线性代数基础讲义向量

1、n 维向量空间第三章向量是在研究运动学、几何学的问题时要用到的工具.这一节将从代数角度,将向量作为一个研究对象,定义 n 维向量及其线性运算,建立向量之间线性关系的有关理论,进而向量空间.这些理论将有效地用于建立线性方程组解的结构理论,解释一些矩阵变换的内在关系,向量及向量空间理论本身也是重要的数学工具.3.1n 维向量的定义几何和运动学问题中,在借助Descartes坐标系,利用向量来描述、解决问题.平面和空间中的向量分别只有两个或三个分量, a1 , a 2 , a 3 .但是在实际应用中,大量形如X a 1 , a 2 和X问题会涉及远远大于三个的数组.例如,对于一个Cincinnati

2、Milaroo机器人臂下达一个基本运动指令,其至少需要六个数的数组,y 分别表示机器人胳膊扫过的角度,肩 a , , e , , r , sp膀转动角,肘部伸展角,纵挂角,横挂角和偏航角.中的向量.又如八维该指令可以解释为六空间中的球面研究,这种现实中似乎不存在的球面,它的理论能成功的应用于对大量信息问题,这些都说明多个数组数据的的高维向量的广泛应用,在直观中,这些向量不易被察觉.但在数学上,它们是可以精确描述的研究对象.定义3.1 设 1 , , , n是数域F中的n个数，它2 a 1 a们组成的有序数组 或 a , a2, , a12n a n 称为n维向量。a i 是向量的第 i 个分量

3、或坐标。F为实数域时，称 为n称为n 维复向量。向量。F为复数域时，在向量的定义中，侧重的是n个数的序，是行或者列都可以表示出这种顺序关系。从矩阵的知，行向量和列向量也是1 n和n 1矩阵。在下面的内容中，若无特别说明，n 维向量均指n 维列向量。令R / x i R ，Rn 表示一切n向nTn量组成的集合， 是n向量则可简记为 Rn 。以下的向量理论将在实数范围内建立。例1（向量与矩阵） 设 A aij m n 为 m n矩 阵，则A的行为n 维行向量，A 的列为m 维列向量。例如A 37 时，A的两个行向量为3 7,04，1,4,515 。 0 37 A 的三个列向量为1 ， 4 ， 5

4、。a i ,一般地，A的m个行向量为，i 1,2 m 。,A 的 n个列向量为特别地，n阶，j 1,2。n a, mj的 n个列向量分别0 矩阵I n，0 记为1 0 1 0 e1 0 ， 0 0 0 0 1 （3.1）e2， en，(3.1)中向量称之为 n本向量。例2（向量与线性方程组）一个含 m个方程， n个未知量的线性方程组 a12 x2a1 n xn b1a11 x1x aa baxx2112222 nn2 ax aa bxxm 11m 22mnnm中，第 i 个方程中的系数常数ai1 , ai 2 , ain , bi ，i 1,2 m是一个行向量，未知量x j 的系数是一个列向量

5、T, amj ， j 1,2 na1 j , a2 j ,.方程组的解向量XTn x是使方程组中每一等式成立的向量。3.2n 维向量的线性运算定义3.2设 a , aT ，T, , a b , b, , b12n12n是n的加法向量，k 是实数域R中的一个数，则向量 ，数乘向量k 分别定义为（3.2）（3.3） a1 b1 , a 2 b 2 , , a n bnTk ka 1 , ka 2 , , kanT向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。向量的加法和数乘与向量作为n 1矩阵,相应的矩阵加法和数乘运算相一致，但在向量中,只建立线性运算这种基本运算。应用已有的矩阵运算性质，性质如下：可直接

6、给出向量的运算设 , , R n , k , l R , 则（1）（2） ， ( ) ( ) ，（3） 0 0，0 0,0, ,0T为零向量，（4） R n ,存在 Rn，使， ( ) 0（5）k (，, ) k k（6）( k l ) k l(7)(8),( kl ) k (l )1 , 即数1是数乘向量运算的元。设 1, 0, 4, 7T , 3, 2, 1, 6T例3，(1) 求 的负向量；（2）计算 3. ( ) 0 2 .解（1）因为 的负向量 是满足的向量，因此当 a1 , a 2 , a 3 , a 4 ， b1 , b 2 , b3 , b 4时，bi a i，i 1,2,3,

