线性代数矩阵的特征值和特征向量

1、第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 4.3 4.4 法国数学家柯西: 给出了特征方程的术语, 证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值 给出了相似矩阵的概念, 证明了相似矩阵有相同的特征值 英国数学家凯莱: 方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论 德国数学家克莱伯施, 布克海姆()等: 证明了对称矩阵的特征根性质 泰伯(): 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论 1854 年, 法国数学家约当 矩阵化为标准型的问题 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 一. 问题 习题1(B). 23 求A11. 设P1AP = , P = , =1 41 11 0 0 2, A

2、= PP1 A11 = (PP1)(PP1)(PP1)(PP1) 11 = 1 0 0 211= P11P1 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 二. 相似矩阵的定义 An与Bn相似(similar): P可逆, . P 1AP =B. 记为AB. 易见, 矩阵间的相似关系满足(1) 反身性: AA; (2) 对称性: AB BA; 即矩阵间的相似关系是一种等价关系. (3) 传递性: AB, BC AC. 性质1. 设AB, f是一个多项式, 则f(A) f(B). 证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 则 P 1f(A)P = anP 1AnP

3、+a1P 1AP+a0 P 1EP = an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E = P 1(anAn+a1A+a0E)P = anBn+a1B+a0E = f(B). 三. 相似矩阵的性质 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 性质2. 设AB, 则|A| = |B|. 证明: P 1AP = B |P 1AP| = |B| 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 |P 1|A|P| = |P|1|A|P| = |A| = 性质3. 设AB, 则r(A) = r(B). 证明: P 1AP = B r(A) = r(B). 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相

4、似矩阵 A = a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 a1nA的迹(trace): tr(A) = a11 + a22 + + a1n (1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B); (2) tr(kA) = ktr(A); (3) tr(AB) = tr(BA). 性质4. 设AB, 则tr(A) = tr(B). 证明: P 1AP = B 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 tr(B) = tr(P 1AP) = tr(APP 1) = tr(A). 问题. 设AB, 则对数 , E+A E+B?|E+A| = |E+B|? 1. 定义:

5、四. 相似对角化(diagonalize) 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 A = = P 1AP 1 0 0 0 2 0 0 0 nP = (1, , n)可逆 1, , n线性无关 P 1AP = AP = P (A1, , An) = (11, , nn) 2. 条件: 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.1 相似矩阵 定理. Ann 对角矩阵 1, , n和线性无关的1, , n, . Ai = ii (i = 1, , n). P = (1, , n), = diag(1, , n), 在此条件下, 令 则P 1AP = . 4.2 特征值与特征向量 一. 定义 第

6、四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 A = n阶方阵 非零向量 特征值(eigenvalue) 特征向量(eigenvector) 对应 注意：特征向量不能是零向量第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 A = (EA) = 0 |EA| = 0 特征方程(characteristic equation) |EA| = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式(characteristic polynomial) EA 特征矩阵 特征值 特征向量 二. 计算 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量

7、 定理. (1) 0为A的特征值 |0EA| = 0. (2) 为A的对应于0特征向量 (0EA) = 0, 非零向量. 1. 理论依据 2. 步骤 计算|EA| 求|EA| = 0的根 求(EA)x = 0的基础解系 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 解:所以A的特征值为1=2, 2=4. 解之得 A的对应于1=2的特征向量为 对于1=2, (2EA)x = 0 即 3 11 3|EA| = 3 1 1 3 = (2)(4). x1 + x2 = 0 x1 x2 = 0 x1x2= k 11(0 k R). kk(0kR). 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 例

8、1. 求A = 的特征值和特征向量. 解:所以A的特征值为1=2, 2=4. 解之得 A的对应于2=4的特征向量为 对于2=4, (4EA)x = 0 即 3 11 3|EA| = 3 1 1 3 = (2)(4). x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 x1x2= k 11(0 k R). kk(0kR). 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 解: |EA| = (2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2EA)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=

9、1, 求得(EA)x = 0 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).例2. 求 的特征值和特征向量. 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为kp1 (0kR). (2EA)x = 0的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).练习. 求 的特征

10、值和特征向量. 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 三. 性质 性质5. 设AB, 则|EA| = |EB|. 性质6. 设A = (aij)nn的特征值为1, , n, 则 (1) 1 + + n = tr(A). (2) 1n = |A|. 推论. A 可逆1, , n全不为零. 性质7. |EA| = |EAT|. 例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值.证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2

