复数、积分的相关概念及运算

1、复数、积分的相关概念及运算2016年3月24日11 目录22常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6 目录33常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6一、复数的概念44一、常微分方程的概念阶数55 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶一阶一、常微分方程的概念方程的解66引例2 使方程成为恒等式的函数.通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例1 通解:特解:微分方程的解 不含任

2、意常数的解. 一、常微分方程的概念初值问题77初始条件: 用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.常微分方程初始条件问题一阶:过定点的积分曲线;二阶:一、常微分方程的概念88解微分方程初始条件通解特解 目录99常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6二、一阶常微分方程可分离变量的方程1010形如的 微分方程，称为可分离变量方程。二、一阶常微分方程可分离变量的方程1111二、一阶常微分方程齐次方程1212，形如 的方程，称为齐次方程。二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程1313二、一阶常微分

3、方程一阶线性齐次方程1414二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程1515二、一阶常微分方程伯努利方程1616 目录1717常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6三、二阶常微分方程可降阶的二阶常微分方程1818三、二阶线性微分方程1919三、二阶常微分方程的定理2020三、二阶常微分方程的定理2121三、二阶常系数线性微分方程2222三、二阶常系数线性微分方程2323三、二阶常系数线性微分方程2424三、二阶常系数线性微分方程2525三、二阶常系数线性微分方程2626三、二阶常系数线性微分方程2727三、二阶常系数线性

4、微分方程2828三、二阶常系数线性微分方程2929三、二阶常系数非齐次线性微分方程3030三、二阶常系数非齐次线性微分方程3131三、二阶常系数非齐次线性微分方程3232三、二阶常系数非齐次线性微分方程3333三、二阶常系数非齐次线性微分方程3434三、二阶常系数非齐次线性微分方程3535 目录3636常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6四、欧拉方程的证明3737四、欧拉方程的证明3838ex=1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + 在ex的展开式中把x换成ix因为(i)2=-1,

5、(i)3=i, (i)4=1 e+ix=1 + ix/1! - x2/2! - x3/3! + x4/4! =(1 - x2/2! +)+i(x - x3/3!)cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7! eix=cosx+isinx 目录3939常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6五、常用的三角函数4040sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(

6、A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tan(A-B) =三角和公式sin a+sin b=2sincossin a -sin b=2cossincos a+cos b=2coscoscos a-cos b=-2sinsin和差化积公式tan a+tan b =五、常用的三角函数4141asin a+bcos a =sin(a+c) (其中tan c= )asin a-bcos a =cos(a-c) (其中tan c= ) 目录4242常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式

7、的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6单自由度无阻尼系统4343 取静平衡位置为坐标原点，向上为正。 此时弹簧的变形为 z ls ，而作用于质量上的力有重力mg，方向朝下。 在撤消外力的瞬时，应用牛顿第二定律，可得系统的运动方程 弹簧的弹性力是k(z ls)，弹性力的特点是：始终使质量恢复到平衡状态，故此时其方向也是向下： 即k未受外力作用，处于自由状态的弹簧lsmg受重力mg作用，弹簧被压缩zT单自由度无阻尼系统4444 由于kls= mg，故式(12-1)可简化为： 由上式可知，质量m所受的合外力是：-kz，其方向则始终与弹簧的变形方向相反，指向坐标原点。因为这个力总是起着使物体

8、恢复到平衡位置的作用，故称弹性恢复力。 现在用m除式(12-2)，并引入符号，令k / m=2，则上式可改写为 z= c1 cos t + c2 sin t五、常用的三角函数4545单自由度有阻尼系统4646 它受到的合力是重力、弹性力和阻尼力 之和，即 当物体运动到位置z处时， 阻尼衰减振动zmgkckc 图12-7表示有粘性阻尼的自由振动系统， k(z ls)根据牛顿运动定律，可得物体运动微分方程令c / m =2a ，k / m=2，然后用m遍除方程各项，则有 cz.= kls单自由度有阻尼系统4747二阶齐次线性微分方程特征根1. 欠阻尼状态 即 令c1=Bsin， c2=Bcos，应

9、用三角变换可得单自由度有阻尼系统48482. 过阻尼状态 即单自由度有阻尼系统49493 临界阻尼状态，即 此时特征方程 特征根为：r1 = r2 = -a，z e t (c1 c2 t)单自由度有阻尼强迫振动5050kcUz(t) 12.3.2 有阻尼系统的强迫振动 图中Uz(t) =Usin pt 表示作用在质量体上的简谐激振力。其中 U表示激振力幅值，p是激振频率。由于重力已被kls平衡，故不再示出。该系统除了多一个激振力作用于物体之外，其它与自由振动完全相同。故只要在有阻尼自由振动方程式的(12.11)右边加上激振力一项，即可得到系统作强迫振动的运动方程zkc kz Uz(t)Uz(t)(12-20)仍令：c / m =2，k / m = 2，且令：U / m = u，则上式可化为如下形式： cz.单自由度有阻尼强迫振动5151根据前面二阶常系