初中数学人教八年级上册（2023年更新）第十三章 轴对称1课题学习 最短路径将军饮马问题

1、13.4 课题学习 最短路径问题(2课时) -将军饮马绵阳外国语实验学校 王婵教学目标：1、利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、理解最值问题在具体题目中的运用教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题教学难点: 寻找题目中的最短路径模型教学过程：一复习引入【师】同学们，以前我们就学过最短路径的理论知识，现在我们先来回顾复习一下涉及到的知识【师】1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？ 【生】最短，因为两点之间，线段最短.【师】2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 【生】PC最短，因为垂线段最短.【师】3.在以前学习三角形中，有哪

2、些有关线段大小的结论？ 【生】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；大边对大角【师】三边关系还可以这样理解，当三点共线时，BA+CA最短，BA+CABA+CA【师】如图，如何做点A关于直线l的对称点？ 二新课讲解（将军饮马问题）如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（两点一线） 实际问题lBA【师】这个题求的A到l再到B最短路径即哪些线段和最短？ 【生】AP+BP两条线段和最短问题1.【师】假如A、B是直线l异侧两个点，你能得到最短路径P所在位置吗？ 【生】连接AB，与l的交点即为P点【师】你运用的是什么知识点解决这个问题

3、？【生】两点之间，线段最短问题2.【师】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？ 【生】将B对称到B，连接AB，交l于P点问题3.【师】此时A、B、P三点共线，AB=AP+BP，你能否证明此时AP+BP为最短？证明除了P点以外任意的点C，AC+BCAP+BP。 【师】提示：此时任取一个点C，AC+BC=AC+CB【生】根据三角形两边之和大于第三边，则AC+CBAB【师】即三点共线时，AB最短【师】方法总结： 动点P所在的直线l为对称轴，将其中一个定点B对称为B，再连接新的定点B和另一个定点A，AB与对称轴l的交点即为所求动点P练1.ABC为等边三角形，高AH=1

4、0，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 . 【师】请小组讨论，能不能得到答案？通过交流讨论，让学生学会用用轴对称知识解决问题，对将军饮马问题进行理解，对课堂听课效率进行检测，提高听课效率【师】这个题用到了什么模型？哪些数学知识？【生】将军饮马模型，轴对称，等边三角形三线合一【师】最短路径的证明用的是什么方法？【生】三角形三边关系，三点共线时取最小值【师】将军饮马问题用到的“最短”知识是什么？【生】两点之间，线段最短变式1.将军带着马从营房出发，先去草地吃草，再去河边喝水，最后回到营房，怎么走路径最短？（两线一点） 【师】请同学们先分析出定点、动点、对称轴，做出你的画法【师

5、】再请同学们小组交流谈论小组交流能增加同学们的学习积极性，对于提高课堂效率有很大帮助变式2.将军带着马从营房出发，先去草地吃草，再去河边喝水，最后将马牵回马厩，怎么走路径最短？（两点两线） 【师】请同学们先分析出定点、动点、对称轴，做出你的画法【师】再请同学们小组交流讨论练2.（教材p93）如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处，请画出最短路径 【师】将军饮马问题中一点两线、两点一线、两点两线用到的“最短”知识是什么？【生】两点之间，线段最短例2.如图，在ABC中，ABC=30，AB=6，ABC的平分线交AC于点D，点P、Q分别是BD、AB上的动点，则AP+P

6、Q的最小值为 QQ 【师】这里有两个动点P、Q，角平分线即为角的对称轴，因此将直线BD看成对称轴，Q关于直线BD对称后一定在直线BC上，A、P、Q三点形成AP+PQ何时最短？【生】三点共线时AP+PQ最短【师】此时P、Q均为动点，且A、P、Q三点共线，A为定点，Q在直线BC上运动，何时AQ最短？【生】当AQBC时，AQ最短【师】这个题用到了什么模型？哪些数学知识？【生】轴对称，30所对的直角边为斜边的一半【师】例2用到的“最短”知识是什么？【生】垂线段最短练3.BH为ABC的角平分线，点O为线段BH上的动点，点G为线段BC上的动点，BC=4，ABC=30，则OC+OG的最小值是 三课堂小结动点P所在的直线l为对称轴，将其中一个定点B对称为B，再连接新的定点B和另一个定点A，AB与对称轴l的交点即为所求动点P两点一线、两线一点、两点两线所用的“最短”知识是“两点之间，线段最短” A为定点，P、Q为动点，A、P、Q三点共线时AP+PQ最短角平分线，一定点两动点所用的“最短”知识是“垂线段最短”Q 随堂检测1.四边形ABCO为正方形，边长为3，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，P为OB上一动点，“求PD+PA的最小值”要用到的数学依据是（ ）A.两点之间，线段最短B.轴对称的性质C.两点之间，线段最短及轴对称的性质D.以上都不正确2.P、Q为AB