拉格朗日点和平面圆三体问题转

1、拉格朗日点和平面圆三体问题转中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。包 括两个等边三角形点和三个共线点。拉格朗日点指受两大物体引力作用下，能使小物体稳定的 点.一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在 该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。这些点的存 在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在 木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有 5个拉格朗日点，但只有两个是稳 定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄

2、扰，仍然有保 持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构 成一个等边三角.,1767 年数学家欧拉 Leonhard Euler （1707-1783）根据旋转的二体引力场推算由其中三个点（特解） L1、L2、 L3 , 1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange（1736-1813）推算由另外两个点（特解）L4、L5 ;但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange ”或“拉格朗日点Lagrangian points ” ； 有时也称为“平动而ration points发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格 朗治）在1772年发表的论文“三体问题

3、”中，为了求得三体问 题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即:如果莫一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶 点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。A.D1906年，天文学家发现了第 588号小行星和太阳正好等距 离，它同木星几乎在同一轨道上超前60运动，它们一起构成运动着的等边三角形。 同年发现的第617号小行星也在木 星轨道上落后60左右，构成第2个拉格朗日（拉格朗治） 正三角形。20世纪80年代，天文学家发现土星和它的大卫 星构成的运动系统中也有类似的正三角形。人们进一步发现， 在自然界各种运动系统中，都有拉格朗日（拉格朗治）点。1906年首次发现运动

4、于木星轨道上的小行星（见脱罗央群 小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个 由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所 在的点构成一个等边三角。现象L1、L2和L3在两个天体的连线上，为不稳定点。不过， 虽然它们是不稳定的，但可选取适当的初始扰动，使相应平 动点附近的运动仍为周期运动或拟周期运动。即选取这样的 初始扰动使系统原来的解退化为周期解，相应的运动变为稳 定的，此时这种稳定称为条件稳定。对于L4、L5,当0以以（呵 以*满足以*（工以*）=1/27 ,）L4、

5、L5是线性 稳定的。对于太阳系中处理成限制性三体问题的各个系统， 如日-木-小行星，日-地-月球，相应的以均满足条件0以 以 * （以 *i触以 *）=1/27 o）对于 以 *以 1/2 情况，显然是不稳定的。至于 以=以*,非线性稳定性情况，以 及椭圆型限制性三体问题中的三角平动点情况，请参见扩展 阅读2和3.拉格朗日点的五个特解L1在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间例如：一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它 的轨道周期就越短。但是这忽略了地球的万有引力对其产生 的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力 的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加了这个物体的

6、轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L1点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。太阳及日光层探 测仪（SOHO ） （NASA关于SOHO工程的网站）即围绕日- 地系统的L1点运行。L2在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。例如：相似的影响发生在地球的另一侧。一个物体距太阳的距离越 远，它的轨道周期通常就越长。地球引力对其的拉力减小了 物体的轨道周期。在 L2点，轨道周期变得与地球的相等。L2通常用于放置空间天文台。因为L2的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经围绕日-地系统的L2点运行。詹姆斯韦伯 太空望远镜将要被放置在日-地系统的L

7、2点上。L3在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。例如：第三个拉格朗日点，L3,位于太阳的另一侧，比地球距太阳略微远一些。地球与太阳的合拉力再次使物体的运行轨道周期与地球相等。一些科幻小说和漫画经常会在L3点描述由一个“反地球”OL4在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的前方。L5在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕较大天体运行轨道的后方。L4和L5有时称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”。土卫三的L4和L5点有两个小卫星，土卫十三和土卫十四。土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。天文学中的用途在双星系统、行星和太阳、卫星和行

8、星（或任何因重力牵引而相互绕行的两个天体）的轨道面上，所特有的一些稳定点。例如，超前和落彳矍木星轨道60度的地方，各有一个拉格朗日点，如果有小行星在 这两个拉格朗日点上，它会在此点附近振荡，但不会离开这 些点，而特洛伊小行星(Trojan asteroids)就是位在这两个区域。事实上，任何双星系统都有五个 拉格朗日点。除了上面的两个点之外，另三个的拉格朗日点 不很稳定，位在其他拉格朗日点上的小天体，稍受扰动就会 离开它位置。在天体力学中，拉格朗日点是限制性三体问题的5个特解。例如，两个天体环绕运行，在空间中有5个位置可以放入第三个物体(质量忽略不计)，并使其保持在两个天体的相应位置上。理想状