7、4.从而满足ai，即bi 0 1,0,4,7T ( 1)31,0,4,7T即. 23,2,1,6T（2）3 2 3,0,12 ,21T 6,4,2,12 T 3, 4,14, 9T .3.3向量组的线性相关性向量组的线性相关性是在一组n维向量中建立的向量之间的一种关系。3.3.1线性组合 1 , , , n 中的向量,k ,k ,12定义3.3设是 R2m,kn为R中的数，则形如下式的和k1 1 k 2 k m （3.4）2m称为向量 1 , 的线性组合。, , 2m若有向量, R使n（3.5） k1 1 k 2 k m 2m则称 是向量 1 , , , 的线性组合或称 可2m 1 , , ,

8、 由向量m 线性表示。2线性相关与线性无关是相互对立的概念。从定义3.4， 1 , 2 , , m 线性无关的充要条件是：mi 1 0,只有k i任取一组数k1 , k 2 , , k m，要线性相关的几何解释。k i 0, i 1,2, , mi（1）设 1 , 2，且, 12 线性相关，则存在一 R20 ,不妨设 k 1组不全为零的数k1 , k 2，使k 1 1 k 2 02k 2则 1 2。即R 2 中两个向量 1 , 线2性相关，等价k 1于1和 2共线。 x1 y1 x y 3（2）设R 中向量线性无关,则由（1，）1222 y 3 x3 中的分析， 1和 不2在过原点的同一条直线

9、上，从而它们决定一个平面。若向量 位于此平面上，则 可写成 和1332的线性组合： k1 1 k 2 2，从而3k1 1 k 2 , 023三个系数k 1 , k 2 , 1中，至少 1 0，从而这三个系数不全为零，由定义 1 , , 3 线性相关。2若3不在此平面上，则它们线性无关。例7 证明n本向量组线性无关。e1 , e 2 , , e 3 证任取数k1 , k 2 , , k n ，使得 k1 k 2k e ke ke1122nn k n 从而k e 0k1 e k21 k等价于 0,2 k n 即k i ,0i 1, , n，由定义线性无关。e , 3线性相关、线性无关是利用线性组合

10、来定义的，它们之间的关系为：定理3.1向量组线性相关的充要 , , m条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。证必要性：设, , ,线性相关，则存m在一组不全为零的数n ，使得k 0 ，k 12k 1k 2k i 1k i 1k m不妨设k 0 ，则， i 1 2 i 1 i 1 m k ik ik ik ik ii从而至少有一个是其余向量的线性组合。i充分性：不妨设 i是其余向量的线性组合,即 i l1 1 l2 2 li 1 i 1 li 1 i 1 lm m , l i 1 i 1lll i 0，l1则2i1i 1从而系数m 不全为零，故向量组l i 1 ,1, i 1 , ,l,

11、 l线性相关。 , , m这个定理揭示：一个线性无关的向量组中的向量是彼此“独立”的，其中任何一个向量不能由其他向量线性表示。若一个向量组线性相关，其中就一定有一个向量可以由其他向量线性表示。因此“不独立”。但在这个定理的条件下，并没有指出这些“不独立”的向量有多少个，是哪些，若加 1 , 2 , , , m强定理条件，会得到如下结果： 1 , 2 , , m 1 , , , m 2定理3.2 设向量组线性相关，m但线性无关，则可由向量k 组iii 1唯一的线性表示。k i这里唯一地线性表示是指，且其中的系数是唯一确定的。由定义，可直接导出向量组线性相关性的（1）含零向量的向量组是线性相关的，

12、一个向量 组成的向量组 线性无关的充要条件是：. 0（2）两个向量组成的向量组 1 , 2 线性相关的充要条件是1和2对应的分量成比例；（3）若向量组中的一个部分组线性相关,则这个向量组线性相关；若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关。3.4向量组的极大线性无关组这一节将在上一节建立的概念基础上，转n中两个向量组T: , , , ，T112而R: 1 , 2 , , s 2r之间的关系。从理论上研究在一向量组中，哪性组合的意义上“独立”,即线性无些向量关。3.4.1等价的向量组T1定T义23.5若向量组中的每一T1个向量都可T 2由向量组线性表示，T1则称向量组T 2可由向量组线性

13、表示。若向量组和向量组可互相线性表示，则称两个T1向量组等价T 。2 T1i向量组可由向量组线性表示是指：， k 1i k 2 ii 1, 2, r ,i21s k si 由矩阵分块运算，上述 r个式子可表示为k 1 rk 2 rk sr1112 s212221r 21，即向量组T1可由向量组T 2 线性表示等价于存在 K（3.8）矩阵K，使rs中的列向量时，（3.8当是）式是一个n,Rii矩阵方程。若T1和T 2等价，则存在矩阵使下列两式同时成立：和 MK11 1 s K 22r 1M2s2r向量组的等价关系具有下列三个性质：自反性： 一个向量组与其自身等价；对称性：若向量组T1 和向量组T

