思维及其数学思维

1、思维及数学思维哲学: 思维是物质的产物-人脑的机能,是社会的产物,是客观事物的反映,是人类认识的理性阶段.1普通心理学: 意识是心理学理论中的根本问题,思维是人的意识活动的产物,它是人脑对客观物质世界的能动反映,它和语言一起成为意识的核心.2思维发展心理学: 思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括和间接的反映.3现代神经生理学: 大脑二个半球基本上是以不同的方式进行思维,左脑负责语言和逻辑思维,右脑形象思维.4现代认知心理学: 思维是一个通过感知记忆的信息进行提取、整合、分解、比较、选择等一系列的加工改造而得出新信息的过程.5思维的分类1. 按思维抽象性分类:直观行动思维、具体形

2、象思维、抽象逻辑思维.6直观行动思维(感知运动思维或动作思维):具体形象思维: 以具体表象为材料的思维.抽象逻辑思维: 以概念为材料的思维,主要以概念、判断和推理的形式表现出来. 又分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维.72. 按思维结果划分: 再现性思维-运用原有的知识经验,按现成的方法去解决类似的问题的思维. 创造性思维-进行创造性活动时的思维,如科学发现、发明、技术革新、艺术创造等.8按思维的结果分类: 聚合思维-从已知信息中产生逻辑结论,从现成资料中寻求正确答案的一种有方向、有范围、有条理的思维方式.又称为收敛思维、集中思维、求同思维、辐合思维. 发散思维-从已知信息中产生大量的、独特的新信

3、息的一种沿不同方向、在不同范围、不因循传统的思维方式.又称为求异思维、辐射思维.9按主体意识分类直觉思维-是指人脑基于有限的数据和事实,调动一切已有的知识经验，对客观事物的本质及其规律性联系进行迅速的识别、敏锐的观察、直接的理解和整体的判断的思维过程.分析思维-是指遵循严密的逻辑规则,通过逐步推理得到符合逻辑的正确答案或结论的思维方法. 又称为逻辑思维.10数学思维及其思维方法数学物象-现实世界的空间形式和数量关系以及反映出来的结构和模型.数学思维-以数学物象为思维对象,以数学语言符号为思维载体,并以认识和揭示数学规律为目的的一种思维.11数学思维过程中,受到的刺激有二类: 一类是数学概念的刺

4、激另一类是图形或图式的刺激当处于概念时的思维称为数学逻辑思维;当处于图形(式)时的思维称为数学形象思维。12数学思维的品质:思维的广阔性思维的深刻性思维的灵活性思维的独创性思维的批判性13数学思维的品质:1. 思维的广阔性 表现为思路开阔,善于从不同角度、不同层次对问题进行全面的观察和思考.例1 求证: Cn1+2Cn2+nCnn=n2n114证法一:设 Sn=Cn1+2Cn2+nCnn 则Sn= nCnn + + 2Cn2 + Cn1,于是 Sn=n(Cn1+Cn2+Cnn)=n2n 故结论成立.15证法二:注意到KCnK =nCn-1K-1 ,所以有 Cn1+2Cn2+nCnn = nCn

5、-10 + nCn-11 + +n Cn-1n-1, =n(Cn-10+Cn-11+Cn-1n-1)=n2n-1证法三: 用数学归纳法证明.16证法四:因为(1+x)n=Cn1+Cn2 x +Cnn xn,所以 对两边取导数,得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2 x +nCnn xn-1,取x=1即可.172.思维的深刻性思维的深刻性即思维的深度,它反映着分辨事物本质的能力.表现为:善于洞察数学对象的本质属性及其相互关系;善于从所研究的材料中揭示隐藏的特殊情况，发现有价值的东西;能辩证地思考.18例 求函数y=16sinx2cos2x的最大(小)值.误解: 因为1sinx1,且0cos2x1

6、,所以6 6sinx 6且2 2 cos2x 0,所以716sinx2cos2x7,所以最大值为7,最小值为7.193.思维的灵活性思维的灵活性是指思维的灵活程度,主要表现为善于摆脱已有模式的束缚,及时由一条思路转向另一条思路。思维灵活的人善于从错误思路中退出来并及时转向,关于联想,关于类比,关于逆向思考,如逆用定义、公式，善于将问题简约化归等.20例 已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x1/y=y1/z=z1/x，求证: x2y2z2=1思路1:解方程组求出x，y，z，但注意到，三个未知数，只有两个独立方程,方程的解不唯一,此路不通.21例 已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x1

7、/y=y1/z=z1/x，求证: x2y2z2=1思路2:由x1/y=y1/z得 xyz=y2zyz, 由y1/z=z1/x得xyz=z2xzx，于是x2y2z2=(y2zyz)(z2xzx)，但化简不出1.放弃.22例 已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x1/y=y1/z=z1/x，求证: x2y2z2=1思路3:据处理比例的经验，设x1/y= y1/z=z1/x=k，则xy=ky1， yz=kz1， zx=kx1，于是x2y2z2=(ky1)(kz1)(kx1)，但右边化简不出1.此路不通.23例 已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x1/y=y1/z=z1/x，求证: x2y2

8、z2=1思路4:注意到x，y，z间的轮换，进行减元类比:设x,y为二个互不相等的实数，并且x1/y=y1/x，求证: x2y2=1。由x1/y= y1/x得 xy(xy)=(yx) ，xy，xy=1， x2y2=1。24例 已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x1/y=y1/z=z1/x，求证: x2y2z2=1思路4:类似地，x1/y=y1/zyz(xy)=yzy1/z=z1/x zx(yz)=zxx1/y=z1/x xy(zx)=xy三式相乘，得x2y2z2(xy)(yz)(zx) =(yz)(zx)(xy)，易知结论成立.254.思维的独创性思维的独创性是指思维的创新程度,表现为思维

9、的方式、方法或结果具有新颖、独特的特点.如高斯的123100 =50(1001)=5050 这种算法具有独创性.26例 全集I=(x,y)|x,yR, M=(x,y)|(y3)/(x2)=1，N=(x,y)|y x+1,那么MN=( )A. B . （2，3） C.（2，3） D. (x,y)|y=x127例 全集I=(x,y)|x,yR, M=(x,y)|(y3)/(x2)=1，N=(x,y)|y x+1,那么MN=( )A. B . （2，3） C.（2，3） D. (x,y)|y=x1常规思路: MNMNx2=0 或yx+1y=x1x= 2y=328例 全集I=(x,y)|x,yR, M

10、=(x,y)|(y3)/(x2)=1，N=(x,y)|y x+1,那么MN=( )A. B . （2，3） C.（2，3） D. (x,y)|y=x1创新性思路:I是整个平面,M是平面内一直线y=x+1去掉一点(2,3),N是整个平面内去掉一直线y=x+1,则MN是整个平面去掉一个“孔”,而MN就是这个“孔”的集合,即(2,3)295.思维的批判性思维的批判性是指主体对思维内容和思维过程进行反思和评价的程度,它是思维过程中主体自我意识作用的结果.主要表现在:评价所选择的思路;预测可能出现的结果并进行检验;喜欢独立思考;凡是要经过自己思考再作结论;善于提出各种疑问,及时发现错误等.30思维是一个通过对感知记忆的信息进行加工改造而得出新信息的过程.要使思维能进行,首先要有被加工的材料,即概念信