9、态下，两个同轨道物体以 相同的周期旋转，两个天体的万有引力与离心力在拉格朗日 点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。理性在太空闪光按照计划，美国国家航空航天局要对哈勃空间望远镜 (HST)进行第5次维修。维修之后，人们估计它至少能够 再工作5年。HST 一时还不“退休”，“继任者”詹姆斯韦伯空 间望远镜(JWST)只好在地面上再静候几年了。有趣的是，詹姆斯韦伯空间望远镜将不像 HST那样绕着地球公 转，它的“工作地点”被定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点” (在地球背向太阳一面的 150万千米处)。拉格朗日 (1736 1813 )怎么也想不到，他的“三体问题”研究成果， 在发表200

10、多年之后，屡次在人类的科学研究与航天工程中被引用。“三体问题”研究成果被后人使用，JWST不是第一例。更早受到世界瞩目的是2001年升空的威尔金森宇宙微波各向异性探测卫星（WMAP ）, WMAP是继宇宙微波 背景探索者卫星COBE之后的第二代宇宙微波背景探测卫 星。人们感到好奇的，也是 WMAP的定位：处于太阳-地球 系统的“第二拉格朗日点”。现在，让我们说一说，什么是“三体问题”？简单地说，就是“太阳-地球-小质量物体”，或 者“太阳木星一小质量物体”这样的“三个天体”的系统如何运 行。说得详细一点，就是研究这样的问题：“太阳 -地球”或者“太阳木星”这些天体系统，如果有无限小质量的物体加

11、入进来，那么在万有引力作用下，这些小物体会怎样运动？“三体问题中”最简单的一种类型，是“平面圆形限制三体问题”。 拉格朗日求解这个问题，得到了5个特解：3个直线解和两个等边三角形解，只有两个等边三角形解是稳定解。 如果小质 量物体处在奥一个拉格朗日点上，那么它所受到的太阳-木星（或太阳-地球）的引力，恰好等于它与太阳 -木星（或太阳- 地球）一起转动时所需要的向心力。这就是说，处在莫一个 拉格朗日点上，小质量物体就可与太阳-木星（或太阳-地球） 的相对位置保持不变。有趣的是，“第一代卫星”HSTCOBE都是绕着地球“公转”，“第二代卫星”和WSTAP都把位置定在太阳-地球系统的“第二拉格朗日点

12、”。欧洲空间 局的两颗卫星“赫歇尔”、“GAIA”也看好那个“地点”计划到那里落户。在科学发展的历史上，跟“三体问题”有关的好玩故事还有不少。大约一百年前，1906年，德国天文学家马克思沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。 它的轨道与木星相 同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。 最奇妙的是，它的绕日运动周期与木星相同。从太阳看去， 它总是在木星之前 60运转，不会与木星贴近。这颗小行星 被命名为“阿基里斯”，他是荷马史诗伊里亚特叙述的特 洛伊战争中的希腊英雄。天文学家沙利叶敏感地意识到，小行星“阿基里斯”很可能是法国数学家拉格朗日“三体问题” 的一个特例：只要小物体、大行星与太阳这

13、三者形成一个等 边三角形，这小物体和大行星就会永远同步地绕太阳旋转， 它们永远不会相撞。果然，天文学家很快就在木星之后60的位置上，也发现了小行星。迄今为止，在木星前后这 两个拉格朗日点上，已找到 700颗小行星。科学理论的预见 何其美妙！后来发现的这些处在拉格朗日点上的小行星，都 以特洛伊战争里的英雄命名。于是，这几百颗小行星，就有 了一个“集体的”称号：特罗央群小行星。这个“特罗央”，实际 上就是古希腊神话中小亚细亚的“特洛伊”城。不久前，法国空间研究中心的天文学家提由一个新设想，使得拉格朗 日点将来可能获得新的用途：用作拦截危险小行星的布防点。法国科学家提由，捕获一些中等体积的“天体”，