14、 2等价，则向量组T 2和向量组T1也等价；传递性：若向量组T1 和向量组T 2 等价，若向量组T 2例8和T 3 等价，则向量组 T1 和T 3等价。取 R3中向量T1:e1 , e 2 , e3 和T 2 : e1 , e 2 , e 3 , ，i 1,2,3 。则向量组T1和向量组其中T b1 , b 2 , b3 e i等价。T 2证首先e1 , e 2 , e 3 e1 , e2 , e3 , ，即e1 , e 2 , e3 是e1 , e 2 , e 3 , 的一个部分组，因此T1可由T 2 线性表示，; 又e1 e1 0e 2 0e3 0 如， b1 e1 b2 e 2 b3 e

15、3所以T 2 又可由线性表示，故向量组T1和向量组T1等价。定理3.3T 2: 1 , , , ,设 R中两个向量组T1n2rs ，若向量组T1 可由T 2线性表示，T 2 : 1 , , , 2且r s ，则向量组T1 线性相关。作为定理3.3的逆否命题，有 , , , r 可由向量组12s推论1若向量组 1 , 2, , 线性表示，而线性无关，则有。, r如果推论1中的两个向量组等价，又均是线性无关的向量组，则由推论1， 且，从而有。故有：若两个线性无关的向量组等价，则推论2它们所含的向量个数相等。3.4.2向量组的极大线性无关组定义3.6满足若向量组 T的一个部分组 1 , 2 , r

16、,（1）线性无关；r（2）向量组 T中每一个向量均可由, r线性表示，则称是向量组T 的一个1 , , , 2r极大线性无关组。注意到1 , , , T，所以 1 , 2 , , r 可由T2r线性表示，故T 的极大线性无关组是T 中的和 T等价的一个线性无关组。又任取T 中的一个不 的向量 （属于向量组若有的话），1 , , , 2r由 是 1 , r 的线性组合，可知, , 1 , , , , 22r线性相关，故向量组中加进T 中任何1 , , , 2r的一个其他的向量，则变为线性相关组。这说明 1 , 是按线性无关的性质 ，在T 中能, , 2r取到一个含向量数目最大的向量组。 11 0

17、 例9解求向量组的极大线性无关组。 2 , 2 , 4 123 4 4 0，故部分组 1 线性无关。又 1 和 2 对应 01的分量不成比例，所以部分组 1 , 2 线性无关。 1 , , 3线性无关,从而, 又，故321212是向量组的极大线性无关组。同理可验证， 1 , 3 3 也是向量组的极大线性无关组。由此可见, 2，向量组的极大线性无关组不是唯一的。例10求向量组 R的一个极大线性无关组。n, , en 线性无关,解已知中基本向量组e1 , e 2n 中任一 n 维向量nT 都可表示为 又Rnx1e1 x2 e2 xn en ,由定义 3.6,关组。是Rn的一个极大线性无e , 21

18、nn 中的极大线性无关组也不是唯一的，例R如n 2时，平面R 2 中任意两个不共线的向量均是R 2 的极大线性无关组。由定义 3.6,易推知一个向量组的任何两个极大线性无关组都是等价的。由定理3.3的推论2，这些极大线性无关组所含的向量个数相等。从而有：定理3.4一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数是唯一确定的数。把这个确定的数定义为向量组的秩。定义3.7一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数，称为向量组的秩。用秩的术语，定理3推论2可表述为：等价的线性无关组秩相等，由一个向量组等价于它的极大无关组，再由等价的传递性，两个等价的向量组各自的极大线性无关组也是等价的向量组，从而更一般的结论

19、是：定理3.5等价的向量组秩相等。定理 5 的逆命题不成立，即秩相等的向量组不一定等价。因为R n 中的基本向量e , e12, , en 是Rn的一个极大线性无关组，由定义7，R n的秩是n ，作为这个结果的推论，有结论：任意 n 1 个n维向量一定线性相关。3.4.3向量组的秩和矩阵秩的关系在3.1中，已经看到以R n 中的向量组A 1 , ,., 为列，可以得到矩阵 1 , ,., 2m2m这里主要关注A 的列向量之间的线性关系和秩A 的之间的关系，及如何借助于矩阵理论列向量之间的线性关系。定理3. 6矩阵A 的行初等变换不改变A 的列向量组的线性相关性和线性组合关系.设矩阵A 用一系列

