向量的共线问题证明共线问题常用的方法课件

1、向量的共线问题证明共线问题常用的方法课件向量的共线问题证明共线问题常用的方法课件向量的共线问题证明共线问题常用的方法课件 向量的共线问题 证明共线问题常用的方法.（1）向量 共线 存在唯一实数,使(2)向量 =(x1,y1), =(x2,y2)共线 x1y2-x2y1=0;(3)向量 与 共线(4)向量 与 共线 存在不全为零的实数1,2，使 向量的共线问题【例1】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),试判断两线段 是否共线？【审题指导】题目中给出了四个点的坐标，由此可得两向量 的坐标表示.要判断 是否共线，首先看是否满足 ，再说明线段AB与CD是否有公共点.【例1

2、】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),【规范解答】 =(2,4), =(-1,-6),-14-(-6)2=-4+12=80. 不共线，即点C不在直线AB上，同理点D也不在直线AB上，直线AB与CD不共线，即线段AB与CD不共线.【规范解答】 =(2,4), =(-1,-6),【例2】已知 =(1,2), =(-3,2).若平行，求实数k的值.【审题指导】本题考查由两向量的共线求参数的问题，要求学生熟练掌握两向量共线的条件.通过两向量共线可得坐标的关系，列出等式，求得参数的值.【例2】已知 =(1,2), =(-3,2).若【规范解答】方法一：向量 平行，则存在唯一实数，使 =k

3、(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4). =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),(k-6,2k+4)=(14,-4).即实数k的值为-1.【规范解答】方法一：向量 平行，则方法二： =k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4), =2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4), 平行，（k-6）(-4)-(2k+4)14=0.解得k=-1.方法二： =k(1,2)+2(-3,2)=(k 向量的夹角和垂直问题1.两向量的夹角公式.非零向量 =(x1,y1), =(x2，y2)的夹角为，则有2.两向量垂直的条件. 向量的夹角和垂直问题 要分清两向量垂直的条件和两向量平行

4、的条件坐标表示的区别. 要分清两向量垂直的条件和两向量平行的【例3】设两个向量 ，满足 |=2,| |=1, 的夹角为 ，若向量 的夹角为钝角，求实数t的范围.【审题指导】题目中给出向量的夹角以及 =2和| |=1等条件，由公式cos= 可得若为钝角，则cos0且cos-1，即 0.同时也应注意向量的共线反向这一情况.【例3】设两个向量 ，满足 |=2,| |【规范解答】由已知为钝角，2t2+15t+70,得-7t .又由t的取值范围是（-7， ）( , ).【规范解答】由已知【例4】求证：ABC的三条高线交于一点.【审题指导】证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点，然后让另一个顶点与该点的

5、连线与其对边垂直.【例4】求证：ABC的三条高线交于一点.【规范解答】如图，已知AD，BE，CF是ABC的三条高，设BE，CF交于点H，且令可得因为所以所以 运算并化简得【规范解答】如图，已知AD，BE，CF是ABC的三条高，设所以又ADBC且AHAD=A,所以A、H、D三点共线，所以AD，BE，CF相交于一点H.即ABC的三条高交于一点.所以 向量模的问题 解决向量模的问题常用的策略（1）应用公式： = (其中 =(x,y);（2）应用三角形或平行四边形法则；（3）应用向量不等式 (4)研究模的平方 向量模的问题【例5】【审题指导】本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的运算，可以用平方求解

6、法，也可以由 =1，设出 的坐标，化为坐标运算.【例5】【规范解答】方法一：【规范解答】方法一：方法二：设 =(x1,y1), =(x2,y2), =1,x12+y12=x22+y22=1. =(3x1-2x2,3y1-2y2), = =3,x1x2+y1y2= ,方法二：设 =(x1,y1), =(x2,y2), 待定系数法解决向量问题 待定系数法在向量中的应用待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于某些数学问题，若已知所求结果具有某种确定的形式，则可引入一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形比较，建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出相应的字母（或参数）的值

