矩阵对角化学习

1、 /8矩阵的特征值与矩阵的对角化基本要求】理解矩阵的特征值与特征向量的概念，并掌握其求法；理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充要条件；理解实对称矩阵的定义及有关特征值、特征向量的性质，会用正交变换化实对称矩阵为相似对角形矩阵。【主要内容】重要公式：1、|A|二n九(九，九，九是n阶方阵A的特征值)TOC o 1-5 h z.1i12ni=l2、trA=工a=工九(tr(A)表示A的迹) HYPERLINK l bookmark4 o Current Document iiii=1i=13、九.H0(i=1,2,n)o|A|丰0oa可逆4、若可逆阵A的每行之和为a丰0，则a为矩阵A的一个

2、特征值，a-1为A-1的一个特征值，且对应的特征向量为X=:1丿5、设九为A的特征值，则ikH九n|kI-A|丰0nkI-A可逆ik=九nkI-A|=0nkI-A不可逆i6、A可逆且有n个线性无关的特征向量nA-1,A+A-1有相同的n个线性无关的特征向量。7、ABnr(A)=r(B);tr(A)=tr(B)8、设九是n阶方阵A特征值，是A对应于九的特征向量，则有如下表矩阵AA-1kAAmA*f(A)P-1APATB(A经过初等换所得)特征值九九-1k九九mH九f(九)九九不定特征向量aaaaaaP-1a不定疋a不定可对角化的判断方法：A有n个线性无关的特征向量；若A为实对称矩阵，则A一定可以

3、对角化；若A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化；设九，九，九是A的所有不同的特征值，且其相应的重数为k,k，k,12s12s若R（XIA）=nk，i=1,2,s，则A定可以对角化iiA、B有相同的特征值=R（A）二R（B）2x=03变换关系变换阵性质等价PAQ=BP、Q可逆秩不变相似P-1AP二BP可逆秩不变，九不变，A|=B，tr（A）=tr（B）正父相似C-1AC=B或CtAC=BC正父同上典型例题】1001丿九+122解：特征方程为|入EA|=0X10=（入+1）（入一1）2=0，A的全部特00X1征值为入J1，入2=入3=1。2x2x=0把九=1代入方程组（XI-A）X=0,得

4、齐次线性方程组:232x=0，122、例1求A=010的特征值与特征向量.1i2它的一个基础解系gG00，1A对应于特征值九=1的全部特征向量为kg,k是非零常数11同理可得A对应于特征值九二九二1的全部特征向量为23 /8kG01+k(-11O(k,k不全为零).1212204、求一正交矩阵P,使P-iAP成为对角阵.例2已知A=060402,解T特征方程为I入EA|=（入6）2（入+2）,二A的全部特征值为X=X=6,九=-2,123当入=6时，解方程组J4X1-4x3=0得2-1,4X+4X3=0A对应于X=6的两个线性无关的特征向量为耳=（111,耳=（一112-1、I1丿1=壽-4x

5、1-4x3=01、当入=-2时，解方程组-8x2=0得耳3=0-4x1-4x3=0-1丿1、1它们显然正交，所以只要对它们进行单位化，可得：g1=-31单位化后，g3f11461、忑令P韭1乞g3)=1希20丿丿111J2丿例3设n阶矩阵A满足A2=A，证明6、贝yp-1ap=62丿丿A的特征值只能是1或0；(2)A+1可逆。证：(1)设X为A的任一特征值，x为对应于X的特征向量，则Ax=Xx,所以A2x=A(Ax)=A(Xx)=XAx=X2x。又/A2x=Ax=Xx,.X2x=Xx,即(X2-X)x=0,但x工0，所以X(X1)=0,即X=0或X=1.(2)因-1不是A的特征值，故0|-1A

6、|=(-1)n!+A|,即I1+A|丰0，1+A可逆。例4假设入为n阶矩阵A的一个特征值，证明：（D若A可逆，则0，1为A-1的特征值（2）若A可逆，则1A1为A的伴随矩阵A*的特征值。（3）Xk是Ak的X特征值证：（1）由条件知有非零向量E满足Ag=入E，两端左乘以A-1，得E=入（A-叱），由于E为非零向量，故入工0,于是有A-弋二+，据特征值的定义，数入阵A-1的特征值。由于A-1二丄A*，故（1）中的结论可写为丄A*=丄，即A*=学,IAIIAI九入故数凶为A*的特征值。九（3）由题设条件，有非零向量E满足：A二X,A2二A（A）二A（九）二九（A）二“九）二九2,Ak二九k,由定义，

