07 经济地理学 新第三章

1、第三章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布3.1 定义: 把n个随机变量 的整体 ( ) 称为 n维随机变量 同时投掷两个骰子，观察两个骰子出现的点数。设第一个骰子出现的点数为X，第二个骰子出现的点数为Y，则X可能取值为1，2，3，4，5，6，Y也可能取值为1，2，3，4，5，6，则两个骰子出现的点数(X,Y)就是二维随机变量引例一引例二炮弹命中点的平面位置要由水平距离X和垂直距离Y来确定，则炮弹命中点的平面位置（X,Y)也是二维随机变量引例三一炉钢的综合质量至少要由钢的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多个变量来描述，则一炉钢的综合质量至少要用三维随机变量（X,Y,Z）来表示对于随

2、机试验E，是其样本空间。X(w) 和Y(w)是定义在样本空间上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量的定义X(w),Y(w)w.(x,y)xy 二维分布函数联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y,称二元函数F(x,y)=P(X x,Yy)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。xy(x,y)复习：一维随机变量分布函数的性质2. 1. x1x2, F(x1,y)F(x2,y) y1X2). 例8：设(X,Y)在 上服从均匀分布，求其分布函数F(x,y). 解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的分布密度为 (2

3、) 当 (1) 当yxXY230(x,y) (3) 当 (4) 当 (5) 当XY230综上所述 F(x,y)=0 x0或y0, 20, | |0 即：对一切x, y, 均有：故X,Y 独立y 0 若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0 x1 0y1 由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立 .例8. 设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨论X与Y的独立性。(X,Y) N(1 , 2, 12, 22, ) X N(1 , 12) Y N(2 , 22) 若(X,Y) N(1 , 2, 12, 22, ) X与Y相互独立=0例9. 设(X,Y)在区域

4、G=(x,y):0y2x+2,-1x 0 上服从均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘 分布密度,并判断X与Y是否独立。xy-12y=2x+2解:SG=1二维随机变量函数的分布3.3二维随机变量(X,Y)的分布随机变量Z的分布?Z=g(X,Y)设(X,Y)为离散型随机变量，Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量.若对于不同的(xi,yj),g (xi,yj)的值互不相同,则Z的分布律为 二维离散型随机变量函数的分布若对于不同的(xi,yj), g(x,y)有相同的值,则应取这些相同值对应的概率之和。 -1 0 1 2 -1 2 例1（X，Y）的联合分布密度为求X+Y， X-Y分布密度。离散型卷积

5、公式例2. 设X和Y相互独立，其分布律为求Z=X+Y的分布律。例3:设X,Y相互独立,且XP(1), YP(2)证明:Z=X+YP(1+2)例4. 设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y), 边 缘分布密度分别为fX(x), fY(y), 求 Z=X+Y的分布密度。二维连续型随机变量函数的分布若X、Y独立连续型卷积公式例5. 若XN(0,1),YN(0,1)，X与Y独立。 证：Z=X+YN(0,2) 。X N(1 , 12) Y N(2 , 22) Z1=X+Y N(1+2, 12+22) X与Y相互独立Z2=aX+bY N(a1+b2,a212+b222) Z=aX+bYX与Y相互独立Z=X

6、-Y例6. 若XN(0,1),YN(0,1)，X与Y独立。解:当zz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1- P(Xz)P(Yz) 设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.(i =0,1，, n) 用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为: FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=mi

7、n(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.留作课下练习. 当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.例7. 某元件由两个相互独立的元件A1,A2 连接而成，其连接方式分别为：S1:串 联;S2:并联。设A1,A2的寿命X,Y服从 指数分布。求两种系统S1, S2的寿命 的概率密度函数。A1A2

8、S1A1A2S2二维随机变量的条件分布3.4 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布 现在若限制1.7Y0，则称为在Y=yj下，随机变量X的条件分布律.二维离散型随机变量的条件分布pjp1 p2 pj pip1p2 .pi .XYx1x2.xi.y1y2.yjp11p21

9、.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.1条件概率分布的性质X与Y相互独立二维连续型随机变量的条件分布设对于任意给定的0,有P(y-0,若存在,则称此极限为在Y=y下，随机变量X的条件概率分布函数.为已知 Y=y下，X的条件概率密度函数 . 为已知 X=x下，Y的条件概率密度函数 .对很小的dx和 dy， fX|Y(x|y)dx表示已知 Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.条件概率密度函数的直观意义求条件概率密度fY|X(y|x)。例1.若(X,Y) N(1 ,2,12,22,) 演讲完毕，谢谢观看！内容总结第三章。同时投掷两个骰子，观察两个骰子出现的点数。为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。例5.设袋中有五个同类产品，其中有两个。对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取。常见的二维连续型随机变量的分布。设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为。解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的分布密度为。称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。称