7、，进而使问题获解，这种方法称为待定系数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如平行向量基本定理、平面向量基本定理就是这种方法的体现形式. 待定系数法解决向量问题【例6】如图，在ABC中，M是BC的中点，N在AC上且AN=2NC，AM与BN交于点P，求APPM的值.【审题指导】题目中给出了M点是ABC的边BC的中点，AC边上的点N满足AN=2NC，欲求APPM的值，可适当选取基底表示出 因为点A、P、M共线，若有 则为APPM的值.【例6】如图，在ABC中，M是BC的中点，【规范解答】 A、P、M与B、P、N共线, APPM=41.【规范解答】 平面向量的应用 平面向量两个方面的应用(1)在平面几

8、何中的应用.向量的加法运算和全等、平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.(2)在物理中的应用.主要解决力、位移、速度等问题. 平面向量的应用【例7】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：（1）BECF；（2）AP=AB.【审题指导】本题欲求证线段垂直和相等，可转化为向量的垂直和向量的模相等问题.已知正方形ABCD，可建系设点，把向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决.【例7】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点，B【规范解答】如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设A

9、B=2，则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1) =(1,2)-(2,0)=(-1,2)， =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)， =-1(-2)+2(-1)=0， 即BECF.【规范解答】如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨（2）设P(x,y)，则 =（x,y-1）, =(-2,-1)，-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由 ，得y=-2x+4,代入x=2y-2.（2）设P(x,y)，则 =（x,y-1）, =(【例8】如图所示，求两个力的合力 的大小（精确到0.1 N）和方向（精确到分）.【审题指导】题中给出两个力的大小及夹角的数

10、值，欲求合力，可利用向量的加法运算，在三角形中解决.【例8】如图所示，求两个力【规范解答】设 =(a1,a2), =(b1,b2),则a1=300cos30259.8,a2=300sin30=150.0，b1=-200cos45-141.4,b2=200sin45141.4,所以 =(259.8,150.0), =(-141.4,141.4), =(259.8,150.0)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),【规范解答】设 =(a1,a2),设 与x轴的正向夹角为,则tan= 2.461 1.由 的坐标知是第一象限的角，所以6753.所以两个力的合力是314.5 N，与

11、x轴的正方向的夹角为6753，与y轴的夹角为227.设 与x轴的正向夹角为,1.设平面向量 =（3,5）, =（-2,1）,则 =( )（A）（7，3）（B）（7,7）（C）（1,7）（D）（1,3）【解析】选A. =(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).1.设平面向量 =（3,5）, =（-2,1）,则 2.给出下列各命题：（1）向量 的长度与向量 的长度相等；（2)向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条

12、直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）52.给出下列各命题：【解析】选C.抓住方向、长度、零向量，结合作图判断.（1）真命题.（2）假命题.若 与 中有一个为零向量时，其方向是不确定的.（3）真命题.（4）假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.（5）假命题.共线向量所在的直线可以重合，也可以平行.（6）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.【解析】选C.抓住方向、长度、零向量，结合作图判断.3.已知 =(1,0), =(0,1),则与向量 垂直的一个向量为( )（A） （B） （C） （D）【

13、解析】选C.设 则 =0，且 故2a+b=0，C项符合.3.已知 =(1,0), =(0,1),则与向量 4.若 则=( )（A） （B） （C） （D）【解析】选故=- .4.若 则=( )5.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B两点，且 则 =_. 【解析】如图，作ODAB于D，则在RtAOD中，OA=1，AD= ，所以AOD=60，AOB=120，所以 =11(- )= .答案:5.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B6.已知向量 =( ,1), 是不平行于x轴的单位向量,且 则 =_.【解析】设 =(m,n)，依题意有又 不平行于x轴，故答案:

14、6.已知向量 =( ,1), 是不平行于x轴的单7.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_个互不相等的非零向量.【解析】可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中 长度为2的向量有4个，其中 长度为3的向量有2个，分别是 ，所以最多可以写出6个互不相等的非零向量.答案:67.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别8.已知 =(1,2), =(-2,n), 与 的夹角是45.(1)求 ;(2)若 与 同向,且 垂直,求 .【解析】(1)由条件知, =（1，2）(-2,n)=-2+2n.-2+2n= cos45.解得n=6. =(-2,6).8.已知 =(1,2), =(-2,n), 与 的夹(2) 与 同向，可设 (0).则 =(-2,6), =(-2-1,6-2). -2-1+(6-2)2=0，解得= . =(-1,3).(2) 与 同向，可设 (0).9.设向量 满足 =1及| |=3,求| |的值.【解析】 =1,故设 =(cos,sin), =(cos,sin), =|4(cos,sin)-3