【新教材】2020-2021学年苏教版高中数学必修第二册综合检测题（二）-【含答案】

1、苏教版必修第二册数学全册综合检测题（二）一、单选题1若，则=（ ）AB2CD32有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为cm现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（ ）A1B2C3D43某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为、，若高于分的人数是人，则该班的学生人数是（ ）ABCD4向量，满足，若的最小值为，则（ ）A0B4C8D165若m，n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）；.A1个B2个C3个D4个6已知，则的值为（ ）A

2、BCD7在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，则三棱锥的外接球表面积为（ ）ABCD8在中，分别是内角的对边，当内角最大时，的面积为（ ）ABCD二、多选题9已知向量，的夹角为，且|，|=2，则|和在方向上的投影的数量分别等于（ ）A4B2C1D102014年7月18日，教育部公布了修订的国家学生体质健康标准.学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照11.5，12)，12，12.5)，15.5，16分

3、成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ）A直方图中a的值为0.4B由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒D由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%11在中，a，b，c分别为，的对边，下列叙述正确的是（ ）A若，则为等腰三角形B若，则为等腰三角形C若，则为钝角三角形D若，则12如图，正方体的棱长为，点，分别在，上，.动点在侧面内(包含边界)运动，且满足直线平面，则（ ）A过，的平面截正方体所得截面为等腰梯形B三棱锥的体积为定值C动点所形成轨迹的长度

4、为D过，的平面截正方体所得截面面积的最小值为三、填空题13计算：tan 22.5_.14甲乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为_.15如图，在四边形中，若是的角平分线，则的长为_16在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，是正三角形，且侧面底面.若点，都在同一个球面上，则该球的表面积为_.四、解答题17已知关于的方程在复数范围内的两根为、（1）若p=8，求、；（2）若，求的值18某中学现有学生人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测频率试，得分分布在之间，按，分组，得到的频率分布直方图如图所示，且已知.（1）求，的值；（2）估计该中学数学测试的平均分(同组数据以这组数

5、据的中间值作代表)；（3）估计该中学数学分数在的人数.19如图，在底面为菱形的四棱柱中，在底面内的射影为线段上一点.（）求的长；（）求三棱锥的体积.20已知向量.（1）求向量与的夹角的大小；（2）若，求实数的值.21袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个.规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分.在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球.规定取出球的总积分多者获胜.（1）求甲、乙平局的概率；（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是

6、否影响比赛的公平性.22已知，函数（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围答案1A【分析】根据复数的运算法则，以及复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：A.2C【分析】求出圆柱上部的体积，利用球的体积公式转化求解即可【详解】解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径，可得，解得故选：3B【分析】计算出高于分的学生所占的频率，然后用除以频率即可得出结果.【详解】由频率分布直方图可知，高于分的学生所占的频率为，因此，该班的学生人数是.故选：B.

7、4C【分析】由已知得，然后把平方转化为数量积的运算，利用二次函数知识得最小值，从而求得【详解】，所以，由题意，解得故选：C5C【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】，正确，正确，正确若，则可以与平行，相交或，故错误故选：C6D【分析】利用二倍角公式，然后弦化切，即可利用已知条件计算求值【详解】，故选：D方法点睛：三角函数求值问题中已知求关于的代数式的值时一般利用弦公切后直接代入求值，在关于的齐次式中，常常用弦公切的方法转化为的式子7C【分析】由垂心知，可证平面，则，所以可证平面，则有，同理有，故 两两垂直，所以直径，则外接球表面积可求解【详解】设的垂心为，连接则平面，如图所示：由垂

8、心知，又，则平面 所以，又 ，所以平面，得同理 所以 两两垂直，则三棱锥的外接球是以为长宽高的长方体的外接球，故 所以，三棱锥的外接球表面积为故选：C方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可8A【分析】已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用

9、基本不等式求出的最小值，然后利用三角形面积公式计算.【详解】已知等式利用正弦定理化简得：，两边平方得：，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时，则的最小值为，此时C最大，且，则的面积，故选:A.本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.关键在于熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求得cosC关于的表达式，并使用基本不等式求得cosC的最小值.9CD【分析】根据平面向量的数量积计算模长，根据投影的定义计算对应的数值.【详解】解：向量的夹角为，|，|=2，所以2cos3；所以323+4=1，所以|=1；所以在方向上的投影的数量为|cos.

10、故选：CD.10AB【分析】A：根据各组频率之和为1，进行求解判断即可；B：根据直方图的众数是频率最高组的中点进行判断即可；C：根据直方图的中位数是频率相等的分点进行判断即可：D：根据直方图求出成绩小于14.15秒的人数所占百分比进行判断即可.【详解】A：由概率统计相关知识，可知各组频率之和为1.频率=(频率/组距)组距，解得，故A正确；B：直方图的众数是频率最高组的中点，即，故B正确；C：直方图的中位数是频率相等的分点，设为x，则，解得，故C错误；D：由图可知.成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：，故D错误.故选：AB11ACD【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A：利用正弦定理判

