年河北省定州地区高二数学欧拉定理讲解资料

1、预备知识多面体和正多面体2021/8/8 星期日1多面体和正多面体介绍棱柱、棱锥都是一些平面多边形围成的几何体。若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。许多矿物结晶体，都具有多面体的形状。例如：食盐晶体石膏晶体明矾晶体2021/8/8 星期日2多面体的分类第一种分类方法：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体（图1）图1图2想一想，图2是凸多面体吗？2021/8/8 星期日3多面体的分类第二种分类方法：一个多面体至少有四个面。多面体依照

2、它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。例如，三棱锥是四面体，三棱柱是五面体，正方体是六面体等2021/8/8 星期日4正多面体食盐晶体明矾晶体我们观察食盐和明矾的晶体可以发现：它们每个面都是有相同边数的正多边形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱2021/8/8 星期日5一般地，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。正多面体例如：正方体就是一种正多面体2021/8/8 星期日6问题：以下哪些是多面体？哪些是正多面体呢？2021/8/8 星期日7究竟世上有多少个正多面体？52021/8/8 星期日8四面体 Tetrahedron2

3、021/8/8 星期日9六面体 Hexahedron / Cube2021/8/8 星期日10八面体 Octahedron2021/8/8 星期日11十二面体 Dodecahedron2021/8/8 星期日12二十面体 Icosahedron2021/8/8 星期日13为什么世界上只有五种正多面体呢？2021/8/8 星期日14研究性学习课题多面体欧拉定理的发现2021/8/8 星期日15多面体的欧拉公式一、欧拉公式的发现二、欧拉公式的证明三、欧拉公式的应用2021/8/8 星期日16多面体的欧拉公式一、欧拉公式的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等；我们按边数可以把多

4、边形进行分类：三角形、四边形、五边形、；同类的多边形具有一些相同的性质：例如我们知道的内角和相等；通过前面的学习，我们的几何观点，已经由平面扩展到了立体，了解和认识了一些简单的多面体。多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成了棱，棱与棱相交形成顶点。下面我们来研究多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。2021/8/8 星期日17我们用V表示多面体的顶点数 F表示多面体的面数 E表示多面体的棱数 探索与发现下面我来观察：2021/8/8 星期日18正四面体正六面体正八面体V=F=E=V=F=E=V=F=E=探索与发现2021/8/8 星期日19正十二面体正二十面体探索与发现V=F=E=V

5、=F=E=2021/8/8 星期日20正多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）规律特点正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体欧拉定理（公式）的探索与发现446V+FE=286126812201230122030V+FE=2V+FE=2V+FE=2V+FE=22021/8/8 星期日21正多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）V+FE=2正四面体4462正六面体86122正八面体68122正十二面体2012302正二十面体1220302猜想公式: V+FE=2欧拉定理（公式）的探索与发现2021/8/8 星期日22欧拉定理（公式）的探索与发现随意取几个棱柱或棱锥，上述猜想V+FE=2 对它

6、们还成立吗？CSABDOE2021/8/8 星期日23欧拉定理（公式）的探索与发现下面的几个多面体对上述猜想还成立吗？2021/8/8 星期日24欧拉定理（公式）的探索与发现下面这个多面体对猜想还成立吗？2021/8/8 星期日25欧拉定理（公式）的探索与发现由上面几组图形，我们可以看出，猜想公式V+F-E=2并不是对所有的多面体都成立。那么，它到底对于什么样的多面体成立呢？为此，我们有必要将前面的多面体进行回顾一下2021/8/8 星期日26欧拉定理（公式）的探索与发现2021/8/8 星期日27假定上述多面体的表面是用橡胶薄膜做成的，如果向它们的内部充气，我们可以想象，前面的多面体的表面就

7、可以逐渐变成球面，像这样，表面经过这种连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体而欧拉定理（公式）的探索与发现经过连续变形，它会变成2021/8/8 星期日28欧拉定理（公式）的探索与发现有了上面的定义，我们可以做进一步的猜想：一般的，简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间有关系V+FE=2我们称这个式子为欧拉公式2021/8/8 星期日29二、欧拉公式的证明选读2021/8/8 星期日30首先看最简单的多面体四面体ABCD : 2、欧拉定理（公式）的证明压到一个平面内ABDC平面图形ABDC去掉面BCD四面体的顶点数V、棱数E、剩下的面数F-1变形后都未变。因此，要研究V、E、F的关系 ，

8、只需研究去掉一个面的平面图形即可。2021/8/8 星期日31（1）最外面的多边形去掉一条边（棱），就减少一个面，直至树枝图形。2、欧拉定理（公式）的证明在这过程中(F-1)-E和V的值都不改变，从而 (F-1)+V-E=1不改变，即 F+V-E=2 成立；ABDC平面图形ABDC树枝图形去掉外围多边形的边2021/8/8 星期日32（2）再从树枝形图中，去掉一条棱，就减少一个顶点，直至剩下一条棱。2、欧拉定理（公式）的证明在这过程中V-E和F-1的值都不变，(F-1)+V -E =0+2-1=1，从而 F+V-E=2 不变；ABDC树枝图形CAD树枝图形A树枝图形C2021/8/8 星期日3

9、3（3）因为对任意的简单多面体，运用这样的方法，最后都是剩下一条棱，所以都可以得到上述结论。从而欧拉公式对任意简单多面体都是正确的。2、欧拉定理（公式）的证明3、欧拉示性数令 F(p)=V+F-E，则 F(p) 叫做欧拉示性数。 显然，简单多面体的欧拉示性数为二；即 F(p) =2 。 不同种类的多面体的欧拉示性数是不同的2021/8/8 星期日34例1、求证（1）若一个简单多面体的面都是三角形 ，则 F=2V- 4 ；（2）若一个简单多面体的面都是四边形 ，则 F=V- 2 ；3、欧拉定理（公式）的应用（3）若一个简单多面体的面都是五边形 ，则 F、V有何关系？3F=2V- 42021/8/8 星期日35例2、 C60 是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体。这个多面体有60个顶点，每个顶点处都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能算出 C60 中有多少个五边形和六边形吗？3、欧拉定理（公式）的应用2021/8/8