浅谈辛钦大数定律的作用

1、浅谈辛钦大数定律的作用1 引言 大数定律是概率论与数理统计学中的基本理论极限定理的重要组成部分大数定律的提出，推 动了概率学的发展辛钦大数定律做为大数定律的组成部分，也在学科和实际应用中起着基础的作 用随着概率论与数理统计学理论的发展，辛钦大数定律越来越广泛的应用在学科综合理论中，成 为一些学术课题研究不可缺少的基本理论 背景介绍理论背景 对辛钦大数定律作用的研究，必须建立在极限定理和大数定律等定律的基础上 极限定理是指，概率中的频率是概率的反映，但是随着观察次数的增大，频率会逐渐稳定到概 率当 n很大时，频率和概率会非常 “接近”这个与数学分析中的极限定理比较相似，故此命名 但是要注意，这里

2、的频率“靠近”概率并不是意味着有极限关系式，而是意味着在 n 很大时，事件发 生的概率趋向于零通常，把叙述在什么条件下，一随机变量序列的算术平均值，按照某种意义收 敛于某数的定理称为大数定律发展背景 很早以前，人们在实际生活中经常采用算术平均值法则来测定某物体的某指标值 20 世纪初， 贝努里提出大数定律后，莫斯科概率科学派创始人之一的辛钦与柯尔莫戈洛夫讨论了随机变量级数 的收敛性，在期望值一定的情况下，提出了强大数定律先声的辛钦大数定律为算术平均值法提供 了理论根据辛钦大数定律的提出，推动了大数定律的发展并且作为一个基础性定律，辛钦大数 定律成为了概率论中重要的研究论题在辛钦大数定律理论基础

3、上，建立了数理统计学中的参数估 计理论随着科学的发展，辛钦大数定律与多种学科相结合，衍生出了许多新的综合性定律，在实 际应用中起到了重要的作用3 辛钦大数定律的内容及简要证明 研究辛钦大数定律的作用，必须先从它的内容和证明过程入手，知道了辛钦大数定律成立的条 件，对我们探讨很有帮助辛钦大数定律 1 ( P198 ) 设 1, 2 , n 是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：E i a,i 1,2,则对任意 0 有 1nlim Pianni1成立从而特征证明 因为 1, 2, , n同分布，所以也有相同的特征函数 t ，又因为 E i 存在，函数 t 有展开式：1 iat t再由独立性知

4、1i 的特征函数为 ni1对任意取定的 t ，有lim 1 ia t nniat e已知 eiat 是退化分布的特征函数，相应的分布函数为Fx1,0,xaxaF x ，即知有1n可知 i 的分布函数弱收敛于 ni11n1 i p a ni1故辛钦大数定律成立 辛钦大数定律在学科内的作用 辛钦大数定律做为大数定律的重要组成部分，在学科内同其他的大数定律之间有着密切的关 系并且在数理统计的参数估计理论中起着理论基础的作用A出现的4.1 辛钦大数定律在大数定律中的作用 大数定律中常见和应用比较广泛有贝努里大数定律、契贝晓夫大数定律和辛钦大数定律贝努里大数定律是大数定律中最常见的大数定律： “设 n

5、是 n 重贝努里实验中，事件次数，又 A在每次试验中出现的概率为 P 0 p 1 ，则对任意 0 ，有lnim P nn p贝努里大数定律从理论上给了频率靠近概率这种现象以更加确切的含义比贝努里大数定律应用更广泛的还有契贝晓夫大数定律：设1, 2, , n 是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方 差有界，即存在常数 c 0，使有 D i c， i 1,2 则对做任意的 0，有1 n 1 nlim P 1 i 1 E i1n n i 1 i n i 1 i以上这两个定律，都是在契贝晓夫大数不等式的基础上实现的，所以这两个大数定律在应用时都要求随机变量具有方差但是，随着研究的深入，发现方差并不是

6、大数定律的必要条件辛钦大 数定律中，只要求独立同分布且数学期望存在即可贝努里大数定律表明当 n 很大时，事件发生的概率会“靠近”频率， n 重贝努里试验中事件 A出现的概率，依概率收敛于事件A在一次试验中出现的概率 而辛钦大数定律则表明，当 n很大时，随机变量在 n 次观察中的算术平均值1 i 会“靠ni1近”它的期望值这样就为寻找随机变量的期望值提供了一种更实际可行的途径由些可见，贝努 里大数定律就可以说是辛钦大数定律的一种特殊情形例 要估计邯郸地区的玉米平均亩产量，我们不可能把所有的土地亩产量加起来再除以亩数来得到具体值但我们可以知道邯郸地区的每亩土地都是不相关的随机变量，那么我们可以统计

7、一部分有代表性土地的玉米产量，1n然后求出平均值 i ，如果我们统计的数量够多时， 那么就可以根 ni1据辛钦大数定律求出亩产量的期望值 a 就近似等于平均值 1 i ni1由以上论述可知，三种大数定律都是在不同方面、不同条件下阐述大数定律，使大数定律应用 更加具体化在大数定律中，辛钦大数定律由于不需要方差存在这个条件而显得更加突出，作用也 更重要辛钦大数定律在数理统计学参数估计理论中的作用 数理统计学是指运用概率知识，研究如何以试验资料出发，对随机变量的概率分布或某些特征 （如数字特征）作出推断的学科参数估计是数理统计学的基本内容之一辛钦大数定律在参数估计理论中起着基础理论的作用，我们以辛钦