14、把它们“部署” 到“太阳一地球”体系的五个拉格朗日点中的一个。发现对地球有危险的小行星以后，人们可以调用这些“天体”去拦截危 险小行星。美妙的理论、美丽的图像、美好的应用，拉格朗日带给我们的兴趣是全方位的：理趣、情趣、志趣。这 是我们对科学的全面的美感。参考资料理性在太空闪光 HYPERLINK /n1143/n1240/n1465/n242664/n24 /n1143/n1240/n1465/n242664/n242712Z8004407.html扩展阅读：1刘林 等，航天动力学引论，南京大学生版社，2006.Szebehely,V. Theory of Orbits. Academic P

15、ress, New York andLondon, 1967.Siegel,C.L. & Moser,J.K. Lectures on Celestial Mechanics（chapter 3）. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York,1971.天体力学定性理论主要研究天体在长时间（包括趋于 无穷）内的运动状态以及轨道在运动方程奇点（无穷大值、 多值或不定值）附近的性质，为庞加莱等人在二十世纪所创 立。这里所说的长时间是相对的，视各种具体情况而定，如 对于离地面很近的（500公里以下）人造卫星来说，几个月就 算很长了；而对于大行星来说，几千年

16、也不算长。由于电子 计算机的发展，一些定性结论，如俘获问题和特殊轨道的存 在性等，可用数值方法来判定。天体力学定性理论也属于数 学中常微分方程定性理论的范畴，不少数学家也对此进行过 研究。这种理论近二十年发展较快，主要是针对三体问题， 大致可归纳为三方面。研究天体在紧密接近时轨道剧烈变化的情况这可以分为两类问题：一类是碰撞问题，研究碰撞前后的轨道变化。 此时天体间距离趋于零，运动方程（分母中有距离的因子） 由现奇点。如果能找到一种办法，使奇点在运动方程中消去， 这种过程就称为正规化。到目前为止的研究表明：二体碰撞 可以正规化，碰撞前后的运动状态类似于弹性碰撞。三体碰 撞还不能正规化，故在讨论三

17、体问题的解时，要回避三体碰 撞情况（见变换理论）。另一类是俘获和交换问题。若三个天体中有一个天体的轨道原来是双曲线轨道（相对于三个天体的质量中心），在紧密接近后变为椭圆轨道，这种情况称为俘获；如果另一个 天体与此同时从椭圆轨道变成双曲线轨道，则称为交换。俘 获和交换问题在天体演化研究和人造天体轨道设计中都起 着重要作用（见俘获理论）。研究时间趋于无穷时的运动特性三体问题在时间趋于无穷时，有16种运动类型。例如双曲线型（三个天体问 的相互距离都与时间t成正比地趋于无穷），有限型或椭圆型 （三个天体间的相互距离都是有限的 ），抛物线型（三个天体 间的相互距离都与时间t的2/3次方成正比地趋于无穷）

18、，振 动型（三个天体间的相互距离既没有界限，也不趋于无穷），双曲线-椭圆型（两个天体间距离是有限的，另一个天体同它们的距离则趋于无穷）等。研究运动的全局性质所谓全局是指全部时间范围，即从负无穷到正无穷。当时间趋于正无穷时，有 16种运动 类型；而时间趋于负无穷时，也同样有16种类型。因此，从全局看来，时间由负无穷到正无穷时，可以组合成为 162=256种运动类型。如果在时间趋于正负无穷时，都至少有 一个天体趋于无穷远，则相应各种类型运动的条件基本上都 已建立。在有限型的运动中，对一些特殊轨道的存在性和稳定性 的研究占有重要地位。其中讨论得最多的是周期轨道 （轨道是 闭曲线）和拟周期轨道（轨道永

19、远在奥一个确定的闭曲面上， 如环面）。周期解理论是由庞加莱等人建立的，现已成为天 体力学中相对独立的研究领域。拟周期轨道虽然在二十世纪 初就已提由，但直到六十年代以后，才受到重视。卡姆（KAM） 理论的重大成果之一，就是证明在一定条件下存在拟周期轨 道，并用它来探讨太阳系的稳定性问题，从概率意义上认为 太阳系是稳定的。在运动全局性的研究中，三体问题的运动区域问题在七 十年代有重大发展，美国和中国的天文学家都分别用拓扑学 方法解决了一般三体问题流形 M8的拓扑结构问题。还有不 少人探讨了三体相对运动中的倾角和纬度变化范围。注：加 利福尼亚大学的理查德蒙特哥马利和巴黎第七大学的桑 塔克鲁兹、阿连尚