11、断，在三角形中只能A=B,即可判断；对于B：由正弦定理得 ，可以判断为等腰三角形或直角三角形；对于C：利用三角函数化简得，利用判断必有一个小于0，即可判断；对于D：利用正弦定理判断得求出角.【详解】对于A：由正弦定理得：，而，A+B+C=，只能A=B,即为等腰三角形，故A正确；对于B：由正弦定理得：， 若可化为,即，或为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：A+B+C=，.而必有一个小于0，为钝角三角形.故C正确；对于D：， 由正弦定理得：,即.故D正确.故选：ACD在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择12

12、BCD【分析】由题做出过，的平面截正方体所得截面为梯形，进而计算即可排除A选项；根据平面，由等体积转化法得即可得B选项正确；取靠近点的三等分点， 靠近点的三等分点，易知的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确；过点做的平行线交于，交于，连接，易知过，的平面截正方体所得截面即为平行四边形，进而得当位于点时，截面面积最小，为四边形的面积，且面积为.【详解】解：对于A选项，如图，取中点，连接，由点，分别在，上，故四边形为平行四边形，故，由于在，为中点，当为中点时，有，故过，的平面截正方体所得截面为梯形，此时，故梯形不是等腰梯形，故A选项错误；对于B选项，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，由于平面，故三棱锥的

13、体积等于三棱锥的体积，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而三棱锥的体积为定值，故B选项正确；对于C选项，取靠近点的三等分点， 靠近点的三等分点，易知，由于，故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确； 对于D选项，过点做的平行线交于，交于，连接，则过，的平面截正方体所得截面即为平行四边形，易知当位于点时，平行四边形边最小，且为，此时截面平行四边形的面积最小，为四边形的面积，且面积为，故D选项正确；故选：BCD 本题解题的关键在于根据题意，依次做出过，的平面截正方体所得截面为梯形，过，的平面截正方体所得截面即为平行四边形，进而讨论AD选项，通过平面，并结合等体积转化法得知B选项正确，通过构造

14、面面平行得的轨迹为线段，进而讨论C选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.13-2【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】tan 22.5 故-214【分析】乙不输即是乙获胜或甲乙和棋，由互斥事件概率加法公式可求.【详解】解：记“甲获胜”为事件A，记“和棋”为事件B，记“乙获胜”为事件C，则，所以，乙不输的概率为.故答案为.155【分析】在ABC中根据余弦定理求得BC，正弦定理求得角B，然后根据题目条件中的角的关系，ACD中利用正弦定理求得DC.【详解】解：中，由余弦定理得，所以，又，由正弦定理得，所以，又，中，由正弦定理得，所以，即的长为5故5关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理

15、解得三角形的未知边和角.16【分析】先将该四棱锥补形为正三棱柱，根据正棱柱的特征，结合球的性质，以及题中数据，求出该正三棱柱的外接球半径，进而可求出外接球的表面积.【详解】由题意，可将该四棱锥补形为正三棱柱，则该四棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，记球心为，分别取、的中点为、；分别记与的外接圆圆心为、，连接，因为与都是正三角形，所以，且，根据球的性质，以及正棱柱的结构特征可得，球心必在上，且为的中点，连接，则外接球的半径为，因此，外接球的表面积为.故答案为.思路点睛：求解几何体外接球的相关问题时，一般需要先根据几何体的结构特征确定球心位置，再结合题中所给数据求出外接球的半径，进而即可得解（有时

16、所给几何体比较特殊，可根据补形的方法进行求解）.17（1），；（2）【分析】（1）利用求根公式即可求解.（2）将代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，（2）已知关于x的方程的一根为，所以，所以，解得18（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案；（2）由频率分布直方图，直接求平均分；（3）分别求出该中学数学分数在和的频率和人数进一步求出答案.【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.（2）由频率分布直方图可得，估计该中学数学测试的平均分为.（3）因为该中学数学分数在的频率是，所以估计该中学数学分数在的人数是；同理，因为该中学数学分数在的频率是，所以估计该中学数

17、学分数在的人数是.所以估计该中学数学分数在的人数为.19（）；（）.【分析】（）由已知条件得出点在底面上的射影是的外心即可求解；（）利用等体积法即可得出所求三棱锥的体积.【详解】解：（），为等边三角形，.又，点在底面上的射影是等边的外心，.（）由（）可知底面，且底面，.又，.20（1）；（2）【分析】（1）由，计算可求出答案；（2）先求出，再根据，可得，进而可列出方程，即可求出的值.【详解】（1）由题意，.因为，故.（2），因为，所以，即，解得.21（1）；（2）不影响.【分析】（1）甲、乙平局，即甲得分，然后根据各种小球的分值情况，分甲取的三个小球的情况得出结果. （2）由甲先取球时，求出甲

18、获胜的概率和乙获胜的概率，再同理求出由乙先取球时，求出乙获胜的概率和甲获胜的概率，从而可得答案.【详解】（1）记标有数字“”的球为，标有数字“”的球为，标有数字“”的球为，则甲取球的所有情况为，共种，由于个小球总分为分，故甲、乙平局时都得分，此时，甲取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，共有种情况，故平局的概率.（2）由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是分或分，即取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球和个标有数字“”的球共种情况，故甲获胜的概率.由（1）可得平局的概率，所以甲输，即乙获胜的概率.所以甲、乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同.故先后取球的顺序不