8、大数定律在参数估计理论的 点估计中起的作用为例来说明它的理论基础地位在日常生活中许多场合，总体的分布类型是已知的，即总体分布函数的数学形式是已知的，未 知的仅仅是其中的一个或几个参数另外，在某些场合，需要确定的往往是总体分布的某些数字特 征，而不是总体分布如果要是把这些数字特征当成是总体分布的参数，那么这类问题也就变为要 对总体分布的某些参数做出估计 这便是数理统计中的点估计所要研究的内容 知道一个总体分布， 要求出一个估计值，就必须先构造一个估计量，然后把子样估计值代入其中得到一个估计量假定 总体 的分布函数为 F x, ，其中 为求知参数我们要通过总体的样本(1, 2, , n )对 进行

9、估计， 1, 2, , n为独立同分布的随机变量，那么当 n 充分大时， 便可以根据辛钦大数定律，样1本均值 依概率收敛于 ，所以用 i 来做为 的估计同样，由辛钦大数定律可知，若总 ni1体 具有 K 阶矩 mk E k ，则样本阶矩 m?k 依概率收敛于 mk 这样，在利用样本进行参数估计 时可以先用样本矩作为总体矩的估计，然后再依据未知参数估计理论，这种做法就是矩法参数点 估计中除了矩法外，还有极大似然法等都与辛钦大数定律有着密切的关系，这里不在一一表述在进行点估计方法中，不同方法所建立的估计量是不同的，那么在实际问题中就遇到了怎么对 估计量选择的问题辛钦大数定律在对估计量选择方法上也起

10、着重要的作用我们以一致估计为例来说明当 n 较 大时我们设 ? 1, 2 , n 是 和估计量，如果对任意的 0，有lim P ? 0n即 ? 依概率收敛于 ，则称 ?为 的一致估计量当总体 的数学期望 E 存在时，符合辛钦大数定律的条件，这样我们就可以根据定律得出 p E ，即对任意 0 ，都有lim P E0因而 是 E 的一致估计量，类似的，当总体 的 K 阶原点矩 E k 存在时，样本 K 阶原点矩 mk 1ni1ik 是 E ik 的一致估计由上所述，我们可以用点估计的检验精确性的一致估计来说明辛钦大数定律在参数估计理论中的作用参数估计理论主要的思路和最初的理论起点就是辛钦大数定律辛

11、钦大数定律铺垫了参数 估计理论而在后面的检验参数理论估计量问题上，辛钦大数定律更是决定一致估计的性质和理论 基础所以说辛钦大数定律在参数估计理论中起着基础理论的重要作用 辛钦大数定律在学科结合上的作用 辛钦大数定律作为一个数学中的基础性定律，许多别的学科在发展中都涉及到了相关内容许 多学科和研究方向同辛钦大数定律相结合，创造出新的理论成果5.1 辛钦大数定律与模糊数学相结合 模糊数学是数学学科上的一个分支在模糊数学的情形下定义辛钦大数定律：若 X ii 1,2 为F 0 R的模糊随机变量， d为F0 R 中的距离则由经典概率论中，辛钦大数 定律不再要求随机变量方差和存在性， 类似的给出模糊随机

12、变量的辛钦大数定律： 设 X1,X2 Xn 为相互独立的模糊随机变量，有相同的分布且期望值 E X 存在，则lim P nd 1nX i,E Xni11 n dF x 1 xn2 xdF x 1 ， xn模糊随机变量的辛钦大数定律的提出，为解决模糊数学中距离问题提供了理论依据关于辛钦大数定律在积分应用上的一个推广 将辛钦大数定律的条件放宽为P X n Yn，则称 X nn并引入定义：设 X n 与 Yn 是两个随机变量序列，如果满足与 Yn 等价有了上述两个条件，那么就可以将辛钦大数定律推广为：设 X n 是两两独立的具有共同分布函数nF x 的随机变量， SnX i ，如果i11 n dF

13、x 1 xn2 xdF x 1 xnSn这个推广，使辛钦大数定律的条件放宽到了积分中，辛钦大数定律在积分问题上也有了具体的 应用 3 P77 辛钦大数定律在实际生活中的应用辛钦大数定律说明如果n 是具有数学期望与独立同分布的随机变量，则当n充分大时，算术平 1 2 n均值 1 2 n 一定以接近于 1的概率落在真值的任意小邻域内， 据此， 要测一个物体的某指 n标值 a ，可以独立重复的测 n 次，得到一组数据： x1,x2, ,xn，当 n 充分大时，可以确信：a x1 x2xn 所以说辛钦大数定律为实际生活中经常用的算术平均值法提供了理论基础n 随着社会发展和科技的进步，辛钦大数定律在银行

14、、保险中的作用也越来越突出大数定律揭 示了一个规律，大量的在一定条件下重复出现的随机现象将出现一定的规律性和稳定性，如果我们 对某种随机事件进行试验， 当试验次数较少时， 实验结果往往不稳定， 其结果依赖于个别随机事件 当 试验次数较多时，实验结果就非常稳定，而且试验结果会脱离对个别事件的依赖，这一点对保险的 经营有着重要的意义，尤其辛钦大数定律可以将随机变量的算术平均值依概率收敛于它的数学期望 值，更是在保险业中起到了重要的作用同样，辛钦大数定律也在银行业等生产生活中许多行业都 起到了很大的作用例 在某种工艺条件下生产一种零件，由于随机因素的干扰，某一项指标（如直径）是随机变量 ，为了检查零件的质量，不一定要知