(完整版)高等代数专插本试卷总汇

1、广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学(2)班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 试题一考核课程：高等代数(上)考核类型：考试考核形式：闭卷学生院系：年级：_试卷：题号二三四五六七总分得分一、判断题(在括号里打“丁”或“X”，每小题2分，共20分)TOC o 1-5 h z1.若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根.()若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x)丰1，则存在非零常数c,使得p(x)=cq(x).()对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.()若矩阵A的所有r+1级的子式全为零，则

2、A的秩为r.()若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数.()若向量组a,a，,a(s1)线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合.()12s若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.()若矩阵A、B满足AB=0，且A丰0，则B=0.()A称为对称矩阵是指A=A.若A与B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵.()设n级方阵A、B、C满足ABC=E，E为单位矩阵，则CAB=E.()二、填空题：(每小题2分，共20分)1.设g(x)|f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为2.设a丰0，用g(x)二ax-b除f(x)所得的余式是函数值3.多项式f(x)、

3、g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)、v(x)使得一个n级矩阵A的行(或列)向量组线性无关，则A的秩为.线性方程组有解的充分必要条件是.设矩阵A可逆，且|A|=1，则A的伴随矩阵A*的逆矩阵为TOC o 1-5 h z设A、B为n阶方阵，则(A+B)2=A2+2AB+B2的充要条件是.设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ=B，则X=.若a+aha=0，则向量组a,a，,a必线性.12s12s一个齐次线性方程组中共有n个线性方程、n个未知量，其系数矩阵的秩为n，若它有非零解，则123它的基础解系所含解的个数为.三、计算题(每小题5分，共20分)1求多项式f(X)=x3+x2+2x-4与g(x)=

4、x3+2x2-4x+1的最大公因式.1+a111+a2.1111(n级)1+a3.设A=b00、a0，给出A可逆的充分必要条件，并在A可逆时求其逆.ba丿4.求向量组a=(1,1,1)、卩=(1,2,3)、丫=(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合四、设向量组a,a，,a线性无关，而向量组a,a，,a,P12r12r线性相关，证明：卩可以由a,a，,a线性表出，且表示法唯一.12r本大题10分)得分五、设A是一个秩为厂的mXn矩阵，证明：存在一个秩为n-r的nx(nr)矩阵B，使AB=0.(本大题10分)广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数

5、学（2）班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编1孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 1孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 #孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 得分（11六、（10分）设A=.a.2，B=1）计算AB及BA；（2）证明：BA可逆的充分必要条件是（工a）（工b）丰n工ab；iiiii=1i=1i=1（3）证明：当n2时，AB不可逆.本大题10分）得分七、设线性方程组为x+x+x+x=1TOC o 1-5 h z1234x+九x+x+x=2V1234x+x+九x+x=31234x+

6、x+x+（九一1）x=11234讨论九为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解本大题10分）要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）试题一参考答案及评分标准课程名称：高等代数（下）执笔人：胡付高一、判断题（每小题2分，共20分）(1)X；（2）V；(3)V；(4)X；(5)V；(6)V；(7)X；(8)X；(9)X；(10)V.二、填空题（每小题2分共20分）(1)g(x)；b(2)f()；a(3)u(x)f(x)+v(x)g(x)1；(4)n；（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等；(6)A；(7)ABBA；(8)P-1BQ-1；（9）相关；(10)n-

7、n23三、计算题（每小题5分共20分）1.(f(x),g(x)x-1注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式f（X）二（x-1）（x2+2x+4）,g（x）二（X-1）（x2+3x-1）得到最大公因式，也给满分.2.解：原式二（n+a）an-13.解：因为|A|=a3，所以A可逆的充分必要条件是a丰0.2分）a200 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document A的伴随矩阵A*=-aba20 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 、b2-ac-aba2丿a200 HYPERLINK l bookm

8、ark18 o Current Document -aba209b2-ac-aba2丿故A-1a34分）5分）注：本题在得到A可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法.广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 院系负责人签字(113(1024由124011;135J;000J可知a,卩为向量组的一个极大线性无关组,卜a1r+1k2ak2r+1kla；krr+13分）且有丫=2a+P.（5分）注：本题也可以先说明其秩为2,故任意两个向量都是

9、极大线性无关组（容易看出任意两个向量线性无关），或其它方法均可四、证明由a严2,巴,卩线性相关，存在不全为零的数勺，,kr，k使ka+ka+ka+k卩=01122rrr+12分)r+1又由a,a，,a线性无关，得k丰0（否则，a,a，,a线性相关，矛盾），于是有5分)设卩J3=la+1a+1a，则1122rrca+ca=la+1a，艮卩(cl)a+(cl)a+(cl)a=0，118分)由于a，a，,a线性无关，故c一l=0,c一l=0,c一l=0，即c=l(i=1,2,r).12r1122rrii(10分)五、证明考虑齐次线性方程组Ax=0，因为秩（A）=r，故存在基础解系g,g，,g，作nx

