复变函数论钟第七章

1、12022/9/67.1 解析变换的特性7.1.1 解析变换的保域性7.1.2 解析变换的保角性7.1.3 单叶解析变换的共形性第七章 共形映射22022/9/6定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.证 首先证明G的每一点都是内点.设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f

2、(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.1解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有对在邻域32022/9/6因此根据儒歇定理,在C的内部与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解. 由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到 其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.（连

3、通性）一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1总结以上两点,即知G=f(D)是区域.42022/9/6证 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.注 满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)0,则f(

4、z)在z0的一个邻域内单叶解析.52022/9/67.1.2 解析变换的保角性导数的几何意义设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数通过z0任意引一条有向光滑曲线C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z) 的参数方程应为 则且必存在它的倾角为Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象曲线由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.又由于故 在w0=f(z0)也有切线，设其倾角为，则就是切向量,62022/9/6Cx0yzz0z0+z图7.1w=f(z)uv0ww0w0+w且（7.1）（7.

5、2）如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：(7.1)说明:象曲线 在点 的切线正向,可由原曲线C在点 的切线正向旋转一个角度 得出。 仅与 有关,而与经过 的曲线C的选择无关,称为变换 在点 的旋转角。导数辐角的几何意义.(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是 ,它仅与 有关,而与过 的曲线C的72022/9/6方向无关,称为变换w=f(z)在点 的伸缩率.这也就是导数模的几何意义. 上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,

6、这个性质,称为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将 处无穷小的圆变成 处的无穷小的圆,其半径之比为 . 上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.上式可视为82022/9/6经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角.Ox(z)z0定义7.1 若函数w=f(z)在点 的邻域内有定义,且在点 具有:(1)伸缩率不变性;(2)过 的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下,既保持大小,又z0z0z0保持方向;则称函数w=f(z)在点 是保角的,或称w=f(z)在点 是保角变换. 如果w=f(

7、z)在区域D内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内是保角变换.z0z092022/9/6转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性. 通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f (z0).OxyOuv(z)(w)z0w0102022/9/6相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性

8、。yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2112022/9/6定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称w=f(z)在区域D内是保角的.总结上述讨论，我们有以下结论：例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 处的导数值,并说明几何意义。解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为3，旋转角为 。122022/9/6定义7.2 如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是共形的,也称它为D内的共形映射. 7.1.3 单叶解析

9、变换的共形性定理7.6 设w=f(z)在区域D内单叶解析.则 (1)w=f(z)将D共形映射成区域G=f(D). (2)反函数 在区域G内单叶解析,且证 (1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G. (2)由定理6.11, ,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.于是,当 时, ,即反函数 在区域G内单叶.故132022/9/6由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故 由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点 及其一个

10、邻域 内为连续，即在邻域 中,当 时,必有故即142022/9/6在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理的几何意义.152022/9/6OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2162022/9/6第二节 分式线性变换 7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质7.2.3 分式线性变换的应用172022/9/6(7.3)为分式线性变换.简记为w=L(z).1

11、.定义7.2.1 分式线性变换及其分解称变换注:条件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,则 约定：w=L(z)的定义域为C：(7.4)结论w=L(z)将CCw=L(z)的逆变换为 w=L(z)在扩充z平面上是保域的182022/9/62. 分式线性变换 w=L(z)的分解结论：分式线性变换 w=L(z)可以分解为如下简单变换的复合整线性变换旋转变换伸缩变换平移变换反演变换关于单位圆周的对称变换关于实轴的对称变换192022/9/6O(z)(w)zwbi)w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相加, z沿向量b的方向平移一段距离|b|后, 就得到w.O(z)=(w)zw

12、aii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短) 倍后, 就得到 w.202022/9/6zw1w1O圆周的对称点CPPrTOP与P关于圆周C互为对称点212022/9/67.2.2 分式线性变换的映射性质1.保角性（或共形性）而i)与ii)是平移,旋转和伸缩变换,显然是共形的,所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是共形的。定理一 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的, 且具有保角性.而分式线性变换是上述三种映射复合而构成的,因此有222022/9/6映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,

13、 （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性。映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.2. 保圆性因此, 映射w=1/z将方程变为方程当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线;当a=0,d0：直线映射成圆周；当a=0,d=0：直线映射成直线.这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.232022/9/6定理二 分式线性变换将扩充 z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性. 根据保圆性, 在分式线性变换下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果

14、有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.242022/9/6定义7.5 关于圆周 对称是指 都在过圆心a的同一条射线上,且满足此外,还规定圆心a与点关于 为对称的。3. 保对称点性定理7.11 扩充z平面上两点 关于圆周 对称的充要条件是,通过 的任意圆周都与 正交.定理7.12 设扩充z平面上两点 关于圆周 对称,w=L(z)为一线性变换,则 两点关于圆周 对称.证 设 是扩充w平面上经过 的任意圆周.此时,必然存在一个圆周 ,它经过 ,并使 ,因为 关于 对称,故由定理7.11, 与 亦正交.这样,再由定理7.11即知 关于 对称.252022/9/6CRz0z1z2zG262022/9

