2022版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.2用样本估计总体学案文

1、2021版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例9.2用样本估计总体学案文PAGE PAGE 5092用样本估计总体 知识梳理1用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布：样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布(2)作频率分布直方图的步骤：求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.(3)频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图：连接频率分布直

2、方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线(4)茎叶图：统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎

3、的右(左)侧2样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小方差：s2eq f(1,n)(x1eq o(x,sup14()2(x2eq o(x,sup14()2(xneq o(x,sup14()2，标准差：s eq r(f(1,n)x1o(x,sup14()2x2o(x,sup14()2xno(x,sup14()2).(3)关于平均数、方差的有关性质若x1，x2，xn的平均数为eq o(x,sup14()，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数为meq o(x,sup14()a.数据x1，x2，xn与数据x1x1a，x2x2a，xnxna的方差

4、相等，即数据经过平移后方差不变若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2.(4)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差，方差越小，数据的离散程度越小，越稳定3各种统计表的优点与不足诊断自测1概念思辨(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了()(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序

5、写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A3P70例题)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A91.5和91.5 B91.5和92C91和91.5 D92和92答案A解析这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，中位数是eq f(9192,2)91.5，平均数eq o(x,sup14()eq f(8789909192939496,8)91.5.故选A.(2)(必修A3P82T7)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，

6、则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案C解析由图可得，eq o(x,sup14()甲eq f(45678,5)6，eq o(x,sup14()乙eq f(3569,5)6，故A错误；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错误；seq oal(2,甲)2，seq oal(2,乙)2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D错误故选C.3小题热身(1)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组

7、数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A2,5 B5,5 C5,8 D8,8答案C解析由茎叶图及已知得x5，又乙组数据的平均数为16.8，即eq f(91510y1824,5)16.8，解得y8，故选C.(2)(2018济南调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，上图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_答案12解析全体志愿

8、者共有：eq f(20,0.240.161)50(人)，所以第三组有志愿者：0.3615018(人)第三组中没有疗效的有6人，有疗效的有18612(人)题型1样本数字特征的计算及应用eq o(sup7(),sdo5(典例)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，eq o(b,sup14()，(a，b)，(eq o(a,sup14()，b)，(eq o(a,sup14()，eq o(b,sup14()，(a，b)，(a，b)，(a，eq o(b,sup14()，(eq o(a,sup14()，b)，(a，eq o(b,s

9、up14()，(eq o(a,sup14()，eq o(b,sup14()，(a，b)，(a，eq o(b,sup14()，(eq o(a,sup14()，b)，(a，b)，其中a，eq o(a,sup14()分别表示甲组研发成功和失败；b，eq o(b,sup14()分别表示乙组研发成功和失败(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率 (1)直接用公式求解；(2)按古典概型求解解(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,

10、1,1,1,0,1,0,1,1,0,1.其平均数为eq o(x,sup14()甲eq f(10,15)eq f(2,3)；方差为seq oal(2,甲)eq f(1,15)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)210blc(rc)(avs4alco1(0f(2,3)25)eq f(2,9).乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为eq o(x,sup14()乙eq f(9,15)eq f(3,5)；方差为seq oal(2,乙)eq f(1,15)eq blcrc(avs4alco1(blc(

11、rc)(avs4alco1(1f(3,5)29blc(rc)(avs4alco1(0f(3,5)26)eq f(6,25).因为eq o(x,sup14()甲eq o(x,sup14()乙，seq oal(2,甲)eq o(y,sup14()，因此可看出A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有eq f(7,10)的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有eq f(7,10)的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好.题型3频率分布直方图角度1求频率或频数eq o(sup7(),sdo5(典例)(2016山东高考)某高校调查了200名学生每

12、周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60 C120 D140首先求22.530范围上的频率，即求第三、四、五直方图的面积，再求人数答案D解析由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1(0.020.10)2.50.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140，故选D.角度2 利用频率分布直方

13、图估计总体eq o(sup7(),sdo5(典例)(2016四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数解(1)由频率分布直方图可知：月均用水量在0,0.5)内的频率为0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)

14、，4,4.5等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得a0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06十0.040.020.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.1236000.(3)设中位数为x吨，因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5.又前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5.所以2xeq o(x,sup14()B，sA

15、sB B.eq o(x,sup14()AsBC.eq o(x,sup14()Aeq o(x,sup14()B，sAsB D.eq o(x,sup14()Aeq o(x,sup14()B，sAsB答案B解析由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以eq o(x,sup14()Aeq f(2.51057.52.510,6)eq f(37.5,6)，eq o(x,sup14()Beq f(151012.51012.510,6)eq f(70,6).显然eq o(x,sup14()AsB，故选B.7(2017广东肇庆一模

16、)图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，A14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是()A7 B8 C9 D10答案D解析该程序的作用是求考试成绩不低于90分的次数，根据茎叶图可得不低于90分的次数为10.故选D.8(2017吉林模拟)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是 ()A15名女生成绩的平均分为78B17名男生成绩的平均分为77C女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80D男生中的高分段和低分段均比女生多

17、，相比较男生两极分化比较严重答案C解析15名女生成绩的平均分为eq f(1,15)(909380808282838385707173756657)78，A正确；17名男生成绩的平均分为eq f(1,17)(9393968082838686887174756262685357)77，故B正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误故选C.9(2015全国卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的

18、效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；20042006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误故选D.二、填空题10(2017聊城模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：厘米)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高

19、为175 cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为_答案2解析由题意有：175718021705112x45x2.11某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为123，则购鞋尺寸在39.5,43.5)内的顾客所占百分比为_答案55%解析后两个小组的频率为(0.03750.0875)20.25，所以前3个小组的频率为10.250.75，又前3个小组的面积比为123，即前3个小组的频率比为123.所以第三小组的频率为eq f(3,123)0.750.375，第四小组的频率为0.08752

20、0.175，所以购鞋尺寸在39.5,43.5)的频率为0.3750.1750.5555%.12从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中x的值为_；(2)在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_答案(1)0.0044(2)70解析(1)由频率分布直方图知200,250)小组的频率为1(0.00240.00360.00600.00240.0012)500.22，于是xeq f(0.22,50)0.0044.(2)数据落在100,250)内的频率为(0.00360.00600.0044)500.7，所求户数为1

21、000.770.13已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是_答案10.5,10.5解析中位数为10.5，eq f(ab,2)10.5，即ab21.eq o(x,sup14()eq f(2337ab1213.718.320,10)10，s2eq f(1,10)(210)2(310)22(710)2(a10)2(b10)2(1210)2(13.710)2(18.310)2(2010)2令y(a10)2(b10)22a242a2212eq blc(rc)(avs4alco1(af

22、(21,2)2eq f(1,2)，当a10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值a10.5，b10.5.三、解答题14(2017福建八校联考)某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；(3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率解(1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中

23、位数是108.5，众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为eq f(20,50)eq f(2,5)；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为eq f(18,48)eq f(3,8).(3)将分数为131,132,136的3人分别记为a，b，c，分数为141,146的2人分别记为m，n，则从5人中抽取3人的不同情况有abc，abm，abn，acm，acn，amn，bcm，bcn，bmn，cmn，共10种情况记“至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件M，则事件M包含的情况有abc，abm，abn，acm，acn，bcm，bcn，共7种情况，所以从这5名同学中随机抽取3人，至多有1人的数学成绩在140分以上的概率为P(M)eq f(7,10).15(