2021-09贤科501vect space抽象的线性向量空间定义

1、Chapter 5线性(向量)空间Linear (Vector) Spa5.1Linear (Vector) Spa抽象的线性(向量)空间的定义,在1888年由 Giuseppe Peano (18581932) 给出.一系列历史发展:坐标几何(1636), (2), (3) 行向量, 矩阵, 变换;无坐标几何: Bolzano (1804) 的几何公理化 (点、直线、平面作为不定义元素, 赋予一定运算). 等.复数 四元数(1843) Grassmann代数(1862).最终1888年Peano发现,. 给出抽象、适用广泛的定义 :定义5.1: 设 F 是域, V 是一集合,如果V 中元间有

2、运算(称为加法), F 与V 的元间有运算(称为数乘),满足如下条件, 则称V 是 F 上的线性(向量)空间(Linear (vector) Space over F ) :I. V 对加法是Abel 群, 即满足(1) (V 对加法封闭) x y V(2) (结合律) ( x y) z x ( y z) ;(零元素) 存在0 V , 使0 x x 对任意 x V 成立;(负元素) 对任意 x V ,存在 y V 使 x+y 0 ;(交换律) x y y xII. 数乘运算与其它运算和谐, 即V 对数乘封闭, 即 x V ;( x y) x y ; (3) ( +);(4) ()x (x) ;

3、(1) 1x x ;其中 x,y,z V , , F , 1是 F 的乘法元.V 中元素称为 向量 (vector),F 中元素称为纯量或数量(scalar),F 称为基域或系数域, x 也记为 x .乘法宜先不考虑加法和数乘最根本例5.1 Fn和 F (n )都是 F 上线性空间., 2, 3 都是 上的线性空间. Mmn (F ) 是 F 上线性空间设 E 是 F 的扩域, 则 E 是 F 上线性空间.特别:例 5.2例 5.3特别 :(1) 是 上线性空间.( 2 ) a b 2 | a, b 是 上线性空间.(2) 是 上线性空间.设 p( X ) X 不可约, n 次, 为其一复根,

4、则( ) a a a n-1 | a01n-1i是 上线性空间.例5.4 F X 是 F 上线性空间.例5.5 F X n (即次数 n -1 的多项式集) 是 F 上线性空间.例5.6C0 (即连续实变量函数集) 是 上线性空间.:零元素(称为零向量) 唯一:任一向量 x 的负元素(称为负向量) 唯一:(3) x 0 0(4) -(or x 0 .) .证: (1) 若01, 02 都是零元素, 则01 02 01 (因02 是零元素),01 02 02 (因01 是零元素)故 01 = 02 .(2) 设 y, z 均为 x 的负元, 即 x y 0 x z , 则消去 x (即两边同加

5、x 的负元), 得y z(3) 0 x ,同加-x 得0 x 0 . 0 , 同加-x 得 0 0 .反之, 若 0 , 而x 0 , 同乘以 -1 , 得 x 0 .(4) ( 0 , (-x) 0 0 .定义 5.2设V 是 F 上的线性(向量)空间.(1) 向量组1,s V 的一个线性组合线性空间的简单性质11 ss( i F )(2) 向量组 S (可以有无限多向量)的一个线性组合是指其中某,即如下形式的有限和(i V , i F )(3) 若 V等于向量组 S 的一个线性组合,则称 可由 S 线性表出(或生成).若向量组 S2 中每个向量都可由 S则称S2 可由 S 线性表出(或生成

6、).,若向量集 S1 与S2 可以,则称二者线性等价, 记为S1 S2 .“线性等价”关系是一种等价关系,即满足: 反身性, 对称性, 传递性.(4) 若V 可由向量组 S 线性表出, 则称 S 是V 的一个生成元系.若V 可由有限向量组 S 生成, 则称 V 是的.定义5.3(1) 称向量组为(linearlydependent), 是指存在不全为零的常数1, s F 使., 或(linearlyindependent)(这意味着: 若11 +ss =0 , 必1 s 0 ).无限向量集 S 线性相关是指 S 有有限子集线性相关.V 中的这些定义和 Fn 中完全一样. 而且V 和 Fn 都满

7、足同样的10条件, 故 Fn 中用10条性质得到的一系列性质完全适用于一般的线性空间V .主要的列出如下, 就不重复证明了:(1) 一个向量线性相关当且仅当其为0.多个向量1, s 线性相关 当且仅当其中某k 可由1, k-1 线性表出.(2) 若 s t , 而可线性表出t 个向量 1 , t , 则若可s 个向量1 , s1 , t 必线性相关.线性表出线性无关的线性独立的否则称为线性无关的11 +ss =0线性相关的1, s Fn有限生成互相线性表出线性表出11 ss有限多个向量的线性组合若两个向量组 S1 S2 , 且都线性无关,则 # S1 # S2 .设T 是向量组 S 的子集,

8、称T 为 S 的极大(线性)无关组, 是指:T 是 S 的线性无关子集,(ii) 不存在.是 S 可由其极大无关组T 线性表出: S 的 极大无关组T ,T 等价(可互相线性表出).一个向量组 S 的各个极大无关组相互等价,含向量个数相同 (称为S的秩, 记为 r(S) 或r(S) )定义. 设V 是域 F 上的线性空间,称 W 是V 的子空间(subspace, 记为W V )是指:W V ,W 对V 的加法、数乘封闭(于是W 也是 F 上的线性空间).0, V 都是子空间(平凡子空间).除0, V 之外的子空间称为真子空间.1 , n 生成()的V 的子空间= k11 kn n |ki F

9、= 含1 , n 的V 的最小子空间.记为 F1 Fn ,或 span1 , n 线性空间V 的极大无关组称为 V 的 基 (basis).基的元素个数称 为 V 的 维数 (dimen),记为 dim(V) .引理5.1.向量组 B 是线性空间V 的 基1BB 可无表出 V21B无when dimV = n2B n .S 的线性无关子集T T1# B n ;B 可when dimV = n2表出 V. (1) 由 “(无关的) B 可线性表出V ”可知, B 是极大(无关)组. 因任意 B 相关.(2) B 必相关(否则V 的维数大于n ),故 B 可线性表出 .(3) B 必无关, 否则其

10、极大无关组也可表出V ,从而V 的维数小于n .可以证明(见附录):任一线性空间必有基.定义5.5 设V 是域 F 上线性空间,1 , n 是V 的基, V , a11 an n( ai F ),则称 (a1 , an ) 为 对于基1 , n 的(coordinate , 本义: 同等的事物)有时要区分坐标行、坐标列, 分别指:和注意.有时要强调基1 , n 中向量如此排定的次序,称其为 有序基. (本书一般用有序基, 只称为基.)给定有序基之后, 一个向量的坐标是唯一的.例5.7 (1) Fn 是 F 上n 为线性空间,1 (1, 0, 0) , , n (0, 0,1)是基, 称为自然基. 因为在对于此基, (a1 , an ) 的坐标就是自身. a1 = (1 , n ) a n a1 a n (a1 , an )坐标证明(2) Mmn (F ) 是 F 上m n 为线性空间, 基可取为:Ei j (1 i m ,1 j n )其中 Ei j 的(i, j) 位系数为1, 其余为0.(3) 是 上2维线性空间, 基可取为 1, i,i -1 .(由此可知 复数的几何表示 来源)(4) ( 2 ) a b