11、的特征值.例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 3 +4. 为(A) = 2A2 3A +4E的特征值.证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x, 于是(A)x = (2A2 3A +4E)x = 2(A2)x3Ax +4x = 22x3x +4x = (22 3 +4)x = ()x, 所以()为(A)的特征值.第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.2 特征值与特征向量 思考题. 设1, 2, , m为方阵A的m个不同的特征值, p1, p2, , pm为依次对应于这些特征值的特征向量, 证明p1, p2, , pm线性无关.证明: 若k1p1 +k2p2 +kmp

12、m = 0, 则 由此可得(k1p1, k2p2, , kmpm) = O. (k1p1, k2p2, , kmpm)= O. 因而k1 = k2 = = km = 0. 这就证明了p1, p2, , pm是线性无关的. 作业. P130 6 (2)(3) , 10练习. P130 1， 2第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.3 矩阵可相似对角化的条件 4.3 矩阵可相似对角化的条件 定理. Ann 对角矩阵 有n个线性无关的 特征向量.定理. 1 1, , s1, , r 2 A 线性无关 线性无关 1, , s, 1, , r线性无关 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.3 矩阵可相似对角

13、化的条件 定理. 推论. Ann有n个不同的特征值 A. 例1, 例2, 例3 定理4.4. 1 1, , s1, , r 2 A 1, 2, , m 11, , 1r , 21, , 2r , , m1, , mr 1 2 m 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.3 矩阵可相似对角化的条件 例7. A = 1 2 31 4 3 1 a 5有一个2重特征值. (1) a = ? (2) A 是否可以相似对角化? 解: |EA| = 1 2 3 1 4 3 1 a 5 = (2)(2 8 + 18+3a). 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.3 矩阵可相似对角化的条件 例8. A = 2 0

14、00 0 10 1 x B =2 0 00 y 00 0 1 (1) x = _, y = _. (2) P =_满足P 1AP = B. 0 1 1 0 00 1 10 1 1 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.4 实对称矩阵的相似对角化 4.4 实对称矩阵的相似对角化 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 定理. 实对称矩阵的特征值均为实数. 事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA, 定理. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.于是(12) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2

15、= 0. 从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2. 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.4 实对称矩阵的相似对角化 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q 1AQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值, Q = (q1, q2, , qn)的列向量组是A 的对应于1, 2, , n的标准正交特 征向量.第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.4 实对称矩阵的相似对角化 例9. 把A = 正交相似对角化. 解: |EA| = (2)(4)2. 所以A的特征值为

16、1= 2, 2= 3= 4. (2EA)x = 0的基础解系1= (0,1, 1)T. (4EA)x = 0的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化即 可得4 0 00 3 10 1 3 Q1AQ = QTAQ =2 0 00 4 00 0 4 . Q =, 0 1 0 1/ 2 0 1/ 21/ 2 0 1/ 2 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.4 实对称矩阵的相似对角化 注: 对于2=3=4, 若取(4EA)x = 0的基础解系 2=(1, 1, 1)T, 3=(1, 1, 1)T, 则需要将它们正交化. 取1=

17、 2, 再单位化, 即得 = 1 1 1 1 3 1 1 1 = 2 32 1 1 ; Q = (q1, q2, q3) = . 0 1/ 3 2/ 6 1/ 2 1/ 3 1/ 61/ 2 1/ 3 1/ 6 2= 33, 2 |2| 2 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.4 实对称矩阵的相似对角化 例10. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 (1)2(10), 且3 = (1, 2, 2)T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.证明(1): 由定理可知()成立.()因为=1是A的二重特征值, 所以A有两个 线性无关的特征向量1, 2

18、对应于=1. 注意到1, 2, 3线性无关, 而, 1, 2, 3线性相关, 可设 =k11+k22+k33, 故 =k11+k22是对应于=1的特征向量. 由3, = 3, 1 = 3, 2 = 0得k3=0, 第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.4 实对称矩阵的相似对角化 解(2): 由(1)可知对应于=1两个线性无关的 将正交向量组1, 2, 3单位化得正交矩阵 例10. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 (1)2(10), 且3 = (1, 2, 2)T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:1=(2, 1, 2)T, 2 =(2, 2, 1)T, Q =, 2/3 2/3 1/31/3