网格中的三角函数

1、网格中的三角函数构造直角】例：如图， 网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinABP 变式 1：网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC 每个顶点都在网格的交点处， 求 tan变式 2：网格中的每个小正方形的边长都是 BAP 的值。1， ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan2BAP 的值1.网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA 的解析】CE CE如图，过 点 C 作 CEAB ， 则 siAn CE = CE ，利用等积法， 可 知AC 2 51 BC AD 1 AB CE ， 1 2 2 3 2 1 2

2、5 CE ， CE 6 5 ， sinA2 2 2 2 565525【等角转换】2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中， 点 A 、B 、C、D 都在这些小正方形的顶点上， AB 、CD 相交于点 P，则 tan APD 的值是解析】思路一：构造直角BF连接 BE，由四边形 EDBC 为正方形可知， CDBE，tanAPD=tan BPF=，设小正PF方形边长为 2 （可自己思考一下为什么？） ，可得 BF=1 ， CD=2 ，由 APC BPD，且相似比为 3：1 可得 PC 3， PCDP CD3 31，PC= 2 = ，PF=PCCF= ，tanBPF=4 2211 2思路二：角度转

3、换连接 BE，可知 BECD， APD= BPF= ABE ，连接 AE ， AE 和 BE 均为正方形对 AE角线，易得 AE BE， tanABE= AE 2BEB、C、D都在这些小正方形的顶点上， AB，CD 相交于点 P，AP 则的值=，tanAPD 的值 = PB4.如图，在 44 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，上，则图中 ABC 的余弦值是 .ABC 的顶点都在格点5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都在格点上，则 ABC 的正切值ABC 的顶点都在格点上，则 tan ACB 的值为是.6.如图，在正方形网格中，7.如图， 6 个形状、大小完全相

4、同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个 角（O）为 60，A ， B， C 都在格点上，则 tanABC 的值是8.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则 tan DBC 的值为C、 D 都在网格的格点上，AC、10.（一）探索发现1）如图 1，当 AB=2 时，连接 AD ，则 ADO=90 ， BO=2DO ，AD= 2 ，BO= 2 2 ，3tanAOD=如图 2，当 AB=3 时，画 AH BD 交 BD 的延长线于 H，则 AH= 3 2 ， 2BO= ， tanAOD= 如图 3，当 AB=4 时， tan AOD=（结果用含 n 的代数式表（2）猜想：当 AB=

5、n （n 0）时， tan AOD= 示），请证明你的猜想（二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边 CD、CG 在同一直线上， 连接 CF、DE 相交于点 O，若 tan COE= 17，求正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长之比13解析】（一）探索发现1）如图 1，当 AB=2 时， BO=2DO ，BO= 2 2 ，32OD=，又 ADO=90 ， AD= 2 ，3AD 2tanAOD=3，即 tanAOD=3 OD 23如图 2，设 DCBE 为正方形，连接 CE，交 BD 于 F四边形 BCDE 是正方形，11DF=CF=BF= BD= CE，BD CE22根据题意得： AB

6、 DC ， AOB COD， DO ： BO=CD ：AB 当 AB=3 时， DO ：BO=1 ：3， BO= 3 24SABD = 1 BD ?AH=21AH= AB EDBD32DO： BO=CD ：OF： DF=1 ：3，AB=1 ：2，即 OF： DO：DF=1： 2，CF=1：2在 RtOCF中，tanCOF= CF =2， OF AOD= COF， tanAOD=2 ； 如图 3，当 AB=4 时， DO ： BO=CD ： DO ： DF=1 ：2.5=2：5，OF： DF=3 ： 5，即 OF： CF=3：55， 3，CF 在 RtOCF中， tanCOF=OFAB=1 ：

7、4， AOD= COF，5；3tanAOD=故答案是：3；322；5；32）猜想：AB=nn 0）时，tan AOD=（结果用含 n 的代数式表示） n - 1证明：过点作 AH BH 于点 H则 AH=BH= 2 n 2AB OD ， AOB COD，OB ABOD CDOB= 2n OH=BH OB= 2 n 2 n n 1 2 n 121 AB ?ED， BD?AH=AB ?ED，tanAOD=n 1 ； ； n-1故答案是：n1n - 1二）解决问题3）解：如图 4，过点 D 作 DHCF 于点 H，则 tanDOH= DOH= COE，17tanDOH=，13又由（一）结论得：n 1

8、 17n -1 1315 n=215 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长之比为2DHHO强化训练11.阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果 ，都为锐角，且 tan= ， tan= ，求 +的度数 该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图 1，把 ，放在正方形网格中，使得ABD=，CBE=，且BA，BC在直线 BD的两侧，连接 AC1）观察图象可知： +=2）请参考该数学小组的方法解决问题： 如果 ，都为锐角， 当 tan=3，tan= 时，在图 2的正方形网格中，画出 MON= ，并求 MON 的度数12.问题呈现如图 1，在边长为 1的正方形网格中，连接格点 D，N

9、和E，C，DN 和EC相交 于点 P，求 tan CPN 的值方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观 察发现问题中 CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法 解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得 MN EC，则 DNM= CPN，连接 DM ，那么 CPN 就变换到 RtDMN 中 问题解决（1）直接写出图 1中 tanCPN的值为；（2）如图 2，在边长为 1的正方形网格中， AN 与CM 相交于点 P，求cosCPN 的值；思维拓展3）如图 3，ABBC，AB=4BC ，点M在AB 上，且 AM=BC ，延长 CB到N， 使 BN

10、=2BC ，连接 AN 交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求 CPN的度数13（1）在ABC中，AB、BC、AC 三边的长分别为 、 、 ，求这个 三角形的面积如图 1，某同学在解答这道题时， 先建立一个每个小正方形的边长都是 1的网格， 再在网格中画出边长符合要求的格点三角形 ABC（即 ABC 三个顶点都在小 正方形的顶点处），这样不需要求 ABC 的高，而借用网格就能就算出它的 面积请你将 ABC 的面积直接填写在横线上 思维拓展：（2）已知 ABC 三边的长分别为a（a0），求这个三角形的面积我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法 如图 2，网格中每个小正方形的边 长都

11、是 a，请在网格中画出相应的 ABC ，并求出它的面积类比创新：（3）若ABC 三边的长分别为（m0，n0，且 mn），求出这个三角形的面积如图 3，网格中每个小长方形长、 宽都是 m，n，请在网格中画出相应的 ABC ，14如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上 （ 1） AB 的长等于；（2）在 ABC 的内部有一点 P，满足 SPAB：SPBC：SPCA=1：2：3，请在如图 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明）15如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中， ABC 的三个顶点都在格 点上（1）请在网

12、格中找一个格点 P，连接 PB、PC，使 BPC= BAC ，并简要说 明理由；2）直接写出此时 tan BPC 的值16如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A 点 B 在网格中 的位置如图所示（1）建立适当的平面直角坐标系， 使点 A 点 B 的坐标分别为 （1，2）（4，3）； （2）点C的坐标为（3，6），在平面直角坐标系中找到点 C的位置，连接 AB、 BC、CA，则 ACB=；（3）将点 A、B、C 的横坐标都乘以 1，纵坐标不变，分别得到点 A1、B1、C1， 在图中找到点 A 1 、B1、 C1并顺次连接点 A1、B1、C1，得到 A 1B1C1，则这 两个三角形关于 对称17如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，格点 O 为原点，格点 A 的坐 标为（ 1，3）（1）