高中数学选择性必修一 第2章专题8 最值问题常考题型专题练习

1、最值问题考向一 斜率型最值1、已知实数x，y满足方程x2y24x10，求eq f(y,x)的最大值和最小值答案：eq f(y,x)的最大值为eq r(3)，最小值为eq r(3).解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，eq r(3)为半径的圆eq f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq f(y,x)k，即ykx.当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取得最大值或最小值，此时eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得keq r(3).所以eq f(y,x)的最大值为eq r(3)，最小值为eq r(3).2、已知圆C：(x2)2y21，P(

2、x，y)为圆上任意一点，则eq f(y2,x1)的最大值为_答案：eq f(3r(3),4)解析：设eq f(y2,x1)k，即kxyk20，圆心C(2,0)，r1.当直线与圆相切时，k有最值，eq f(|2k0k2|,r(k21)1，解得keq f(3r(3),4).eq f(y2,x1)的最大值为eq f(3r(3),4).3.已知圆C：，求 的最大值与最小值. 解析:令，则表示圆上一点与的斜率由题意可知，当直线与圆相切时取最值 ， 考向二 截距型最值1、已知实数x，y满足方程x2y24x10，求yx的最大值和最小值答案：yx的最大值为2eq r(6)，最小值为2eq r(6).解析：yx

3、可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6).所以yx的最大值为2eq r(6)，最小值为2eq r(6).备注：形如axby型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解如本题可令byx，即yxb，从而将yx的最值转化为求直线yxb的截距的最值问题另外，此类问题也常用三角代换求解由于圆的方程可整理为(x2)2y23，故可令eq blcrc (avs4alco1(x2r(3)cos ，,yr(3)sin ，)即eq blcrc (avs4alco1(xr(3)cos 2，

4、,yr(3)sin ，)从而yxeq r(3)sin eq r(3)cos 2eq r(6)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2，进而求出yx的最大值和最小值2.已知圆C：，求 的最大值与最小值.解析:令即当直线与圆相切时取最值圆心到直线的距离 3、已知P(x，y)为圆(x2)2y21上的动点，则|3x4y3|的最大值为_答案：8解析：设t3x4y3，即3x4y3t0.由圆心(2,0)到直线3x4y3t0的距离deq f(|63t|,r(3242)1，解得2t8.所以|3x4y3|max8.考向三 距离型最值1、已知实数x，y满足(x5)2(y12)225，那么eq r

5、(x2y2)的最小值为_答案：8解析：由题意得eq r(x2y2)eq r(x02y02)表示点P(x，y)到原点的距离，所以eq r(x2y2)的最小值表示圆(x5)2(y12)225上一点到原点距离的最小值又圆心(5,12)到原点的距离为eq r(52122)13，所以eq r(x2y2)的最小值为1358.2、已知实数x，y满足方程x2y24x10，求x2y2的最大值和最小值答案：x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).解析：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆

6、的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为eq r(202002)2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).备注：形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值如本题中x2y2(x0)2(y0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方3.已知圆C：，若 求 的最大值与最小值.解析: 考向四 利用对称求最值1、已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.答案:2eq r(5).解析:因为圆C

7、：x2y24x2y0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径req r(5)的圆.设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故eq blc(avs4alco1(f(m0,2)f(n2,2)20，,f(n2,m0)1，)解得eq blc(avs4alco1(m4，,n2，)故A(4，2).连接AC交圆C于Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2eq r(5).2、设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是答案：解析：由于圆的对称性，可以只考虑的情况.点在直线上移动，当点在直线与直线之间的圆弧上时，此时，由对称性可知.当点在余下的半圆弧上时，情况如下图所示：为圆的切线，

8、为临界情况，,此时由于由于圆的对称性，所以.考向5 其他最值问题1、圆的点到直线距离的最小值是AB2CD【答案】C【解析】由圆可得圆心坐标，半径为1，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选C2、若过直线上一点向圆作一条切线于切点，则的最小值为AB4CD【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为2要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为的最小值为故选D3、直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则到的距离的最小值等于AB2C3D4【答案】B【解析】根据题意，直线是圆在处的切线，则直线的方程为，变形可得，圆，即，其圆心为，半径，点是圆上的动点，则圆心到直线的距离，则到的距离的