高中数学选择性必修一 模块检测B（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典选择性必修第一册 模块检测B 解析版学校:_姓名：_班级：_考号：_注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单选题1在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可以证明平面，这样可以确定P的轨迹，利用平面几何的知识求出的最值，选出答案.【详解】因为底面ABCD，底面ABCD，所以，底面ABCD是正方形，所以有，平面，因此有平面，平面，所以有，同理可证明出，因为，平面，所以平面，所以点P的轨迹就是线

2、段BD，所以P在B或D时最长为，在BD中点时最短为.故选：A【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理，考查了推理论证能力.2已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用双曲线1（a0，b0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y0平行，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程【详解】双曲线1（a0，b0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y0平行，b-2a，c2a2+b2，a1，b2，双曲线的方程为故选B【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键3

3、设点，直线过点且与线段相交，则的斜率k的取值范围是（ ）A或BCD以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据题意，设直线的方程为，即，由一元二次不等式的几何意义可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，设直线的方程为，即，直线过且与线段相交，则、在的两侧或在直线上，则有，即，解得：或，故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式表示平面区域的问题，注意直线与线段相交，即线段的2个端点在直线的两侧或在直线上4若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（ ）A2B3C4D6【答案】C【解析】【分析】由题意圆的圆心在直线上，可得，即点在直线上，过点作圆C的切线，切点为，则，只需最短，可得答

4、案.【详解】由将圆C的方程化为标准方程为：，圆心为，半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中，有，即点在直线上，设，过点作圆C的切线，切点为则 要使得切线长最短，则只需最短.的最小值为过点C作直线的垂线.此时,所以根据勾股定理，得.故选：C【点睛】本题考查了求圆的切线长,解题关键是掌握圆的定义和圆切线的长的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.5已知圆经过原点且圆心在轴正半轴上，经过点且倾斜角为的直线与圆相切于点，点在轴上的射影为点，设点为圆上的任意一点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】分析：根据题干写出直线方程，再利用直线与圆相切求出圆心坐标为，写

5、出圆的方程，得出点坐标，设，并将圆的方程代入可求得值为.详解：由题可知直线，即，设圆心，则，解得.所以圆的方程为：，将代入圆的方程，可解得，故，设，则，将圆的方程代入得，所以，故选C.点睛：已知直线方程，和圆的方程，且设圆心到直线的距离为，则直线与圆相交；直线与圆相交.6设为直线上的动点，、为圆的两条切线，、为切点，则四边形面积的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】作出图形，求得的最小值，进而可求得四边形面积的最小值.【详解】如下图所示：易知圆心，圆的半径为，由圆的几何性质可得，由勾股定理得，当取最小值时，最小，的最小值为点到直线的距离，由切线长定理得，又，所以，四边形面积.故选：

6、B.【点睛】本题考查两切线围成的四边形面积最值的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点的坐标为，则的平分线所在直线的斜率为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】由题得：，结合得出椭圆方程，根据角平分线的性质，过点作角平分线的对称点,由中点坐标公式求出的中点，即可求得的平分线所在直线的斜率.【详解】由题可知：，已知，则，得出，所以椭圆方程为：.焦点,而，即：轴.,又因为:得,设：的角平分线所在直线为，则点关于的对称的点为,所以：在的延长线上，但，则所以：设的中点为，有，得出所在直线的斜率，即的平分线所在直线的斜率为2.故选：A.【点睛】本题主

7、要考查椭圆的标准方程，利用了椭圆的几何性质、离心率和角平分线的性质，以及中点坐标公式和斜率公式相结合.8已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得，即，同理可得，从而可得，再由，可得，设直线的倾斜角为，在和中，分别将,用表示代入即可求出直线的斜率，再结合直线与双曲线右支交于两点，即可求出，进而可求出离心率的取值范围.【详解】不妨设直线的斜率大于0如图:连接，设的内切圆与三边分别切于点，则，所以，即，同理可得，所以，设直线的倾斜角为，在中

8、，在中，又，所以，即，解得，所以，即直线的斜率为，由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，所以.故选:D【点睛】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.二、多选题9如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）A平面B与平面所成角的余弦值为C三棱锥的体积为D四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】【分析】取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面 ，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取的中点，的中点，连接，因为三角形为等

9、边三角形，所以,因为平面平面，所以平面 ，因为，所以两两垂直，所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，则，因为点是的中点，所以，平面的一个法向量为，显然 与不共线，所以与平面不垂直，所以A不正确；，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，则，所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确.故选：B

10、D【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.10如图，正三棱柱中，、点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）AB若平面，则动点的轨迹的长度等于C异面直线与，所成角的余弦值为D若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案.【详解】解析：对于选项A，选项A错误；对于选项B，过点作的平行线交于点以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系设棱柱底面边长为，侧棱长为，则，所以，即，解得因为平面，

11、则动点的轨迹的长度等于选项B正确对于选项C，在选项A的基础上，所以，因为，所以异面直线所成角的余弦值为，选项C正确对于选项D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.11以下四个命题表述正确的是（ ）A直线恒过定点B已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点C曲线与

12、曲线恰有三条公切线，则D圆上存在4个点到直线的距离都等于1【答案】BC【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误.【详解】对于，直线方程可化为，令，则，所以直线恒过定点，错误；对于，设点的坐标为，所以，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，令，解得，故直线经过定点，正确；对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，曲线化为标准式得，所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；对于，