20、行初等变换化为矩阵证B ，即：A 1 , 2 , ., m 则存在可逆矩阵P ,使得 PA（1）若有不全为0的数k1 , k 2B 1 , 2 , ., m ,.,B ,从而有下列关系mk m，使得k i 0，ii 1 0mm.矩阵P，有 两边k i P 0 ，即k i iii 1i 1反之，若存在k1 , k 2 , , k mm，使 k i i 0，两边左。i 1，即m ki 1m 0 k乘，有P 1 1 0Piiiii 1m ki i i 1 0.因此向量组 1 , 线性相关。线性相关,., 1 , ,., 2m2m(2) 若 A的列向量之间存在着某种线性关系，如一个列是其余列的线性组合

21、等。它的一般形式 0PAX 0矩阵P ,有是存在向量X ，使 AX即 BX 0。，从而 B的列向量之间也有同样的线性关系，反之也成立。例11向量组1 2 4 3 0 1131 , , , 3 12341 0 7 0 31的线性关系 。解取矩阵A 1 , ，用行初等变换, 3 , 24把A化为行标准形 B ： 210013 1101010000100 4 1A 23 10300 1 0100 .B2 3 3 700 01矩阵B作为行标准形，r ( B ) 3 .性关系是一目了然的。的列之间的线B的列向量 1 , , 3 , 4 中含有三个4本B2 e1向量，22 ，再加上， e e 0,1,2,

22、0T1433故B的列向量组的极大线性无关组为 1 , 2, 3 ， 0 1 2 3 .且42所以B 的列向量线性相关，由定理6，A 的列向量 1 , , 3 , 4线性相关，且 1 , , 3为其极大22线性无关组，定理3.7量组的秩。3。 0 1 242矩阵A的秩等于矩阵A列（行）向设矩阵A为m n矩阵，r ( A) r ，用行初等证变换把A化为行标准形：A 1 , 2 , ., n B 1 , 2 , ., n ，r ( B ) r ( A) r量中含m。而B的非零行数目为r ，r个列向本向量 e1 , e 2, , e r，它们是每一行第一个非零的数所在的列，其余列 i 至多只有前r维分

23、量非零，故 i可表示为e , e, , e 的线性组12r合，因此e1 , e 2 , , e r 是的列向量的极大线性无关组.所以秩 1 , 2 ,., n r r ( B ).由定理6，A列向量的秩与 B 的列向量的秩相等，.即秩 1 , 2 , ., r r ( A) rT由r ( A) r ( A)，把上述证明用在A 上T，可证明A 的秩等于A 的行向量的秩。推论 设 A为m n矩阵，r ( A) r，则有当r m 时，A 的行向量组线性无关；当 r 时m，的行A向量组线性相关。当r n 时，A 的列向量组线性无关；当r 时n，的列A向量组线性相关。特别地当 A为n 阶方阵时，A 的列

24、（行）向量组线性无关的充要条件是 A推论建立的结果是 0。一个向量组线性相关性的有效方法。结合定理6，就可以向量组的各种相关。 11 0 25 4 2 2 例12 设， 1 , 5 , 2 1 1 , 234 0 36 1 2 2 0 2（1）向量组 1 , , 3 , 4 的线性相关性；2（2）求 1 , 4 的极大线性无关组；, 3 , 2（3）把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。解取A 1 , ，用行初等变换把A 化, 3 , 24为行标准形： 12562 1200010 010003 2000 1A 110 2022 100000 00 01 01 1 322000 100 20

25、n ( 4)0 00 0（1）r ( A) 3 性相关性。，故向量组4 的线 1 , 2 , 3 , （2）A 的行标准形中，基本向量e1 , e 2在第1，, e 32，4列，故的A极大无关组为 1 , ,。 4 23，由标准形,（）其余向量为得 3 1 2 323 2 .，从而 3312例13设Rn 中的向量组 1 , 线性无关，2 , , n 证明向量组 1 1 2 , 2 3 , , n 1 n , n 1 n 12n，当n 为奇数时线性无关；当n 为偶数时线性相关.证由题目条件，向量组 1 , 2 , , n 可由向n 线性表示.具体为：100量组 1 , , , 21 10 110

26、0100 00 1 n n 1 , , , , , , 122nn 1 , 当向量组线性无关时，矩阵2n是可逆矩阵，由矩阵秩的关系, ,n 101 001 10 11) r ( 0 0，0 r ( , , ,)12n1 n n00 10110011 10 0 00 1 C令，则 1) n 1，于是C00当 n为奇数时线性无关；当 n为偶数时线性相关。3.5向量空间取一个向量集合V，如果对V 中的元素作向量线性运算以后的结果仍在中V ，那么V对线性运算一个“系统”，称这样的向量集V合为向量空间。3.5.1向量空间的概念定义3.8设V 是数域F上n 维向量的集合，且满足对向量的线性运算封闭，即（1

