初中数学教材解读人教八年级上册（2023年修订）第十一章三角形三角形内角和

1、11.2.1三角形的内角1.理解三角形内角和定理的内容,能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.2.掌握直角三角形的两个锐角互余,能用有两个角互余的三角形是直角三角形对三角形形状进行判定.经历探究活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理.在动手操作,活动探究中培养学生的学习兴趣.【重点】1.三角形内角和定理.2.直角三角形的两个锐角的关系.【难点】三角形内角和定理的推理过程.第课时1.理解“三角形的内角和等于180”及其推理过程.2.能运用三角形内角和定理解决问题.1.通过测量、猜想、推理等数学活动,探索三角形的内角和,感受数学思考过程的条理性,发展合情推理能力和

2、语言表达能力.2.理解三角形内角和的计算、验证,掌握把三个内角集中在一起转化为一个平角的方法.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展同学们的合情推理能力,逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.【重点】三角形内角和定理的推导及应用.【难点】三角形内角和定理的推导、验证过程.【教师准备】课前布置学生预习.【学生准备】硬三角形纸板,量角器.导入一:(展示情境)如图所示,在一个直角三角形里住着三个内角,平时三兄弟非常团结,可是有一天,老二突然不高兴,发起脾气来,它指着老大说:“你凭什么度数最大,我也要和你一样大!”老大说:“不行啊!这是不可能的,否则,我们这个家就再也围不起来了”“为什么?” 老二很

3、纳闷.同学们,你们知道其中的道理吗?设计意图通过富有情趣的故事引入,激发学生学习的兴趣,能够引导学生积极投入思考中,为新知的学习做好设疑.导入二:【提出问题】1.三角形有几个内角呢? 2.三角形按角分类有哪几种呢?3.三角形的内角和是指什么呢?设计意图由学生熟知的知识引入课题,不仅复习回顾旧知,也为学习新知做好知识储备,为学习新知奠定基础.过渡语在小学我们学习过,三角形的内角和为180,那么我们用什么方法进行验证或证明呢?一、三角形内角和定理的验证1.量一量:一副三角板的每个角各是多少度?一副三角板三个内角的和各是多少? 2.猜一猜:任意一个三角形的三个内角和都相等吗?是多少度呢?3.动动手,

4、仔细观察: (1)拼拼看,将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角?(2)观察,小组内观察比较,会得出什么结论?【学生活动】学生根据探究步骤,依次进行猜想、测量、拼接等活动,获得对于三角形内角和的认识,同时小组内进行讨论,全班展示,如图所示.【结论】三角形的内角和是180.【教师活动】教师深入参与活动,指导、倾听学生交流,引导学生通过多种方法说明三角形的内角和为180,通过多媒体进行展示拼接过程.设计意图通过动手操作,使学生从中体验数学学习的乐趣,并在教师的引导下,从动手操作中发现三角形内角和定理的证明方法.二、三角形内角和定理的证明思路一过渡语如果我们不用测量、剪拼的办法,可不可以用

5、推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?【师生活动】教师引导学生借助拼接方法,进行小组讨论,借助辅助线进行解答,学生依据拼接的方法进行讨论、交流,教师做好引导和指导工作.【师生共同完成证明过程】证明:如图所示,过点A作DEBC, DEBC,B=1,C=2(两直线平行,内错角相等),BAC+1+2=180,BAC+B+C=180,即三角形的内角和为180.教师强调:辅助线的添加方法,证明思路为将三角形的三个角转化为一个平角,利用平行线的性质进行证明.设计意图使学生对三角形内角和的感性认识上升到理性认识,由于学生刚刚开始接触证明,所以教师必须要有规范性示范,使学生逐步掌握推理的方法步骤.思路二过

6、渡语结合其他的拼接方法,你还能得到怎样的证明方法?还有其他的证明方法吗?【师生活动】学生根据已有的证明方法和拼接经验,自主思考三角形内角和定理的证明过程,最后小组讨论,师生交流得到证明方法,学生书写证明过程.辅助线的作法:(1)如图所示,延长BC,过点C作CNAB. CNAB,ACN=A(两直线平行,内错角相等),NCM=B(两直线平行,同位角相等).ACB+ACN+NCM=180,A+B+ACB=180.(2)如图所示,在BC边上任取一点D,作DEAB,交AC于E,DFAC,交AB于F. 因为DFAC(已作),所以1=C(两直线平行,同位角相等),2=DEC(两直线平行,内错角相等).因为D