10、（nr）12nr矩阵B=（g,g，,g），则AB=0，（6分）12nr由于B的nr个列向量线性无关，故有秩（B）=nr.（10分）（E0）注：本题的另一证法是：由秩（A）=r，存在可逆矩阵P,Q使PAQ=100I，即(EAP-1r0Q-1，取BQ厂02时，由于R(AB)R(A)2n，故AB不可逆.（10分）注：对（3）直接证明AB0的，只要方法正确，也给满分.2分)七、解由于系数行列式|A|（九-1）2（九-2）1)由克莱姆法则知，当九鼻1且h丰2时,方程组有唯一解；4分)2)当h1时，1111111111101231丿(10001111、 HYPERLINK l bookmark242 o

11、Current Document 0001000200-20方程组无解；6分)（111方程组有无穷多解：3)当h2时，1211112111111231丿(1001）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合.（若矩阵A的秩是r，则A的所有r级的子式全不等于零.5.若矩阵A经过初等变换化为矩阵B，则|A|=|B|）10一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解（V）二、填空题（每小题2分，共20分）n（n-1）排列n（n-1）321的逆序数为.五级行列式D中的一项a21a13a32a45a54在D中的符号为负n级行列式D按第j列展开公式是D=aA+aA+aA.1j1j2j2jn

12、jnj已知非零向量组a、卩、Y两两线性相关，则该向量组的秩为1.线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.若矩阵A中有一个r级子式不为零，则秩（A）竺.个齐次线性方程组中共有s个线性方程、t个未知量，其系数矩阵的秩为p，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于匸p.个非齐次线性方程组记为（I），它的导出组记为（II），则（I）的一个解与（II）的一个解的差是_（I）的解.一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性相关，则A的行列式等于0三、计算下列行列式两个向量组等价是指它们可以相互线性表出.182764123334311111491612232421234解原式=123412

13、341223242111111111233343每小题5分，共20分）1)注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分abbcca11(2)cab1b+cc+aa+b1222解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式=0.注：本题也可以从第4行提取公因子2，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式=0.anana+x1a(3)1a2a+x2aaa+x12n解将所有列全加到第1列并提起公因子，得i=1a)ia2a+x2a2xn0=(x+区a)xn-1ii=1=xn+(区a)xn-1.ii=14）原式xXa+xxxx解将所有行减去第1行

14、，化为爪形行列式，得xa+xna+x1一a1x丄a0a00an1i=10i=（a+ax区丄）a-1a2i=1ian=（1+x区丄）aaaa12ni=1i注:本题也可以用加边法化为爪形行列式计算四、设线性方程组为：f（1）当九取什么值时,（2）当九取什么值时,x+x+x+x=11234x+九x+x+x=1f1234，试讨论下列问题：x+x+九x+x=11234x+x+x+（九一1）x=21234线性方程组有唯一解？线性方程组无解？（3）当九取什么值时,线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）（共15分）解线性方程组的系数行列式为1111111

15、11九110九-10011九100九-10111九一1000九一2=（九一1）2（九一2）即九H1且九H2时，线性方程组有唯一解;（1）当（九一1）2。一2）丰0,（2）当九=2时,线性方程组无解；（3）当九=1时1r111111010001001002丿00001丿111112111121J1111111111111111110100-1100100002、-1线性方程组有无穷多解，且其通解为(x,x,x,x)=k(1,1,0,0)+k(1,0,1,0)+(2,0,0,1).TOC o 1-5 h z123412五、(1)设向量J,J,a线性无关，证明：向量a+a,a+a,a+a线性无关；1

16、23122331(2)证明：对任意4个向量a,a,a,a，向量组a+a,a+a,a+a,a+a都线性相123412233441关(共15分)证明(1)设k(a+a)+k(a+a)+k(a+a)=0，即112223331(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0，由于a,a,a线性无关，故有131122233123k+k=0 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 13vk+k=0解之得，k=k=k=012123k+k=023故a+a,a+a,a+a也线性无关(8)122331(2)由(a+a)(a+a)+(a+a)(a+a)=0得,a+a,a+a,a

17、+a,a+a线性相1223344112233441关六、设向量组a,a，,a线性无关，而a,a，,a,卩,丫线性相关，但卩不能由a,a，,a,丫线12r12r12r性表出，证明：Y可以由a,a，,a线性表出，且表示法唯一.(10分)12r证明(1)先证丫可以由a,a，,a线性表出：12r因为a,a，,a,卩,丫线性相关，所以存在不全为零的数k,k，,k，使得12r12r+2ka+ka+ka+kP+kY=0.1122rrr+1r+2由于卩不能由a,a，,a,Y线性表出，故必有k=0，下证k丰0用反证法：若k=0，则12rr+1r+2r+2ka+ka+ka=0，由于k,k,，k不全为零故k,k，,