27、） , V ，有 V ；（2） V，数k F ，有 k V，则称向量集合V 是数域F 上的向量空间。若F是实（复）数域，则称V 为实（复）向量空间。在以下内容中，若无特别说明，所涉及的向量空间一般指实数域上的实空间。例14 0和V 0 和 VR n为向量空间。V解由Vn 的定义，它们对向量的线 R性运算显然封闭，故为向量空间。对任何一个以n维向量为元素的向量空间V任取 V ，数 0 R ，则都有0 0 V，所以（3.9）n0 V R称0为零空间。除零空间外，一般向量空间V有无穷多个向量。都例15, x i R是一个向量空间。V 0,0,n证 0,0, a 3 , a 4 , , a nT和 V

28、 ，T 0,0, b3 , b 4 , , bn， T 0,0, a 3 b3 , a 4 b 4 , , a n bn V V，故V是向量空间。k 0,0, ka 3 , ka 4 , , kanT这题中，向量空间V一般地，有n，它是R n的子空间。 R定义3.9设 U , V 都是向量空间，若U V ，则称U 是V 的子空间。（3.9）式说明任何由n向量组成的向量空间V 都是R n 的子空间，又任何向量空间都包含零空间为其子空间。3.5.2向量空间的基与维数向量空间V作为一个无穷的向量集合，人们在研究它的时候，希望用有限个向量来表示V，从而把握V ， 这对由n 维向量组成的向量空间是可以实

29、现的。定义3.10设V 是向量空间，若向量组，满足 1 , , , V2r（1） 1 , 线性无关，（2）V 中任一向量都, , 2r可以由 1 , 则称为 1 , r 线性表示。, , 2r向量空间V 的基，r 称为V 的维数，, , 2为 V维向r 量空间。零空记为dim V，称r间0的维数规定为0。从定义10，向量空间的基实际上是V 作为向量集合的极大线性无关组，dim V 是V 的秩。把握了向量空间的基，就可以由基的线性组合生成整个空间。由前面的，dim n，基本向量e1 , e 2n, , enR是Rn 的一组基。一般以n维向量为元素的向量空间V ，由3.9式dimn。由于向量组的极

30、大线性V 无关组不是唯一的，因此空间的基也不是唯一的，一般有:定理3.8若向量空间V 的维数dimV r，则 V中任意r个线性无关的向量都是V的基。例16 设向量空间V的维数和一组基。 R，求V 0,i0 0 解因为，e 2 , e 3 线性无关，0 0 1 , e 3 0 Ve20 V ，1 x 1 ,0 又，故是x e 0, xTVe, x0 2233231的一组基，dim2 ，即V 是二维向量空间。又V 0 00 0 也是V 的一线性无关，由定理8， 1 , 0 0 1 1 , 0 0 1 组基。3.5.2空间向量的坐标设 1 , 是向量空间的一组基，则任, , V2r取 V，由定理2，

31、 可唯一表示为 x1 x ，（3.11）2, rr21r x r 组合系数的向量X称为 关于基T xr的坐标向量，简称坐标。, r 10 0 1 0 0 1 2例17设， ， , , 0 340 012 2 111 1 1（）证明是向量空间的一组基。,4, R214（2）求R 4中向量坐标。 ,1,14,5T关于基4 的 ,21解（1）取矩阵 A 1 , 4 ，则A为方阵，且2 , 3 , 1201102101010001 2 0A，R 4 4 故所以 1 , , , 1 , , , 4 线性无关，又dim的一组基。242是向量空间R4（2）由（3.11）式设关于基的坐标为X ,则 X满足 A

32、X ，即 120110 01011 00 1 X . 20 411 5又因A可逆,故X已知4 2,3,1,5T 即 3。 2 1 5A 12344的基，所以本向量e1 , e 2 , e 3 , e 4为 R 关于e1 , e 2, e 3 , e 4 的坐标为1,1,4,5T。从这题，看到了同一个向量关于不同基的坐标是不同的。3.5.3基变换和坐标变换在向量空间V的基给定后，其中向量关于该基的坐标是唯一确定的，但若基变动，其坐标也会相应变动，从例17可以看出这一点。这里向量空间V 中不同基之间的关系和同一向量在不同基的坐标之间的关系。r 是 r维向量空间V 的设 1 , , , r 和 1 , , , 22两组基。由基的定义，向量组 1 , r 和 1 , 2 , , r 2 , , 是等价的。具体地， i可由基 1 , 2 , , r 线性表示： c1i