

2、本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本解(1)无序不均匀分组问题先选1本，有C6种选法；再从余下的5本中选2本，有C2种选法；最后余下3本全选，有C3种选法.故共有分配方式qC2C3=6O(种).有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式C6C5C3A3=36O(种).无序均匀分组问题.先分三组，则应是种方法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为A，B，C，D，E，F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD，EF)，则C6C2C2种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD

3、,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有A3种情况，而这A3种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有6A32=15(种).A33有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式逬22厶3=学22=90(种).无序部分均匀分组问题.共有分配方式弋严=15(种).有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C4：CLa3=90(种).直接分配问题.甲选1本，有q种方法；乙从余下的5本中选1本，有C5种方法；余下4本留给丙，有C4种方法，共有分配方式C6CyC4=30(种).问题二：同元问题“隔板法”例.10

4、本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：XX彳xxxxxx一种插法对应于一种分法，则共有C9=84种分法.该题的数学模型为：方程X2+x=m(m,ngN*,mn)有Cn-i个正nm-1整数解。问题三：配对问题CiC222651某电视台邀请6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况如这4位中恰好有一对是夫妻，那么不同的选择方法种数为多少？2.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋里，从中随意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋中没有成双的；（2）4只鞋中有2只成

5、双，另2只不成双；（3）4只鞋中至少有2只配对成1双。解析：（1）C42x2x2x2=336010(2)CoC厂22二14403）法法二：分步计数（注意重复）：C11816+C210A2102CiC2x22+C2=148510910法三：分类计数：C1(2C2+C1C1)+C21099810问题四：等价问题“转化法”例如图，在某个城市中，M、N两地之间有整齐的道路网，则从M到N的最近距离分析：欲使从M到N走法最近，正如“过河的卒子不后退”横向的道路走且仅走四段,纵向的道路走且仅走两段。于是，它就等价于四个“横”字，两个“纵”字排成一列的问题。由于相同元素的排列，于是又等价于插空问题：从六个位置