18、k不全为零,与a,a，,a线1122rr12r+212r12r性无关的假设矛盾，于是k丰0，得到Y=亠akka.ra.r+2kr+21k2krr+2r+2(2)次证表示法唯一：设丫=cJ+cJHFcJ，Y=la+laHFla，贝U1122rr1122rrcJ+ca+cJ=lJ+lJ+FlJ，艮卩(cl)J+(cl)J+f(cl)J=0,1122rr1122rr111222rrr由于J,J，,J线性无关，故cl=0,cl=0,cl=0，即c=l(i=1,2,，r),于是表示12r1122rrii法唯一七、(附加题)证明或否定下面命题：若三个向量J,卩,Y两两线性无关，则J,卩,Y线性无关并说明在

19、三维矢量空间中的几何意义(10分)解本结论的几何描述是：三个矢量(向量)两两不共线，贝它们不共面很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.注否定上述结论时，也可构造反例，如J=(1,0,0),卩=(0,1,0),Y=(1,1,0)等，或构造三个二维向量,使它们两两线性无关试题四得分一、判断题(每小题2分，共20分）题号一二三四五六七八总分得分TOC o 1-5 h z集合A=a+b巨|a,b为整数是一个数域；()设在数域P上(xa，/(x)=1，则一定有f(a)丰0;()若整系数多项式f(x)无有理根，则f(x)在有理数域上一定不可约；()设A是n级矩阵，k是任意

20、常数，则|kA|=k|A|或|kA|=k|A|；()设abcd是一个4级排列，则abcd与badc的奇偶性相同；()设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解；()任意等价向量组中所含向量的个数相等；()任何齐次线性方程组都存在基础解系；()设J,卩都是n维列向量，则J卩=卩J；()10设A,B都是n级对称矩阵，且AB丰0,则A与B在复数域上合同.()得分二、填空题：(每小题2分，共14分)1设以,卩,Y是多项式f（x）=x3+ax2+bx+c的三个根，则a+卩+丫=TOC o 1-5 h z四阶行列式中，项aaaa的符号为.23124134设矩阵A可

21、逆，且|A|=1，则（A*）j.设A、B为n阶方阵，则（A+B）（A-B）=A2-B2的充要条件是.设A为sxt矩阵，则齐次线性方程组AX二0有非零解的充要条件是：秩（A）6设a,b,c,d是互异常数，则线性方程组x+x+x=1123ax+bx+cx=d的解向量中分量x=.1231a2x+b2x+c2x=d21237.二次型f(x,x,x)=x2+2x2+九x2+2卩xx是正定的充分必要条件是九与卩满12312323足.得分计算（每小题6分，共12分）厂abc2.设A=0abj00a丿111111+a1+a11.(n级)11+a111+a111给出A可逆的充分必要条件，并在A可逆时求其逆得分四

22、、（共10分）化二次型f(x,x,x)=x2+2xx+4xx+x2+4x2-3xx123112132323为标准形，写出所作的非退化的线性替换并回答下列问题（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？得分得分五、(14分)当九为何值时，下面线性方程组有解？并求解.x+x+x+x=1TOC o 1-5 h z1234x+九x+x+x=2V1234x+x+九x+x=31234x+x+x+(九一1)x=11234六、（10分）设向量卩可以由a,a，,丫线性表出，但不能由a,a，,a线12s12s性表出.证明：（1）Y可由向量组a1，a2a，卩线性

23、表出；）不能由a1，a2,巴线性表出得分得分七、（10分）设A是一个秩为r的nXn矩阵，证明：存在一个秩为n-r的nxn矩阵B,使AB=0.八、(10分)证明：如果(f(x),g(x)二1,(f(x),h(x)二1,则(f(x),g(x)h(x)二1.参考答案及评分标准（试题四）一.判断题（每小题2分）8.X；9.V；10.V.X；2.V；3.X；4.X；5.V；6.X；7.X；二.填空题（每小题2分，共14分）1.-a;2负号；3.A；4.AB=BA；5.Vt；6.(c-d)(c-b)(b-d)72九(c-a)(c-b)(b-a)，三.计算（每小题6分，共12分）=(-1)n(n-1)2(n