20、斯那，还有法国计量研究机构的研究人 员，用一种叫做逼近法的算法，找到了三体运动的一种可 能的稳定形态：在适当的初始条件下，三体的运行轨迹将形 成一个首尾衔接的8字形。后来人们都热衷于寻找这种特殊的稳定状态，找到一个就乐得跟什么似的，到目前为止也就 是找到了三四种。其实，我用进化算法已经找到了一百多种 稳定状态，把那些轨迹画由来，足够办一个后现代派画展了。这种特殊的稳定解以及拉格朗日点的存在，在研究正负物质 绕旋过程中，有着不容忽视的重要价值和意义。比如这五个 拉格朗日点的分布恰好对应人体的几个关键位置：L3 下丹（M3）; M1 中丹；M2 上丹；L2 顶轮；L1 喉轮；L4,L5 两肩；另还

21、可增加与 L2和L1对称的海底 轮与生殖轮以及与 L4和L5 对称的盘坐后两肘所在位置一一 故身法八要中专门有坠肘之调整。这样，就圆周而言恰好形 成一正六边形，而沿中轴分布的恰好是瑜伽七轮。如此，暗 示了人体脉轮位置与拉格朗日点的对应关系，便于从整体研 究人体生物场的结构和分布规律 L4和L5也被称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”这两个点 很特别：L1L3点都是特定点，一旦受到扰动就会脱离原位 不再返回；而L4和L5点上的物体受到扰动之后，会在原位震荡，不会脱离。也正是因为这个原因，L4和L5及其圆周对称位置被安放四肢，而 L1, L2, L3点对应躯干上固定位 置处脉轮，这些位置对应脉轮都

22、不好炼，因为这里是不稳定 拉格朗日点的缘故。而且，三体运动的8字形关乎这七个脉轮所对应的螺旋脉或三丹(M1 , M2 , M3),对应质量较大质 心，而其它位置则对应躯干关键点和四肢根节，周天形成之 时三丹勾连互运，必然同时带动其它拉格朗日点的功能，真 是奇妙！脉轮与三丹位置的存在以及圆锥曲线的存在暗示了 平方反比律在人体科学研究中的重要性。另外，7轮的存在通过查克瑞在前后对顶圆锥处的分布也暗合了光锥的结构， 暗示了这些位置处是特殊的稳定点或起源点。在非线性系统 稳定性研究理论中，平衡点的稳定性都转化为零点稳定性来 讨论，则与拉格朗日点关系密切的脉轮分布于人体中轴中枢， 乃对应人体之零点所在。

23、而穴位由于都分布于体表，且其深 度都差不多，类似于奇异眼点，则对应人体的各个极点。零 极点的调整可以关涉人体系统的整体功能，所以可以调百病、 决生死。人体皮肤为内外分野的关键所在，不论是穴位对应 的极点，还是脉轮对应的零点都在皮肤包络区域之内，乃恰 对应零极点都在单位圆内的最小相位系统。进一步推广到太 极中，太极两眼对应两极点，类似洛仑兹吸引子那样，而中 宫乃对应零点，外圆对应单位圆为电磁波的通道，因此也是 最小相位系统。或者构成双星绕旋系统，双星的质量未必要相同，只是其绕 旋的中心与地球质心重合，则若其速度合适，必然可形成稳定绕旋系统，对于此稳定系统，则同时存在7个特殊点对应七轮，另加4个稳

24、定拉格朗日点对应四肢。佛教密宗三脉七 轮说中，眉心有眉间轮.中脉开口在眉心.中脉里是智慧气.生 命除神识外，还禀承父精母血，即白菩提、红菩提。白菩提凝 在眉心，红菩提凝在脐轮。脐轮位置约与丹田相当。白菩提 是智慧，红菩提是能量。这与道家的生命阴阳学说，惊人地 一致。脐轮这个地方是拙火升起最为根本殊胜之所在。脐轮 最正宗的位置，你们可以去自己寻常，大致上在小腹的中央， 脐下四指的位置，略为靠近后能骨的地方。准确的定位，你 会发现，在短时期内就能产生灵热。而位置发生偏差时，就 会产生明显的效果差异。据说脐轮会将普拉纳（ prana ）送 往身体其他部分。从这一点来看，它和气功里的丹田大致相 似。古

