大数定律和中心极限定理

1、大数定律和中心极限定理第1页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律 当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得的近似值.针长L线距a第2页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二定义: 设Xn为随机变量序列，a是一个常数，若对于任意0, 有则称Xn依概率收敛于a。可记为1 大数定律一、依概率收敛意思是: 当a时, Xn落在内的概率越来越大。即第3页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二二、几个常用的大数定律切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且

2、有相同的数学期望，及方差20，则即对任何0, 证明: 由切比雪夫不等式这里故第4页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验中事件A发生的频率，则证明: 设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理：第5页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二辛钦大数定律 若Xk,k=1,2,.为独立同分布随机变量序列, EXk= , k=1, 2, 则当随机变量序列X1, X2, ., Xn,独立同分布时, 有如下更实用的结论：例 在掷骰子过程中，以Xn记第n

3、次掷出的点数，在依概率收敛意义下，求 的极限。第6页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的值第7页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 我们介绍均值法，步骤是1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2) 计算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即3) 用平均值近似积分值求的值第8页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 我们介绍均值法，步骤是1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2) 计算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即3) 用平均值近似积分值求的

4、值第9页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二应如何近似计算？请思考. 问：若求的值第10页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性第11页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二一、依分布收敛定义 设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x)。若在F(x)的连续点，有则称Xn依分布收敛于X。记为2 中心极限定理若随机变量序列Xn之和 的标准化变量则称随机变量序列Xn

5、满足中心极限定理。第12页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二二、几个常用的中心极限定理1、独立同分布的中心极限定理 设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则Xn满足中心极限定理。此时有因此，当n充分大时其中Fn(x)为 的分布函数。第13页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二例1 将一颗骰子连掷100次，试估算点数之和大于500的概率。解: 设Xk为第 k 次掷出的点数, k=1,2,100, 则X1,X100独立同分布。并且由独立同分布的中心极限定理知：第14页，共19页，2022年，5月20日，14点35分

6、，星期二2、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量n (n=1, 2, .) 服从参数为n, p (0p1) 的二项分布，则证明: 设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由独立同分布的中心极限定理,结论即可得证。即第15页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二第16页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二例：华师学生10000名，在周一晚上去自习的概率为0.7，假设彼此自习是相互独立的，设 X为周一晚上华师学生去上自习的人数。（1）写出X 的分布；（2）用切贝谢夫不等式估算周一晚上华师学生上自习的人数在68007200之间的概率的近似值；（3）用棣

7、莫弗-拉普拉斯定理计算周一晚上华师学生上自习人数在68007200之间的概率的近似值。解:（1） 第17页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二（2）（3）第18页，共19页，2022年，5月20日，14点35分，星期二例2 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,20), 设它们是相互独立的随机变量，且都服从U(0,10)分布。记V= ，求V大于105的近似值。例3 一船舶在某海区航行，已知每次遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3度的概率p=1/3，若船遭受了90000次波浪的冲击，问其中有2900030500次纵摇角大于加3度的概率是多少？例4 设每个学生有0名、1名、2名家长参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15。