24、+a)an-1（6分）所以A可逆的充分必要条件是a丰0,（3分）一ab且A-1=a3四.f=(x+x2b2-ac-ab（6分）+2x)2-7xx,3231y=2y=j3，则f=人12-7y2y3（2分）y=z1y=2y=j3z+z，则f=z2-7z2+7z223123z-z23（4分）且所作的非退化的线性替换为rx1-x2Ix丿3r1-1-2、-010-,001丿(y12Iy丿3r1-1-2y10、丿,01-1z1-z2人z3丿rz1z-2Iz丿311111111111+a100a0=(n+a)11+a110a001+a111a0001.原式=(n+a)（2分）（4分）(6分)(8分)广东石油

25、化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编0孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 0孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 五解fw2+w2+w2与fw2+w2w231九-1001(111121九1111九1111九一111231丿2(100010九-10100九21120丿10分）2分)（1）当九乂1且九乂2时，方程组有唯一解九412x，x-1九12（2）当九=1时，（3）当九=2时，x，x0；九一13九14方程组无解；方程组有无穷多解：4分)7分)(9分)11分)使卩ka+ka+ka+ky，11-22sss+12分

26、)若k0，s+1则卩可以由巴巴，。线性表出，矛盾故k-丰0,s+14分)14分)六.证明（1）因为卩可以由a,a，,a,y线性表出，所以存在不全为零的数k，,k,k，12s1ss+1kk从而有Y=_-ak1k2s+1s+15分)k1nla+B.ksks+1s+1（反证法）若7可由Hr-。s线性表出，又由于卩可以由巴巴，巴，Y线性表出，得卩可以由yr巴线性表出，矛盾故丫不能由*&as线性表出.（10分）七.证明考虑齐次线性方程组Ax0，因为秩（A）r，故存在基础解系g,g，,g，作12nrnxn矩阵B=（g,g，,g,0,0），则AB0，且秩（B）nr.（10分）12nr注1在构造矩阵B时，B的

27、后面r列未必一定要取零向量，事实上，只要说明B中每列都是线性方程组Ax0的解，且B中含nr个线性无关的列向量即可.（E0）注2本题的另一证法是：由秩（A）r，存在可逆矩阵P,Q使PAQ00，即IuU丿(EAP-1rQ1，取BQ(0V0EnrP，则AB0八.证明由(f(x),g(x)1及(f(x),h(x)1，存在多项式u(x),v(x)(i1,2)，使ii广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学(2)班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 u(x)f(x)+v(x)g(x)二1，u(x)f(x)+v(x)h(x

28、)二1，(4分)1122两式相乘得，(uuf+uvh+uvg)f+(vv)gh二1(8分)12122112所以有(f(x),g(x)h(x)=1.(10分)试题六一、填空题(每小题2分，共20分)1如果dimV=m，dimV=m，dim(V+V)=m，则dim(VcV)=1122123122两个有限维线性空间JV2同构的充分必要条件是3用L(V)表示n维线性空间V的所有线性变换构成的线性空间，则dimL(V)=4若AePnxn，且A2=E，则A的特征值为5设欧氏空间的正交变换A在一组标准正交基下的矩阵是U，则UI=6设V是一个n维欧氏空间，丰0是V中非零向量，W=p(a,p)=0,peV，则题

29、号三四五六七八九十总分得分dimW二(17.矩阵A=1111111的最小多项式为11丿8已知线性变换A在基IB2,.下的矩阵为(a11a12a13aaa212223,aaa313233，则A在基B3,曹下的矩阵为.9.在PX中，线性变换Df（x）=f（x），则D在基1,x,X2,xn-1下的矩阵为.n10设6级矩阵A的不变因子是1,1,1,1,（九-2）,（九-2）2（1-3）3，则A的若尔当标准形是、选择题（每小题3分，共15分）1.F列集合构成Pnxn的子空间的是a.AGPnxn|A|丰。；b.AGPnxnc.AGPnxnn维线性空间V的线性变换A可以对角化的充要条件是（）a.A有n个互不

30、相同的特征向量；b.a有n个互不相同的特征根；c.A有n个线性无关的特征向量.3.对子空间V,V,V，V+V+V为直和的充要条件是()123123a.VcVcV=o；b.V=V+V+V；c.VcCV)=o.i=1,2,3123123ijj知4.下列类型的矩阵A一定相似于对角矩阵()c主对角元两两互异的上三角矩阵（）a正交矩阵；b特征值皆为实数的矩阵5.AB的充要条件是a.A、B具有相同的特征值；b.|A|=|B；c.A、B具有相同的不变因子.三、（共15分）设IB2,B3为V的基，且线性变换A在此基下的矩阵为（111A=111J11丿（1）求A的特征值与特征向量；（2）A是否可以对立化?乡如果