15、/6当四点中有一点为时,应将包含此点的项用1代替.例如z1= 时,即有亦即先视z1为有限,再令 取极限而得.定义7.4 扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构成下面的量,称为它们的交比,记为(z1,z2,z3,z4): 4. 保交比性272022/9/6定理7.8 在线性变换下,四点的交比不变.证 设则因此定理7.9 设线性变换将扩充z平面上三个相异点z1,z2,z3指定为w1,w2,w3,则此分式线性变换换就被唯一确定,并且可以写成 (7.10)(即三对对应点唯一确定一个线性变换).282022/9/6例1 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单

16、位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|1且满足 的分式线性变换.342022/9/6352022/9/6x1y(z)OOuv(w)1a例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性变换.362022/9/6解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与372022/9/6所以 |k|=1, 即k=eij. 这里j是任意实数.由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点z=1代入上式, 得因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是38202

17、2/9/6 反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq (q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0 的分式线性变换.解 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|1的中心. 所以由(6.3.5) 得402022/9/6解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|0映射成|w-2i|2且满足条件 的分式线性变换.412022/9/62i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)4

18、22022/9/6 第三节 某些初等函数所构成的共形映射7.3.1 幂函数与根式函数7.3.2 指数函数与对数函数7.3.3 由圆弧构成的两角形区域的共形映射432022/9/6(7.15)其中 为大于1的自然数。除了 及 外，它处处具有不为零的导数，因而在这些点是保角的。7.3.1 幂函数与根式函数幂函数 因为(7.15)的单叶性区域是顶点在原点张度不超过 的角形区域。于是幂函数(7.15)将角形区域 共形映射成角形区域 .特别地， 将角形区域 共形映射成w平面上除去原点及正实轴的区域。442022/9/6O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn452022/9/6

19、7.3.1 幂函数与根式函数(7.16)作为 的逆变换将w平面上的角形区域 共形映射成z平面上的角形区域 .于是 和 的映射特点是扩大与缩小角形域。例1 求把角形域0arg zp/4映射成单位圆|w|1 的一个映射.解 z=z4将所给角形域0arg z0. 又从上节的例2知, 映射将上半平面映射成单位圆|w|1,因此所求映射为462022/9/6(z)OO(z )1(w)z = z4472022/9/6例2 求一个将映射为单位圆|w|1的映射。解482022/9/6例3 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.aj0(w)O1C1C2a(

20、z)O-iiaO(z)1492022/9/6解 令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=, 将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:其中k为待定的复常数。502022/9/6在任意有限点均有 ，因而它在z平面上是保角的。7.3.2 指数函数与对数函数指数函数(7.17) 因为（7.17）的单叶性区域是平行于实轴宽不超过 的带形区域。于是指数函数（7.17）将带形区域 共形映射成角形区域 .特别地， 将带形区域 共形映射成w平面上除去原点及正实轴的区域。作为 的逆变换将w平面上的角形区域 共形映射成z平面上的带形区域 .512022/9/6

21、aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw522022/9/6由指数函数w = e z 所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa. 例4 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的 一个映射.z=e z532022/9/6例5 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。1-11-1542022/9/6O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-aO(t)(b-a)i例6 求把带形域aRe(z)0的一个 映射.552022/9/6xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBC

22、D例7 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.562022/9/6xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a572022/9/6解 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12,

23、得到具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面.582022/9/6 由于分式线性变换的保圆性，它把已给两角形区域共形映射成同样形状的区域、或弓形区域、或角形区域。只要已给圆周（或直线）上有一个点变为w=，则此圆周（或直线）就变成直线。如果它上面没有点变成w=，则它就变为有限半径的圆周。所以，若二圆弧的一个公共点变为w=，则此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成角形区域。 借助于分式线性函数，以及幂函数或指数函数的复合，可以将二圆弧或直线段所构成的两角形区域，共形映射成一个标准区域

24、，比如上半平面。7.3.3 由圆弧构成的两角形区域的共形映射592022/9/6x1-ii-1C1C2y(z)O解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交. 交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于 .602022/9/6此点在第三象限的分角线C1上. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.x1-ii-1C1C2y(z)OC2C1Ouv(w)映射的角形区如图所示612022/9/6 第四节 关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理 7.4.1 黎曼存在定理7.4.2 边界对应定理622022/9/67.4.1 黎曼存在定理注(1)唯一性条件(7.19)的几何意义是:指定aD变成单位圆的圆心,而在点a的旋转角 .它依赖于三个实参数.定理7.13 (黎曼存在与唯一性定理) 扩充z平面上的单连通区域D,其边界点不止一点,则有一个在D内的单叶解析函数w=f(z),它将D保形变换成单位圆|w|1;且当满足条件时,这种函数f(z)就只有一个.(2