7、九k是Ak的特征值例5设A为n阶矩阵,试证齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是A有零特征根。证：=:因AX=0有非零解，故|A|=0。因I0EAI=IAI二（-1）nIAI二0.入=0是A的特征值。U:因0为A的特征值，故I0EAI=IAI二（1）nIAI二0，|A|=0，因而AX=0有非零解。例6设三阶矩阵A的特征值为入厂1，入2=2，入3=3，对应的特征向量依次为将B用E1，2,3线性表出；（2）求Anp（n为自然数）。x+x+x=1解:（1）考虑向量方程B二x+x+x，112233TOC o 1-5 h z123即x+2x+3x=1，123x+4x+9x=3123把此方程组的增广矩

8、阵作初等行变换111111111111123101200120149303820011得唯一解(2,2,1)，故有p=21-22+3(2)由于A=入，故An二九；因此iiiiii /8Anp=An(2-+)=2(Ang)-2(Ang)+A吃12312311122n+1+3n2x1-2n+12+3n3=22n+2+3n+114922n+3+3n+2【自我练习及解答】一、填空题：n阶方阵若有n个不相同的特征值，则与一个相似。已知三阶方阵A的特征值为1,2,3,则A-1的特征值为,A2+2A+31TOC o 1-5 h z的特征值为；_1111_矩阵A=1111的非零特征值是。11111111实对称

9、矩阵的属于不同特征值的特征向量是。n阶单位阵的全部特征根为；特征向量为二、选择题：(1)A是三阶矩阵，特征值为九二0,九=-1,九二1,其对应的特征向量分别是123g,g,g,设P=忆,g,g)，则有P-1AP=123123r1r1r0、r0、(A)1(B)0(C)1(D)10丿1丿1丿、1丿(2)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)即非充分也非必要条件-1设九=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵-A2的一个特征值等于13丿A)(C)-D)设n阶方阵A满足Ak=O(k为正整数)，则(A)A=O(B)A有一个不为零的

10、实特征值(C)A的实特征值全为零(D)A有n个线性无关的特征向量设A是n阶矩阵，如果|A|=0，则A的特征值(A)全是零(B)全不是零(C)至少有一个是零(D)可以是任意数如果与n阶矩阵A相似的矩阵只有A自身，则A为(A)单位矩阵E(C)数量矩阵aE(B)可逆矩阵(D)对角矩阵三、设A为三阶方阵，且B=AA*，其中A*是A的伴随矩阵，求B的特征值和特征向量。p1,p,p3-1求A=？四、设3阶方阵A的特征值为几i=1，丁导T，它们对应的特征向量依次为1-2五、试判断矩阵A=-24、4-2-4、-2能否对角化？若能，则求P,使B=P-1AP为对角矩阵。六、设三阶方阵A的特征值为2，1，0，(1)

11、求B=2A3-5A2+3I的特征值；(2)求|a。1、七、已知A二4-13，求Ai-22丿八、设三阶方阵A有三个不同的特征值九,九,九，对应的特征向量依次为a,a,a，123123令卩二+口2十口3，证明：向量组卩,Ap,A2P线性无关。2-12、九、设A=5-33，试求A的特征多项式、特征值及特征向量。-1-2丿对角阵；姑非零n维向量。习题参考答案:6,11,18;(3)4;(4)正交的;(5)n重根久=1;为任一个(1)(D);(2)(B);(3)(B);(4)(C);(5)C;(6)CA*三-解：A-1=得，B=AA*=|AI,A3二九二九2I的特征值为1,B的特征值为九311、k+k1

12、+k1121311丿对应的全部特征向量为其中k1，k2,k3不全为0四解：显然P，P，P线性无关，以他们为列向量构造可逆矩阵1231、 /812-2)12PP)=2-2-1贝P-112-223=9212丿厂2-11)(10、2330P-1=012。33-1丿220丿33丿A=P212P=(P1五.解:A是实对称矩阵,.A可以对角化.取P=P-iAP=0丿22B=2P1)32P-1-5P11)-1P-1+3P1P-1=PP-1)P-11丿3丿.B的特征值为-1，0，3(2)|A|=rfX=210=0ii=1七.解：特征方程为X-100-4X+1-3=(X-1)X+1)X2)=0,20九一2A的特

13、征值为九=1,九=-1,X=2123经计算可得，A对应于特征值九=1，九2=-1，=2的线性无关的特征向量分别为：x=652,x=（010,x=（011.123100、TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 构造可逆矩阵P=Gxx）=511123 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 1201丿1） HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 写出对角矩阵B=P-1AP=-1I2丿ri00、ri00、ri00、r100、A10=PB10P1=511010311=2-2ii12101201丿002i0丿201丿、22ii0210丿八证明：考虑向量方程TOC o 1-5 h zkP+k（A卩）+k（A2卩）=0（1）123由AP=九（X+九（X+九（X,A20=九2Q+九2（X+九2Q,得：112233112233 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document （k+k九+k九2）x+（k+k九+k九2）x+（k+k九+k九2）x=0121311122322123333由九，