31、可不成名誓不交矩阵T使得八皿为对角形.四、(10分)设Px表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式n作成的线性空间.证明：l,x-a,(x-a)2,(x-a)n-1是Px的一组基；n求上述的一组基到基1,x,x2,xn-1的过渡矩阵.五、(12分)设aeL(V)，且A2=A.证明A的特征值为0或1；V=AVAT。).S六、(8分)设a,a?,H是欧氏空间V的两两正交的非零向量组，证明它们线性无关.七、(10分)设A是(1)W=&AX个固定的n级矩阵，XA,XePnxn/是P证明：nxn的一个子空间;(2)当A为主对角元两两互异的对角矩阵时，写出W的维数及一组基.八、(10分)设a,a，,a是欧

32、氏空间V的一组向量，记W=L(a,a，,a)，12s12s证明：(1)如果YeW使(,a)=0，i=1,2,s，那么Y=0；i(2)记V=p|(a,卩)=0,卩eV，i=1,2,s，那么ii广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学(2)班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 试题六参考答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）(1)m+m12(2)dimV=dimV；123）n2；二、选择题1或-1；（5）土1;（6）n-1；(7)九2-3九；厂0100、(、厂aaa)0

33、02022333231Zaaa9(9)；（10）122322213Ia13a12a)11000n113000013丿8）每小题3分，共15分)4）1）c；（2）c；（3）c；（4）c；（5）c HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 九-1-1、(1)解ReA=1九-1 HYPERLINK l bookmark388 o Current Document -1111=九2(九一3),因此a的特征值为九=0与九=3.九一14分)(1对九=3，可求出A的一个线性无关的特征向量为g二1，故得A的所有特征向量为3U丿k(E+8+8)，这里k不为零.123对九

34、=0，求出A的两个线性无关的特征向量-1r1g=1，g=010丿21丿故A的所有特征向量为(k+k)8+k8+k8，或k(8+8)+k(8+8)，这里k、k不全为零.1211223112213128分)院系负责人签字1462品丿(2)由于A有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化.300、则T-1AT二000H00丿注：也可以指出A是实对称阵，故A可以对角化.另外注意正交矩阵T的取法不唯四、(1)证明(方法1)由于dimPx=n，只需证明1,x-a,(x-a)2,(x-a)n-1线性无关：设nk-1+k(xa)+k(xa)2+k(xa)nt=0，令x=a，得k=0，又对等式两边求导后令x=a，

35、123n123n1,x-a,(x-a)2,，(x-a)n-1是Px的一组基；(5分)n得k=0，再求二阶导数，求n-1阶导数，分别得到k=k=0，于是(方法2)已知1,x,x2,xn-1是Px的一组基，求出(1,x-a,(x-a)2,(x-a)n-1)=n（l,x,X2,xn-1）A中的矩阵A，只需说明A可逆，便得结论；（方法3）由数学分析中的泰勒定理可知，对于Vf（x）ePx，都有n/(x)-/(a)1+/(a)(xa)H1(n-1)!f(n-1)(a)(x-a)n-1又已知dimPx-n，故1,xa,(xa)21）中有一个向量可由其余的向量线性表12s孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。广东石

36、油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 出，那么向量组a,a，,a称为线性相关的.12s（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注对如下定义也视为正确：向量组a1巴，,a的-个部分组a1,a称为-个极大线性无关组，是指：（i）a,a，,a线性无关；（ii）a,a，,a可由a,a，,a线性表出.iIi-t12sII展开定理

37、亦可.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注用公式写出按行（或列）二、判断题：（在括号里打“V”或“X”，共20分）1a+ba+b1122a+ba+b3344aabb=12+12aabb3434（X）2（s1）线性相关，贝y其中每个向量都是其余向量的线性组合.X）n!在全部n（n1）级排列中，奇排列的个数为刁.若排列abed为奇排列，则排列badc为偶排列.若矩阵A的秩是r，则A的所有高于r级的子式（如果有的话）全为零.若一组向量线性相关，贝至少有两个向量的分量成比例当线性方程组无解时，它的导出组也无解对n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，等

38、价向量组的秩相等10齐次线性方程组解的线性组合还是它的解3456789方程组一定无解（V）X）（V）（X）（X）（X）（V）（V）、（共18分）计算行列式182764123334311111491612232421234解原式=1234123412232421111111112333431）注用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分abbeea11（2）eab1b+ee+aa+b1222丄解将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式=0.注本题也可以从第4行提取公因子2，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式=0.a+xaa112

