大数定理及中心极限定理

1、大数定理及中心极限定理第1页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征数学期望与方差 数学期望又称期望或均值，是随机变量所有可能取值的平均水平，代表随机变量分布的集中趋势，一般用E(X)或表示。 数学期望有如下性质： 1)若C为常数，则有E(C)=C; 2)若X是一个随机变量，C为常数，则有E(CX)=CE(X); 3)若X、Y是两个任意随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4)若X、Y是两个独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)第2页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征随机变量方差是每一个随机变

2、量可能取值与期望值的离差的平方的期望值，是用来反映随机变量取值的离散程度，一般用D(x)或2表示，即 D（X）= 2 =E X-E（X）2 =E（X2）-E（X）2 标准差= D（X） 方差基本性质： 1）若C为常数，则有D（C）=0； 2）若X是一个随机变量，C是常数，则D（CX）=C2D（X） D（X+C）=D（X） 3）若X、Y是两个相互独立的随机变量，则有 D（X+Y）=D（X）+D（Y）第3页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的期望及方差 若随即变量为有限个值：x1，x2，xn，其对应的概率分别是p1，

3、p2， ，pn，其中，pi0， =1，则数学期望为 E （X）= =X1P1+X2P2+XnPn= 若随即变量为有限个值：x1，x2，xn， ，其对应的概率分别是p1，p2， ，pn，其中，pi0， =1，则数学期望为第4页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征离散型随机变量的期望及方差 E（X）= =X1P1+X2P2+XnPn= 设X是一个随机变量，若EX-E（X）2存在，则它是X的方差，记为D（X）或2 即 D（X）= EX-E（X）2 =E（X2）-E（X）2 第5页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征两

4、点分布的数字特征 若随即变量XB（1，p）则 E（X）=p D（X）=pq （q=1-p）二项分布的数字特征 若随机变量XB（n，p）则 E（X）=np D（X）=npq （q=1-p）几何分布的数字特征 若随即变量XG（p） 则 E（x）=1/p D（X）=q/p2 （q=1-p）第6页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征泊松分布的数字特征 若随即变量XP（）则 E（X）= D（X）= 超几何分布的数字特征 若随即变量XH（）则 E（X）= D（X）=NnMN2(N-1)n(N-n)(N-M)M第7页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，

5、星期二一、随机变量的数字特征连续型随机变量的数字特征连续型随机变量的数学期望和方差 对于随机变量X，如果它的密度函数为非负函数f（x），若积分 绝对收敛，则 E（x）= D（X）=第8页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征均匀分布的数字特征 均匀分布的随机变量X的分布密度函数为 f（x）= 那么数学期望E（x）= 方差为 0b-a1axbxa或xb=第9页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征指数分布的数字特征 指数分布的随机变量X的分布密度函数为 f（x）= 则有数学期望 E（x）= 方差为 0 x0第10页，

6、共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二一、随机变量的数字特征正态分布数字特征 正态分布的随机变量X的分布密度函数为E(X) =D(X)=2第11页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二二、大数定理及中心极限定理大数定理 定理1 （贝努利大数定理）设n次独立试验中，事件A发生的次数为m，事件A在每次试验中的发生的概率为p，则对于任意正数，有： 定理2（切比雪夫大数定理）设随机变量X1，X2，相互独立，且服从同一分布，它们的数学期望E（Xk）=，方差D（X）=2，（K=1，2，3，）则对任意正数，有：第12页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二

7、二、大数定理及中心极限定理中心极限定理 设X1，X2，Xn是具有相同分布且相互独立的一列随机变量，当n 时，对任意X有：定理表明，当n很大时，随机变量 的分布渐进服从期望和方差分别为n和n2的正态分布N(n， n2)第13页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二二、大数定理及中心极限定理上述定理的推论推论表明，当n很大时，随机变量 的分布渐进服从期望和方差分别为和2/n的正态分布N (，2/n)n第14页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二二、大数定理及中心极限定理 例 4-20 在n重贝努利试验中，若事件A发生的概率为p，随机变量Xk定义如下： Xk =

8、 （k=1，2，3），若Xk相互独立，且n较大，求n次试验中事件A发生的次数在a到b（0ab）之间的概率01在第k次试验中A不发生在第k次试验中A发生第15页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布样本函数与统计量 样本函数： g=g（x1，x2，xn） 统计量：如果g中不含任何参数，则称g=g（x1， X2 ， ，xn）为一统计量。 例如，设（x1，x2，xn）是取自正态分布N（，2）的样本，若，2已知，则样本函数是一个统计量；若，2有未知的呢？ 统计量是一个随机变量，有其自己的概率分布，其概率分布通常称为抽样分布x-第16页，共27页，2022年，5月20

9、日，14点36分，星期二三、统计量及其分布样本均值的分布 设总体X N（，2），（x1， X2 ，xn）是X的一个样本。由于这些样本相互独立，且与总体同分布，可得样本平均值 的抽样分布仍为正态 分布，其数学期望和方差分别是 即第17页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布 问题：若X的分布不是正态分布，则均值例4-21 一汽车蓄电池商，声称其生产的电池具有均值54个月，标准差为6个月的寿命分布。现消费者团体决定检验该厂的说法是否正确，为此购买了50个该厂生产的电池进行检验 （1）假定厂商声称是正确的，试描述50个电池的平均 寿命的抽样分布 （2）假定厂商声称

10、是正确的，则50个电池组成的样本的平均寿命达不到52个月的概率是多少服从什么分布？第18页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布 分布 设x1，x2，xn是几个相互独立同分布的随机变量，且每一随机变量xi（i=1，2， ，n）都服从标准正态分布，即xiN（0，1）， 则随机变量 的分布称为服从自由度 为n的 分布。记为2第19页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布 分布密度函数为 注意：1）自由度n是指 变量中所含的独立随即变量xi（i=1，2，n）的个数 2） 分布中的 是伽马函数，其值等于参数为n/2 的广义积分 0

11、 x0 x0第20页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布 函数是以0为参数的广义积分，其定义是： 函数具有以下性质： 1）对于参数 有 2）对于任意正整数n，有 3） ！第21页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布 分布性质 性质：1）若X ，则均值E（X）=n，方差D（X） =2n 2）若X1，X2相互独立，且X1 ，X2 则（ X1 +X2 ）n=10n=4n=3n=2n=1第22页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布t分布 设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布，即

12、XN（0，1），Y服从自由度为n的 ，即Y ，则称随机变量t= 服从自由度为n的t分布，记为t（n）。XN（0，1) t(10)t(2) t分布t（n）的数学期望和方差分别为=0，2=n/（n-2）第23页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布F分布 设随机变量X ，Y 且X与Y相互独 立，则随机变量F= 的分布称为自由度为（n，m）的F的分布，并记为FF（n，m）。 F（n，m）分布的数学期望和方差 =m/（m-2）（m2） 2= （m4） X/nY/m2m2（n+m-2）n（m-2）2（m-4）第24页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二三、统计量及其分布F分布密度函数性质F（6，10）F（6.20）F1-（n，m）=1F（n，m）第25页，共27页，2022年，5月20日，14点36分，星期二查表练习：F0.05(9,12);F0.95(15,10);t0.05(10);t0.95(10);t(n）P t