25、印度瑜伽认为：人体的能量贮存在海底轮，瑜伽称此 能量为昆达尼，又称为昆达尼蛇。修炼时，昆达尼蛇沿中脉 上冲到脐轮（日轮），并在此处吐火。而此时，月轮中要往 下，沿中脉滴入“精华”，或“华：滴入日轮与蛇火相合，如此 反复修炼，到一定功夫，从海底轮将上冲一股巨大能量，当 能量冲至月轮时，天目前将由现摩尼珠。在古瑜伽功中，昆 达利尼蛇即是所谓阴中真阳，令其在中脉中上冲，喷火，使 月轮阳中真阴，下滴，在日轮与昆达利尼蛇火相合，佛门称 此为“搬柴运水。” 第三个轮是胃轮（真知轮、太阳轮），有些人的能量系统补 充不充足的时候，脐轮外面有一圈就表的是胃轮，有时候在 海底轮和脐轮之间（称水轮），有时候在脐轮和

26、心轮之间， 这个轮是活的，是可以转动的。胃轮像个圆圈围着脐轮转， 有时候是在下有时候是在上，胃轮就像我们月星围着地球转， 他是我们脐轮的护卫， 保护着脐轮（注：暗示脐周动气的合理 性）O胃轮的颜色是黄色的， 型状是六块花瓣。胃轮的性质是 创造力和真知力，一旦打开这个胃轮的时候，我们会得到宇 宙的真知，佛经经常讲实相就是表现在这儿，明白了真实的 东西。胃轮在脐轮型成了一个圆圈，我们叫着幻海，从此到彼之间 是苦海，就表现在我们身体上，六道就在我们身体里么，苦 海无边呀，就是外部的轮圈，是因为我们迷惑了时候，苦海 就会由来，身体上种种的疾病就是让你不健康，你的烦恼全 部由来了。一旦你去修行，打开了这

27、些轮脉之后，你的能量 具足，这个苦海就没有了，但是那个圈还在着，因为胃轮是 在循环着走，看你练的是什么方式，他有时候是顺转，有时 候是逆转，这个是要看你修的功法。大家修行明白过程就会 快乐健康。在东方修持术中，素有“眼观鼻、鼻观心、心观丹田”之说, 在禅宗门称其为返观内照，其实亦为心法之一。千古以来， 通过此路修持者之众，直如过江之蚁，多如牛毛。然由此路 而了圣超凡，或说尽性了命，或说圆觉（佛灭度）者，却又 廖若晨星，究其原因，不过在于知其然而不知其所以然之故， 这正如禅宗圣祖释迦牟尼，坐于菩提树下，望北斗七星，忽 觉泥丸之中，一物急旋，下牵气海，上冲斗牛，于是豁然开 朗（贯通）而知玄微之妙。

28、后人宗此，演为功修之法，数千 年来，却无一人再由此路圆觉。其原因不过仍在于知其然而 不知其所以然。“眼鼻心田”之说究竟何意，值得功修界如此 重视而千年不舍其途呢？为解说此中道理，我们不妨先回顾 一下炼功时的感受。大凡练功之人，在坚持一段时间修持之 后，都会由现这样一种感觉。印堂部位发紧，有时有蹦跳感（指印堂处似有细物蹦蹦跳弹）。继而，觉得外力内攻（此 时称为玄关设窍）如图一（略），印堂处用F表示，图中面、 背指体前、体后之位置示意图。同时，鼻入眼处，却俗称山根之处，极内紧，似有力内提。如图一鼻处用N表示。既而立觉膻中、印堂一带如虚，亦觉有内紧之意，很多人练功时， 称有胸闷感，即此，如图中心处 f所示。图一实为物理学的 图示方法，中国古人的譬喻型描述如图二所示（略）。而图二所描述的恰为古代对秤的象形形式写照。图三所示之物（略），普遍流行于当今社会之