39、naa+xa122n(xxx12naaa+x12nna+xaaax(1+Y1123n1xx00i=11203）主0).-x120（1+22）.xi=1i注本题也可按最后一列（或行）=xxx12na+xaaa+xa0112n112aa+xaaa+x0122n+122aaaaax12n12n展开，得递推式：有正确的递推式但结果有误，给3分另外对按第一行Dnaxxx+xD，答案正确给满分,n12n1nn1或列）展开者类似给分四、设向量组a=（1,1,0,。）,a=（1,2,1,1）,a=（0,1,1,1）,a=（1，3,2,1）,a=（2,6,4,1）试12345求向量组的秩及其一个极大线性无关组，

40、并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出（10分）(11012、1010-112136011020112400011.01111丿00000丿解5分)故向量组的秩为3，a1,a2,a4是个极大线性无关组，并且8分)10分)a=-a+a,a=-a+2a+a.3125124注本题关于极大线性无关组答案中，除a,a,a不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极123大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分五、讨论九取什么值时下列线性方程组有解，并求解.（10分）九x+x+x=1TOC o 1-5 h z123V0000丿（1（3）当九=1时，增广矩阵111有无穷多组解

41、，通解为111九11解方程组的增广矩阵为1九11，系数行列式为1九111九1丿11九（1）当九主1且九主时,方程有唯一解，此时二（九+2）（九一1）22分）机111、+2九+2九+231九111九11v0003丿7，无解；1+2九一1九一1（3分）31+2九-1九+2九-1九+2丿5分）7分）x-1一x一x（x,x为自由未知量），或表成g-（1,0,0）+k（_1,1,0）+k（一1，0，1）.（10分）1232312注本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分六、证明题：（每小题10分，共30分）1.证明：如果向量组a,a，,a线性无关，而a,

42、a，,a,卩线性相关，则向量卩可以由12r12r巴巴，巴线性表示，且表示法唯一.（10分）.rr+1ka+ka+ka+kP=011_22rrr+12分）又由32；，a线性无关，得k丰0（否则,r+1a1，a2宀2r线性相关矛盾）4分）kk于是，卩=十a严ak1k2r+1r+1kla；krr+15分）证明由巴巴，巴，卩线性相关，存在不全为零的数k1，勺，,k，k1,使(2)设卩=ca+ca+ca，卩=la+1a+1a，贝U1122rr1122rrca+ca+ca=1a+1a+1a，艮卩(c1)a+(c1)a+(c1)a=0,1122rr1122rr111222rrr由于a,a，,a线性无关，故c

43、一1=0,c一1=0,c一1=0，即c=1(i=1,2,，丫).12r1122rrii(10分)2证明：若向量a,卩，丫线性无关，则a+卩，卩+丫,Y+a也线性无关并说明该结论对4个向量的情形是否成立证明设k(a+P)+k(P+y)+k(y+a)=0，即(k+k)a+(k+k)P)+(k+k)y=0,123131223(2分)由于a，卩,y线性无关，故有k+k=0解之得，k1=k2=k3=0(5分)6分)13k+k=012k+k=023故a+p,p+y,y+a也线性无关.对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量a,a,a,a线性无关，并不能得到向量1234a+a,a+a,a+a,a+

44、a线性无关的结论TOC o 1-5 h z12233441注1由(a+a)(a+a)+(a+a)(a+a)=0知，a+a,a+a,a+a,a+a是线1223344112233441性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论:若4个向量a,a,a,a线性无关，则向量a+a+a,a+a+a,a+a+a,a+a+a也线性无关.该答案1234234134124123也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者，不得分.3设a,a，a是数域P中个互不相同的数，b,b，,b是数域P中任一组给定的数求证： HYPERLINK

45、l bookmark344 o Current Document 12n12n(1)存在唯一的数域P上的次数不超过n一1的多项式f(x)=c+cx+cxn-2+cxn-1，使01n一2n1f(a)=b,i=1,2，,n；ii(2)特别的，求出使f(a)=an-1,i=1,2，,n成立的n一1次的多项式f(x).ii证明(1)将f(a)=b,i=1,2，n，代入f(x)=c+cx+cxn-2+cxn-1，得ii01n一2n1rc+ac+an2c+an1c=b0111n21n11c+ac+an2c+an1c=bv0212n22n12(2分)c+ac+an2c+an1c=b0n1nn2nn1n广东石

46、油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学(2)班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学(2)班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 由于系数行列式1a1an111a2an121anan1n1ijn=n(aa)主0,ji4分)故线性方程组有且仅有唯一解即存在唯一的数域P上的次数不超过n-1的多项式f(x)=c0+7+cxn2+cxn1，使f(a)=b,i=1,2,n；n2n1iin1=0,D(2)由克莱姆定理=今=0，xn-1xn15分)寻=d=1，故使/(a.)=an-1，10分)i=12,n成立的n1次的多项式为f(x)=xn