7、EAB(已作),所以3=B,DEC=A(两直线平行,同位角相等).所以A=2(等量代换).又因为1+2+3=180(平角定义),所以A+B+C=180(等量代换).(3)如图所示,过A点任作直线l1, 过B点作l3l1,过C点作l2l1.因为l1l2(已作),所以1=2(两直线平行,内错角相等).同理,3=4.又因为l1l3(已作),所以5+1+6+4=180(两直线平行,同旁内角互补),所以5+2+6+3=180(等量代换).又因为2+3=ACB,所以BAC+ABC+ACB=180(等量代换).【师生总结并板书】三角形内角和定理:三角形内角和为180.知识拓展本定理尽管证明思路很多,但其基本

8、思想主要是设法将三个角拼合在一起,组成一个平角.上述探索的意义旨在锻炼发散思维能力,证明的关键在于要善于联想,不断地总结、归纳规律,利用已有知识分析和解决问题.设计意图通过运用多种方法证明三角形内角和定理,让学生体验作辅助线的重要性,同时对于证明问题有一定认识,培养多元化的思维.三、例题讲解过渡语在学习了三角形的内角和定理之后,那么三角形内角和定理有什么应用呢?我们看一下下面几个问题.(教材例1)如图所示,在ABC中,BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线.求ADB的度数. 解析根据角平分线的定义求出DAB,根据三角形的内角和定理得到ADB=180-DAB-B,代值求出即可.解:因为A

9、D平分CAB,BAC=40,所以DAB=20,因为B=75,所以ADB=180-DAB-B=180-20-75=85.解题策略对于求某个角的度数的问题,一般是分析这个角是哪一个三角形的内角,其他两个角是否已知度数或已知三角之间的数量关系,然后利用三角形的内角和定理进行求解.(教材例2)如图所示的是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80方向,C岛在B岛的北偏西40 方向,从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角ACB呢? 解析A,B,C三岛的连线构成ABC,所求的ACB是ABC的一个内角,如果能求出CAB,ABC,就能求出ACB的度数.

10、解:CAB=BAD-CAD=30,因为ADBE,所以BAD+ABE=180,所以ABE=100,所以ABC=60,所以在ABC中,ACB=90.解题策略解答本题关键是明确方向角的定义,知道题目所给出的角的度数,再运用平行线的性质和三角形的内角和定理解答问题.1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180.2.三角形内角和定理的证明:思路是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角,在转化过程中借助平行线.3.三角形内角和定理的应用:直接根据三角形中角的关系,用代数方法求三个角.1.在ABC中,A=80,B=C,则B的度数为()A.50B.40C.10D.45解析:根据三角形内角和定理可知,A

11、+B+C=180,因为A=80,所以B+C=100,因为B=C,所以B=50.故选A.2.已知在ABC中,A+B=C,那么ABC的形状为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上都不对解析:根据三角形内角和定理可知,A+B+C=180,因为A+B=C,所以2C=180,所以C=90,所以ABC为直角三角形.故选A.3.在ABC中,B=A+10,C=B+10,求ABC各内角的度数.解:因为A+B+C=180,B=A+10,C=B+10,所以代入得:A+A+10+A+10+10=180,即3A=150,所以A=50,所以B=60,C=70.第1课时一、三角形内角和定理的验证二、三角形内

12、角和定理的证明三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第13页练习第1,2题.【选做题】教材第16页习题11.2第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在ABC中,A=50,B=60,则C的度数为()A.60B.70C.80D.1102.已知ABC中,A=20,B=C,那么ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.如图所示,在ABC中,A=70,B=50,CD平分BCA,则ADC的度数为.4.如图所示,ABCD,AD和BC相交于点O,A=35,AOB=75,则C=.【能力提升】5.若一个三角形三个内角度数的比为459,请求出这个三角形各角的度数,并说出它属于哪类三角形?6.如图所示,解