13、因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；故选：【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题12已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有( )A点的横坐标为B的周长为C小于D的内切圆半径为【答案】ABCD【解析】【分析】在焦点三角形中利用三种表达形式，可判定ACD选项正确，由两点间的距离公式表示，利用双曲线的定义表示，从而表示的周长，即可判定B选项正确.【详解】因为双曲线，所以又因为，所以将其代

14、入得，即，所以选项A正确；所以P的坐标为，由对称性可知,由双曲线定义可知所以，所以选项B正确；因为，所以，即，所以，所以选项C正确；因为，所以，所以选项D正确.故选：ABCD【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.三、填空题13在y轴上的截距为，且与y轴的夹角为的直线方程是_【答案】或【解析】试题分析：因为与轴相交成30角，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以又与轴上的截距为6，所以直线方程为或考点：直线的方程14数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点

15、，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点，则ABC的欧拉线方程为_【答案】【解析】【分析】因为，所以外心，重心，垂心都位于线段的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出的中点坐标，最后由点斜式写出方程.【详解】因为，所以外心，重心，垂心都位于线段的垂直平分线上设线段的垂直平分线的斜率为，则，又因为的中点坐标为所以ABC的欧拉线方程为，即故答案为：【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题

16、.15如图，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于第一象限内的，两点，若，则_.【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为点，抛物线的定义知，在中，利用题干条件和三角函数可得，同理可得，由即可得出答案.【详解】如图所示，过点作，垂足为点.由抛物线的定义知，在中，.过点作轴，垂足为点，则，同理得，.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义、直角三角形的边角关系、三角函数、直线的斜率等基础知识与基本技能方法的综合应用，属于中档题.16已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为_.【

17、答案】【解析】【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果。【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，因为圆是以为直径，所以圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，所以，因为，所以，因为，所以，因为，联立可得，因为为圆的直径，所以,即，所以离心率。【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查双曲线与圆的相关性质，考查对双曲线以及圆

18、的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题。四、解答题17如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，点E是上的点，且（1）求证：对任意的，都有（2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，证明即可；（2）利用向量法表示出，即可建立方程求解.【详解】（1）证法：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则， 即；（2）由（1）得.设平面ACE的

19、法向量为，则由得，即，取，得易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与. ，即.由于，解得，即为所求.【点睛】本题考查空间直线垂直的证明，考查空间角的求解，属于中档题.18如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且【解析】【分析】（1），由线面垂直的判定定理得到平面，从而有，又，再由线面垂直的判定定理证明。（2）假设在线段上是否存在点，使平面平面，根据（1）建立空间直角坐标系，设，则，所以，若使平面平面，分别求得两个平面的法向量，再通过两

20、个法向量数量积为零求解.【详解】（1）证明：因为于点，所以，且，平面，平面.（2）假设在线段上是否存在点，使平面平面.根据（1）建立如图所示空间直角坐标系：则，设，则，所以，所以，设平面一个法向量为：，则，即，令，所以，设平面一个法向量为：，则，即，令，所以，因为平面平面，所以，即解得.所以在线段上是否存在点，使平面平面，且.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理和面面垂直问题，还考查了逻辑推理，探究问题的能力，属于中档题.19对于半径为的及一个正方形给出如下定义：若上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称是该正方形的“等距圆”。如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（2，4），

21、顶点、在轴上，且点在点的左侧.（1）当时，已知两点，则可以成为正方形的“等距圆”的圆心的是_；（2）如图2，在正方形所在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为（6，2），顶点，在轴上，且点在点的上方.若同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与所在直线相切，求圆心的坐标；（3）在（2）的条件下，将正方形绕着点旋转一周，在旋转的过程中，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，写出的取值范围.（不必说明理由）【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）连接和，交于点，设的圆心坐标是，列出圆心到的关系式，把，代入，看是否成立即可得出结果；（2）先求出为等腰直角三角形，得到，进而得出为等

22、腰直角三角形，设据关系列出方程，即可求出圆心的坐标；（3）连接，作于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，交的延长线于，作图，可知当时和当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心【详解】解：（1）连接和，交于点，如图1所示：四边形是正方形，到正方形四条边距离都相等，一定通过点，设的圆心坐标是，时，即：，把，代入，成立，可以成为正方形的“等距圆”的圆心的是，故答案为：；（2）如图2所示：同时为正方形与正方形的“等距圆”，同时过正方形的对称中心和正方形的对称中心，点在线段的垂直平分线上，正方形的边在轴上；，正方形的边在轴上，设线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点，则为等腰直角三角形，轴，为等腰

23、直角三角形，设直线的解析式为：，则，解得：，在直线上，设，过作直线于，连结，与所在直线相切，解得：，所以圆心的坐标为：，或，；（3）连接，作于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，交的延长线于，如图3所示：当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，所在的直线为，所在的直线为，所以当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，所以当时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心；综上得当或时，线段上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心【点睛】本题考查的是直线与圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求

24、问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题20如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点.（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由.【答案】(1) 2 ; (2) 定值为0，证明见答案; (3) 存在，【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离以及勾股定理可得.（2）联立直线与圆，根据韦达定理以及斜率公式可得.（3）设点，由，以及韦达定理、中点公式可解得，再根据判别式可得答案【详解】(1) 直线l的斜率,则直线l的方程为： 圆心到直线l的距离为.所以.(2)设直线l的方程为，由,有 (*)，所以 ,。 .所以为定值0.(3) 设点，由(2)有 ,所以 又，即.所以.即.则有.整理得. 得,得.则满足条件所以满足条件的直线l为：.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于难题.21已知直线过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线上的射影依次为D、K、E（1）求椭圆C的方程；（2）