47、-1.注对(2)不用克莱姆定理，而直接观察出f(x)=xn-1的也给满分.七、(附加题)证明或否定如下结论：若三个向量U,卩,Y两两线性无关，则a,卩,Y线性无关并说明在三维几何空间中的意义.(10分)解本结论的几何描述是：三个矢量(向量)两两不共线，则它们不共面.(5分)很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.(10分)注否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),卩=(0,1,0),Y=(1,1,0)等，或构造三个二维向量,使它们两两线性无关.试题十及答案一、判断题：(每小题2分，共30分，在括号里打“V”或“X”)零多项式的次数为零.(X)零多项式与f

48、(x)的最大公因式为f(x).(J)设f(x),g(x),d(x)&Px且3u(x),v(x)&Px，使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，则TOC o 1-5 h zd(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式.(X)零次多项式能整除任一多项式.(V)若h(x)|f(x)，但h(x)不整除g(x)，则h(x)不整除f(x)+g(x).(V)6设h(x)f(x)g(x)，但h(x)|g(x)，则h(x)f(x).(X)7.若是f(x)的导数f(x)的k重根，则a为f(x)的k+1重根.(X)8设P匸P，P、P为数域，如果在Px中f(x)与g(x)互素，则在Px中f(x)与g(x)也

49、互素.(V)9若(f(x),f(x)=1，且(f(x),f(x)二1，则(f(x),f(x)二1.(X)12231310若p(x)在数域P上不可约，则p(x)在P上没有根.(X)11设f(x)eQx，如果f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约.(X)12.若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x).(X)13设p(x)是不可约多项式，如果(x)=f(x)g(x)，则f(x)与g(x)有且仅有一个为零次多项式(V)设f(x)ePx，且f(-1)=f(1)=0，则x2-1|f(x).(V)n次实系数多项式的实根个数的奇偶性与n的奇偶性相同.(V)二、填空题：(每小题2

50、分，共10分)1.若(x-1)3x6+ax4+bx2+c，贝ya-3，b二3，c=_1.若p(x)，q(x)均为P上的不可约多项式，且(p(x),q(x)丰1，则p(x)与q(x)的关系是p(x)=cq(x),0丰ceP.若-1是f(x)=x5-ax2-ax+1的重根，贝ya=-5.用g(x)=2x+3除f(x)=8x3+9所得的余数r=-18.5.已知1+2i为f(x)=x3-3x2+7x5的一个根，那么f(x)的其余根是1,1-2i.三、计算题：(8分)求f(x)=2x5+2x4-3x3-7x2-x-3的根和标准分解式.f(x)=2(x5+x4-6x3-14x2-11x-3)=2(x+1)

51、4(x3)2.(10分)九为何值时，f(x)二x3-3x2+九x一1有重根.解因为f(x)二3x2-6x+九，作辗转相除法，要使f(x)有重根，则必须(f(x),f(x)丰1，3f(x)=(x-1)f(x)+一3)(2x+1)，若九二3，则(f(x),f(x)丰1；九鼻3，由于2f(x)=(3x-125)(2x+1)+2X+125，当2X+罗=0，即-时(f(x),f(x)丰1.故当九3或入=-时，f(x)有重根.3.(12分)设f(x)=x4+x3-3x2-5x-2，g(x)=x3+x2-2x-2.(1)用辗转相除法求(f(x),g(x).(2)求u(x)，v(x)使(f(x),g(x)=u

52、(x)f(x)+v(x)g(x).答案(1)(f(x),g(x)=x+1；(2)回代得：2x+2二(x-2)f(x)+(-x2+2x+1)g(x)，故取u(x)=2(x一2),v(x)=2(-x2+2x+1)，使(f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).四、证明题：(每小题10分，共30分)1.设f(x)二x5+5x+4，证明：(1)f(x)在Q上不可约；(2)f(x)至少有一个实根，但不是有理根.证明(1)令x=y+1，则f(y+1)二(y+1)5+5(y+1)+4二y5+5y4+10y3+10y2+10y+10，取p=5，由Eisenstein判别法知，f(y+1)在Q上不

53、可约，从而f(x)在Q上不可约;注也可利用反证法证之：若可约，则f(x)能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略.(2)因为f(x)是奇次的，则f(x)必有一个实根，此根若是有理根，则f(x)在Q上可约，矛盾.注奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将f(x)在实数域上作标准分解,由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式f(x)一定有一次因式，因此f(x)必有一个实根.另外，对f(x)没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知.2.设f(x),g(x)不全为零，证

54、明(f(x),f(x)+g(x)=(g(x),g(x)-f(x).证明设(f(x),f(x)+g(x)二d(x)，(g(x),g(x)-f(x)二d(x)，12由d(x)|f(x),q(x)|f(x)+g(x)nd(x)|(f(x)+g(x)-f(x)=g(x)nq(x)|g(x)-f(x),又d2(x)为g(x)与g(x)-f(x)的最大公因式，故q(x)|d2(x)；反之，由d2(x)|g(x)，d2(x)|g(x)-f(x)ndx)|g(x)-(g(x)-f(x)=f(x)nd2(x)|f(x)+g(x)，又d/x)为f(x)与f(x)+g(x)的最大公因式，故d/x)|q(x).又d(

55、x)、d(x)均为首1多项式，从而d(x)二d(x).3.若整系数多项式f(x)有根-，这里(p,q)=1,q证明因为f(x)的根，则f(x)=(x-)g(x)，g(x)为整系数多项式.qq由f(1)=(1-q)g(1)，即qf(1)=(q-p)g(1)，(q-p)|qf，又(q-p,q)=1，故有(q-p)|f(i)；由f(-1)=(-1-p)g(-1)，得-qf(-1)=(q+p)g(-1)，同理可得(q+p)|f(-i).注可以由(x-)f(x)，得(qx-p)|f(x)，f(x)=(qx-p)h(x)，由于qx-p是本原多项式，故qh(x)为整系数多项式，f(1)=(q-p)h(1)，

56、f(-1)=-(q+p)h(-1)，因此有(q-p)|f,(q+p)|f(-1).试题十一及答案、判断题(在括号里打“V”或“X”，每小题2分，共20分)1.若向量组J,J，,J与向量组卩,卩，卩都线性无关，则a,a，,a,卩,卩，卩也线性TOC o 1-5 h z12s12t12s12t无关；(X)n维线性空间V中任何n个线性无关的向量都是V的一组基；(V)对n维线性空间V中任何非零向量a,在V中一定存在n-1个向量卩，卩，,卩，使得12n-1a,卩，卩，卩作成V的一组基；(V)112n-1三个子空间V,V,V的和V+V+V为直和的充要条件是VcVcV=o；(X)123123123把复数域看

57、成实数域R上的线性空间，它与R2是同构的；(V)线性空间V的两组基a,a，,a到卩，卩，,卩的过渡矩阵是可逆的；(V)12n12nV的任意两个子空间的交VcV与并VuV都是V的子空间；(X)8.集1212合W=AAGPnxn,|A|=作成Pnxn的子空间；(X)实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；(X)设n元实二次型的正负惯性指数分别为s,t，则必有s+1n.(V)二、填空题(每小题2分，共20分)1.如果dimV=m，dimV=m，dim(V+V)=m，则dim(VcV)=m+m-m.1122123121232两个有限维线性空间V、V同构的充分必要条件是dimV=dimV

58、.12123.两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.4设实二次型的秩为r，负惯性指数为q，符号差为m，则r、q、m的关系是r=m+2q.5.2x2级实对称矩阵的所有可能的规范型是：厂00、(10、(-10、(10、,(10、(-10、00/100丿100丿01丿10-1;0j.设基a,a，,a到基卩，卩，,卩的过渡矩阵是A，而基卩，卩，,卩到基Y,Y,Y的过渡矩阵12n12n12n12n是B，则丫,丫，丫到a,a，,a的过渡矩阵是B-iA-i.12n12n已知a,卩,Y为线性空间V的三个线性无关的向量，则子空间L(a,卩)+L(卩,Y)的维数为3.若dim(V+V)=dimV+dim

59、V，则VcV=0.121212广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编广东石油化工学院高州师范学院数学与计算机系310数学（2）班成伟滔编孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 孩儿立志出乡关，学不成名誓不还。 #9.设三维线性空间V的基a,a,a到卩，卩，卩的过渡矩阵为A123123(-11n.三、简述下列定义（共12分）1.n级矩阵A、B合同：如果存在可逆矩阵C，使得B=CAC2子空间的和V+V=a+aaeV,i=1,21212ii3.生成子空间L(a1,a2,a3)=ka+ka+ka|Vk1122331ieP,i=1,2,34子空间的直和：V1+V2中每个向量a的分

60、解式a=a1+a2（a;eV,i=h2）是唯一的四、（10分）设卩可由a,a，,a线性表出，但不能由a,a，,a线性表出，证明：TOC o 1-5 h z12r12r-1L（a,a，a,a）=L（a,a，a,卩）.12r-1r12r-1证明只需证明向量组,a，,a,a与,a，,a,卩等价：易知,a，,a,卩可由12r-1r12r-112r-1与a,a，,a,a线性表示，另一方面，由于卩可由a,a，,a线性表出，故有12r-1r12rP=ka+ka+ka，且k丰0，（否则卩可a,a，,a线性表出，矛盾），于是1122rrr12r-1a二y1a丁1a+卩，因而a,a，,aa可由a,a，,a,p线性